(共58张PPT)
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件
第七章 §1 随机现象与随机事件
学习目标
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义.
2.能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，培养数学抽象的核心素养.
3.理解随机事件与样本点的关系，培养数学建模的核心素养.
任务一 随机现象与样本空间
问题1.观察下列现象：
(1)在标准大气压下，水在100 ℃会沸腾；
(2)投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上；
(3)山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝；
(4)明天可能下雨也可能不下雨；
(5)投掷一枚骰子，正面向上的点数可能为1，2，3，4，5，6.
判断上面的现象是否发生？各有什么特点呢？
提示：现象(1)是必然的. (3)是不可能的. (2)(4)(5)都至少有两种结果.
问题导思
问题2.体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，…，9的球放入摇奖器中经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个试验的结果有几种情况？如何表示这些结果？
提示：结果有10种情况；可以用集合表示为{0，1，2，3，…，9}.
1.随机现象
新知构建
定义 特点
确定性
现象 在一定条件下__________的现象，称为确定性现象 结果是必然的
随机
现象 在一定条件下，进行试验或观察会出现______的结果，而且每次试验之前都______预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象 (1)结果______有2种；
(2)事先并________会出现哪一种结果
必然出现
不同
无法
至少
不知道
2.样本空间
定义 表示符号
样本
空间 一般地，将试验E的______________组成的集合称为试验E的样本空间 ____
样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的______________，称为试验E的样本点 ____
有限样
本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是______的，那么称样本空间Ω为有限样本空间
所有可能结果
Ω
每种可能结果
ω
有限
对于同一试验E，样本空间是集合，样本点是样本空间里的元素.
微提醒
(链教材P186例1)(1)一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球.
①共有多少个样本点？
解：用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，所以共10个样本点.
典例
1
②“2个都是白球”包含几个样本点？
解：由①知，“2个都是白球”含有的结果是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
(2)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.
解：如图所示，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}.
写样本空间的关键是找样本点，具体方法如下：
规律方法
列举法 适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
列表法 适用于试验中包含两个元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
树状
图法 适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
对点练1.(1)先后抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为
A.1 B.2
C.4 D.8
√
先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.故选C.
(2)投掷两枚质地均匀的硬币，用ai表示“第i枚硬币正面朝上”，bi表示“第i枚硬币反面朝上”(i＝1，2)，则该试验的样本空间Ω＝____________
______________.
{(a1a2)，(a1b2)，
(b1a2)，(b1b2)}
由题意知，样本空间为 {(a1a2)，(a1b2)，(b1a2)，(b1b2)}.
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任务二 事件类型的判断
问题3.如图所示：有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份
(如图所示).转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即
为转出的数字.
设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
提示：“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件.C＝Ω＝{1，2，…，10}，故事件C是必然 事件.
问题导思
事件的分类
新知构建
定义
随机
事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的______称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示
必然
事件 样本空间Ω包含________样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都__________，因此称Ω为必然事件
不可能
事件 空集 不包含任何样本点，它在每次试验中都________，故称 为不可能事件
子集
所有的
必然发生
不会发生
理解随机事件的两个关键点：(1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变.(2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解.
微提醒
(多选题)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
√
√
√
对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.故选ABC.
对事件类型判断的两个关键点
1.条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
2.结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
规律方法
对点练2.(1)在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是
A.3件都是正品 B.至少有2件是次品
C.3件都是次品 D.至少有1件是正品
√
因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.故选D.
(2)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.①③④
√
对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个球分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，故①正确；对于②，“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件，故②正确；对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，故③错误；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，故④正确.故选C.
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任务三 事件与样本空间
(链教材P188例2，P189例3)试验E：甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上.从左到右记这三个位置为1，2，3，i表示“坐的座号是i”，甲、乙两人的座位用(a，b)表示，其中a表示甲坐的位置号，b表示乙坐的位置号.
(1)写出这个试验的样本空间；
解：这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}.
典例
3
(2)指出下列随机事件的含义：
①事件A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)}；
解：观察事件A中所含的样本点可知，每个样本点中两个数是连续的，即座位是相邻的，
因此事件A的含义为：甲、乙相邻.
②事件B＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}.
解：观察事件B中所含的样本点可知，每个样本点中第2个数字比第1个大，即乙的座位在甲的右边，但不一定相邻，因此事件B的含义为：甲在乙的左边，但不一定相邻.
事件与样本空间的求解策略
1.随机事件的表示，先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含的样本点.
2.说明随机事件的含义，要先理解事件中样本点的含义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义.
规律方法
对点练3.试验E：柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
解：由题意可知事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
解：由题意得事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解：由题意得事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.
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课堂小结
任务
再现 1.随机现象与样本空间.2.随机事件
方法
提炼 列举法、列表法、树状图法
易错
警示 在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏
随堂评价
1.下列现象是随机现象的是
A.买一张福利彩票，中奖
B.在标准大气压下水加热到100 ℃，沸腾
C.异性电荷，相互排斥
D.实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
√
对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，故A是；对于B，在标准大气压下水加热到100 ℃，沸腾是必然事件，故B不是；对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，故C不是；对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，故D不是.故选A.
2.高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为
A.5 B.10
C.15 D.20
√
从A，B，C，D，E五人中选两人，不同的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，所以样本空间中样本点的个数为10.故选B.
3.(多选题)下列事件中，是必然事件的是
A.明天北京市不下雨
B.在标准大气压下，水在4 ℃时结冰
C.早晨太阳从东方升起
D.x∈R，则｜x｜的值不小于0
√
√
A为随机事件，但不是必然事件，B为不可能事件，C、D为必然事件.故选CD.
4.用红、黑、黄3种颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是______________________________.
甲、乙两个小球所涂颜色相同
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课时分层评价
1.(多选题)下列现象中，是随机现象的有
A.在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B.若a为整数，则a＋1为整数
C.发射一颗炮弹，命中目标
D.检查流水线上一件产品是合格品还是次品
√
对于A，交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；对于B，当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；对于C，发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；对于D，检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确.故选ACD.
√
√
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为
A.正面，反面
B.{正面，反面}
C.{(正面，正面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
D.{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
√
先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.故选D.
3.在试验E“抛掷两枚均匀的骰子各一次，观察骰子掷出的点数”中，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差记为X，则事件A＝{X｜X≥5}的含义是
A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点
√
抛掷两枚均匀的骰子各一次，分别用x1，x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数，则x1，x2＝1，2，3，4，5，6.由题意知X≥5等价于x1－x2＝5，所以x1＝6，x2＝1，即事件A的含义是第一枚6点，第二枚1点.故选D.
4.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是
A.第一枚是3点，第二枚是1点
B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
√
依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.
5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中
心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所
示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前
往小区C，则他不经过市中心O的样本点个数为
A.2 B.3 C.4 D.6
√
此人从小区A前往C的所有最短路径为：A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O→
F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2条.故选A.
6.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是
A.摸出的4个球中至少有一个是白球 B.摸出的4个球中至少有一个是黑球
C.摸出的4个球中至少有两个是黑球 D.摸出的4个球中至少有两个是白球
√
因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.故选B.
7.为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为______.
由题意可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共 6个.
6
8.(双空题)在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有_______个，若事件A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，则事件A的含义是__________________________.
事件“点数之和为8”包含的样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个；事件A的每个样本点中两数字相同，说明两次掷出的点数相同.
5
两次掷出的点数相同
8
10.(10分)写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的 情况；
解：如图所示，
设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，所以样本空间Ω1＝{(1，2，3，4)，(1，2，
4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}.
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.
解：设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
11.掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，如图，观察向上的一面的点数，下列属于必然事件的是
A.出现的点数是7
B.出现的点数不会是0
C.出现的点数是2
D.出现的点数为奇数
√
掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，是不可能出现0的，所以事件出现的点数不会是0为必然事件，故B正确；掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，是不可能出现7的，所以事件出现的点数是7为不可能事件，故A错误；掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，可能出现2点，也可能不出现2点，所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，故C、D错误.故选B.
12.如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是
A.A灯亮，B灯不亮
B.A灯不亮，B灯亮
C.A，B两盏灯均亮
D.A，B两盏灯均不亮
√
由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.故选C.
13.(多选题)下列说法正确的是
A.一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B.质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是随机事件
C.投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D.试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，6}
√
√
对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；对于B，质点平移4次后，可能在第一象限，也可能不在第一象限，所以事件“平移后的点位于第一象限”是随机事件，故B正确；对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，6，…}，故D错误.故选BC.
14.(10分)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：(以下各小题先回答基本事件数目，再具体作答)
(1)试验的基本事件；
解：这个试验的基本事件一共有16个，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
解：事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件.
解：事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
15.(5分)某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹则返回起点重新开始，若到达终点则游戏结束.现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为______.
21
设小明掷三次骰子的点数为(x，y，z)，x，y，z∈{1，2，3，4，5，6}，由题意可知，游戏分第一次踩中炸弹和未踩中炸弹两种情况，符合题意的种数有(3，4，5)，(3，5，4)，(3，6，3)，(1，3，5)，(1，4，4)，(1，5，3)，(1，6，2)，(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(2，6，1)，(4，1，4)，(4，2，3)，(4，3，2)，(4，4，1)，(5，1，3)，(5，2，2)，(5，3，1)，(6，1，2)，(6，2，1)，共21种.
16.(15分)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
解：Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)求这个试验的样本点的总数；
解：由(1)知，样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
解：由(1)知，事件“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
事件“x＜3且y＞1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解：由(1)知，事件“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)， (4，1)；
事件“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
返回§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件
学习目标 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义. 2.能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，培养数学抽象的核心素养. 3.理解随机事件与样本点的关系，培养数学建模的核心素养.
任务一 随机现象与样本空间
问题1.观察下列现象：
(1)在标准大气压下，水在100 ℃会沸腾；
(2)投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上；
(3)山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝；
(4)明天可能下雨也可能不下雨；
(5)投掷一枚骰子，正面向上的点数可能为1，2，3，4，5，6.
判断上面的现象是否发生？各有什么特点呢？
提示：现象(1)是必然的. (3)是不可能的. (2)(4)(5)都至少有两种结果.
问题2.体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，…，9的球放入摇奖器中经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个试验的结果有几种情况？如何表示这些结果？
提示：结果有10种情况；可以用集合表示为{0，1，2，3，…，9}.
1.随机现象
定义 特点
确定性 现象 在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象 结果是必然的
随机 现象 在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象 (1)结果至少有2种； (2)事先并不知道会出现哪一种结果
2.样本空间
定义 表示符号
样本 空间 一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间 Ω
样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点 ω
有限样 本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间
[微提醒] 对于同一试验E，样本空间是集合，样本点是样本空间里的元素.
(链教材P186例1)(1)一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球.
①共有多少个样本点？
②“2个都是白球”包含几个样本点？
(2)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.
解：(1)①用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，所以共10个样本点.
②由①知，“2个都是白球”含有的结果是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
(2)如图所示，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}.
写样本空间的关键是找样本点，具体方法如下：
列举法 适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
列表法 适用于试验中包含两个元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
树状 图法 适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
对点练1.(1)先后抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)投掷两枚质地均匀的硬币，用ai表示“第i枚硬币正面朝上”，bi表示“第i枚硬币反面朝上”(i＝1，2)，则该试验的样本空间Ω＝ .
答案：(1)C (2){(a1a2)，(a1b2)，(b1a2)，(b1b2)}
解析：(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.故选C.
(2)由题意知，样本空间为 {(a1a2)，(a1b2)，(b1a2)，(b1b2)}.
任务二 事件类型的判断
问题3.如图所示：有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
提示：“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件.C＝Ω＝{1，2，…，10}，故事件C是必然事件.
事件的分类
定义
随机 事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示
必然 事件 样本空间Ω包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称 为不可能事件
[微提醒] 理解随机事件的两个关键点：(1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变.(2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解.
(多选题)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是( )
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
答案：ABC
解析：对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.故选ABC.
对事件类型判断的两个关键点
1.条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
2.结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
对点练2.(1)在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( )
A.3件都是正品 B.至少有2件是次品
C.3件都是次品 D.至少有1件是正品
(2)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.①③④
答案：(1)D (2)C
解析：(1)因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.故选D.
(2)对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个球分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，故①正确；对于②，“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件，故②正确；对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，故③错误；对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，故④正确.故选C.
任务三 事件与样本空间
(链教材P188例2，P189例3)试验E：甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上.从左到右记这三个位置为1，2，3，i表示“坐的座号是i”，甲、乙两人的座位用(a，b)表示，其中a表示甲坐的位置号，b表示乙坐的位置号.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)指出下列随机事件的含义：
①事件A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)}；
②事件B＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}.
解：(1)这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}.
(2)①观察事件A中所含的样本点可知，每个样本点中两个数是连续的，即座位是相邻的，
因此事件A的含义为：甲、乙相邻.
②观察事件B中所含的样本点可知，每个样本点中第2个数字比第1个大，即乙的座位在甲的右边，但不一定相邻，因此事件B的含义为：甲在乙的左边，但不一定相邻.
事件与样本空间的求解策略
1.随机事件的表示，先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含的样本点.
2.说明随机事件的含义，要先理解事件中样本点的含义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义.
对点练3.试验E：柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解：(1)由题意可知事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
(2)由题意得事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
(3)由题意得事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.
任务 再现 1.随机现象与样本空间.2.随机事件
方法 提炼 列举法、列表法、树状图法
易错 警示 在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏
1.下列现象是随机现象的是( )
A.买一张福利彩票，中奖
B.在标准大气压下水加热到100 ℃，沸腾
C.异性电荷，相互排斥
D.实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
答案：A
解析：对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，故A是；对于B，在标准大气压下水加热到100 ℃，沸腾是必然事件，故B不是；对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，故C不是；对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，故D不是.故选A.
2.高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
答案：B
解析：从A，B，C，D，E五人中选两人，不同的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，所以样本空间中样本点的个数为10.故选B.
3.(多选题)下列事件中，是必然事件的是( )
A.明天北京市不下雨
B.在标准大气压下，水在4 ℃时结冰
C.早晨太阳从东方升起
D.x∈R，则｜x｜的值不小于0
答案：CD
解析：A为随机事件，但不是必然事件，B为不可能事件，C、D为必然事件.故选CD.
4.用红、黑、黄3种颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是 .
答案：甲、乙两个小球所涂颜色相同
课时分层评价42 随机现象 样本空间 随机事件
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.(多选题)下列现象中，是随机现象的有( )
A.在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B.若a为整数，则a＋1为整数
C.发射一颗炮弹，命中目标
D.检查流水线上一件产品是合格品还是次品
答案：ACD
解析：对于A，交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；对于B，当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；对于C，发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；对于D，检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确.故选ACD.
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为( )
A.正面，反面
B.{正面，反面}
C.{(正面，正面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
D.{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
答案：D
解析：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.故选D.
3.在试验E“抛掷两枚均匀的骰子各一次，观察骰子掷出的点数”中，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差记为X，则事件A＝{X｜X≥5}的含义是( )
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
答案：D
解析：抛掷两枚均匀的骰子各一次，分别用x1，x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数，则x1，x2＝1，2，3，4，5，6.由题意知X≥5等价于x1－x2＝5，所以x1＝6，x2＝1，即事件A的含义是第一枚6点，第二枚1点.故选D.
4.依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A.第一枚是3点，第二枚是1点
B.第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
答案：B
解析：依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”.
5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的样本点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
答案：A
解析：此人从小区A前往C的所有最短路径为：A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O→F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2条.故选A.
6.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的4个球中至少有一个是白球
B.摸出的4个球中至少有一个是黑球
C.摸出的4个球中至少有两个是黑球
D.摸出的4个球中至少有两个是白球
答案：B
解析：因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.故选B.
7.为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为 .
答案：6
解析：由题意可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个.
8.(双空题)在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有 个，若事件A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，则事件A的含义是 .
答案：5 两次掷出的点数相同
解析：事件“点数之和为8”包含的样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个；事件A的每个样本点中两数字相同，说明两次掷出的点数相同.
9.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含样本点的个数为 .
答案：8
解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点.用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，共8个样本点.
10.(10分)写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.
解：(1)如图所示，
设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，
所以样本空间Ω1＝{(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}.
(2)设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，如图，观察向上的一面的点数，下列属于必然事件的是( )
A.出现的点数是7
B.出现的点数不会是0
C.出现的点数是2
D.出现的点数为奇数
答案：B
解析：掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，是不可能出现0的，所以事件出现的点数不会是0为必然事件，故B正确；掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，是不可能出现7的，所以事件出现的点数是7为不可能事件，故A错误；掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，可能出现2点，也可能不出现2点，所以事件出现的点数是2和事件出现的点数为奇数都为随机事件，故C、D错误.故选B.
12.如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是( )
A.A灯亮，B灯不亮
B.A灯不亮，B灯亮
C.A，B两盏灯均亮
D.A，B两盏灯均不亮
答案：C
解析：由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮.故选C.
13.(多选题)下列说法正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件
B.质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是随机事件
C.投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点
D.试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，6}
答案：BC
解析：对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；对于B，质点平移4次后，可能在第一象限，也可能不在第一象限，所以事件“平移后的点位于第一象限”是随机事件，故B正确；对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，6，…}，故D错误.故选BC.
14.(10分)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：(以下各小题先回答基本事件数目，再具体作答)
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件.
解：(1)这个试验的基本事件一共有16个，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
15.(5分)某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹则返回起点重新开始，若到达终点则游戏结束.现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为 .
答案：21
解析：设小明掷三次骰子的点数为(x，y，z)，x，y，z∈{1，2，3，4，5，6}，由题意可知，游戏分第一次踩中炸弹和未踩中炸弹两种情况，符合题意的种数有(3，4，5)，(3，5，4)，(3，6，3)，(1，3，5)，(1，4，4)，(1，5，3)，(1，6，2)，(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(2，6，1)，(4，1，4)，(4，2，3)，(4，3，2)，(4，4，1)，(5，1，3)，(5，2，2)，(5，3，1)，(6，1，2)，(6，2，1)，共21种.
16.(15分)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解：(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)由(1)知，样本点的总数为16.
(3)由(1)知，事件“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
事件“x＜3且y＞1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)由(1)知，事件“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
事件“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
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