(共55张PPT)
2.2 分层随机抽样
第六章 §2 抽样的基本方法
学习目标
1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，培养数学抽象的核心素养.
2.了解分层抽样的必要性和实施步骤，掌握各层样本量比例分配的方法，培养数据分析的核心素养.
3.了解两种抽样方法的区别和联系，在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题，培养数学运算、数据分析的核心素养.
任务一 分层随机抽样概念的理解
问题导思
分层随机抽样的概念
新知构建
定义 将总体按其属性特征分成互不交叉的__________(有时称作层)，然后在每个类型中按照__________随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样
适用
条件 总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道每一类个体在总体中所占的________
优点 能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性
若干类型
所占比例
百分比
某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.在抽取样本时可以用简单随机抽样吗？为
什么？
提示：不可以.在此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质、近视情况等方面存在着明显的差异.若采用简单随机抽样，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.
微思考
(1)(多选题)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个样本容量为100的样本
C.某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽取100名学生进行调查
D.某啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量
√
典例
1
√
对于A，总体所含个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；对于D，总体所含个体无明显差异，不适合用分层随机抽样；对于B、C，总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样.故选BC.
(2)从某市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.其他抽样方法
已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选C.
√
是否利用分层随机抽样要紧扣两个条件
1.必备条件：构成总体的几类个体差异明显，每类个体之间差异不大.
2.辅助条件：知道每一类个体在总体中所占的百分比.
规律方法
对点练1.(1)某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是
A.高一学生被抽到的概率最大
B.高三学生被抽到的概率最大
C.高三学生被抽到的概率最小
D.每位学生被抽到的概率相等
无论采取简单随机抽样，还是分层抽样，每个个体被抽到的概率都相同.故选D.
√
(2)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适
A.抽签法 B.随机数法
C.分层抽样法 D.以上都不合适
√
总体由差异明显的三部分构成，因此应选择分层抽样法.故选C.
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任务二 分层随机抽样的计算
问题2.你能总结一下分层随机抽样的步骤吗？
提示：分层随机抽样的步骤：
问题导思
(链教材P158例3)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的人数情况如表中所示：
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
典例
2
管理 技术开发 营销 生产 总计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
总计 160 320 480 1 040 2 000
管理 技术开发 营销 生产 总计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
总计 160 320 480 1 040 2 000
规律方法
对点练2.(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2 000人，其中各种态度对应的人数如表所示：
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为
A.24，36，32，8 B.48，72，64，16
C.20，40，30，10 D.25，25，25，25
√
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
480 720 640 160
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
480 720 640 160
(2)已知A，B，C三种不同型号的产品数量之比依次为4∶3∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为N的样本，若样本中A型号产品有20件，则N为
A.60 B.70
C.80 D.90
√
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任务三 抽样方法的设计
典例
3
分层随机抽样设计方案的步骤
第一步：观察特征，确定抽样方法；
第二步：分层求比例，确定各层样本数；
第三步：从各层抽取样本，按比例抽取，当抽样比例不是整数时，可在该层随机剔除部分个体.
规律方法
对点练3.为了解某市居民的生活状况，计划从该市居民中随机抽取100户进行调查.该市居民按照收入水平可分为高、中、低三个层次，各层次居民所占比例分别为20％，40％，40％.应如何抽取才能得到比较客观的
结论？
解：为了使调查结果更具有代表性，应该采用分层随机抽样的方法进行 调查.
具体抽样步骤如下：
①根据各层次居民所占比例，计算出各层次应抽取的户数.由于高、中、低三个层次居民所占比例分别为20％，40％，40％，因此各层次应抽取的户数分别为20户、40户、40户.
②采用简单随机抽样的方法，从高、中、低三个层次中分别抽取20户、40户、40户居民进行调查.可以采用随机数法进行抽样，也可以采用其他简单随机抽样的方法.
③将各层次抽取的居民进行汇总，即可得到100户被调查居民的基本信息.
通过以上分层随机抽样的方法，可以更准确地了解该市居民的生活状况，同时也能够减小由于各层次居民比例不同而导致的误差.在调查过程中，需要注意保证各层次居民的代表性，避免出现偏态情况.
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课堂小结
任务
再现 1.分层随机抽样的概念及适用情形.2.分层随机抽样中抽样比及各层所抽个体数量的计算.3.分层随机抽样的设计与应用
方法
提炼 数学抽象
易错
警示 计算错误导致各层抽样数量错误
随堂评价
1.某校为了了解高中生视力情况，已知高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A.抽签法
B.随机数法
C.分层随机抽样法
D.除以上方法外的其他方法
√
因为高一、高二、高三三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，所以抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为分层随机抽样法.故选C.
2.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1 500的样本，三个年级学生数之比依次为k∶3∶5，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为
A.750 B.300
C.450 D.150
√
3.下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是
A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地5平方千米，丘陵8平方千米，平地16平方千米，洼地2.5平方千米，现抽取农田1平方千米估计全乡农田平均每平方千米的产量
D.从50个零件中抽取5个做质量检验
√
对于A，总体容量较多，差异不明显，所以可以利用简单随机抽样，故A错误；对于B，总体容量较少，所以使用简单随机抽样，故B错误；对于C，总体容量较多，样本差异比较明显，所以使用分层随机抽样，故C正确；对于D，总体容量较少，并且差异不明显，所以使用简单随机抽样，故D错误.故选C.
4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是_____________________________.
分层随机抽样，简单随机抽样
对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是分层随机抽样；对于调查②，明显采用的是简单随机抽样.
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课时分层评价
1.①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为
A.分层随机抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，简单随机抽样
C.简单随机抽样，分层随机抽样 D.分层随机抽样，分层随机抽样
√
一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况.为更加了解各层次的学生成绩，应选择分层随机抽样；运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访，可采用简单随机抽样.故选A.
√
3.某学校高一年级选择“物化生”“物化地”“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240，120，90和150.现采用分层随机抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为
A.16 B.10
C.8 D.6
√
4.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9∶5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参与调研的总人数是
A.28 B.42
C.56 D.70
√
设被抽取参与调研的乙村村民有5x人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有9x人，所以9x－5x＝8，即x＝2，所以参与调研的总人数为9x＋5x＝28.故选A.
5.(多选题)某市有大、中、小型商店共1 500家，且这三种类型的商店的数量之比为1∶5∶9，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有
A.1 500家商店是总体
B.样本容量为60
C.大、中、小型商店分别抽取4，20，36家
D.被抽取的60家商店的每日零售额情况是所抽取的一个样本
√
√
√
对于A，1 500家商店的每日零售额是总体，故A错误；对于B，从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故B正确；对于C，因为三种类型的商店的数量之比为1∶5∶9，所以大、中、小型商店分别抽取4，20，36家，故C正确；对于D，被抽取的60家商店的每日零售额情况是所抽取的一个样本，故D正确.故选BCD.
6.(多选题)某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1 500辆、6 000辆和2 000辆.为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是
A.应采用分层随机抽样抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同
√
√
√
7.某校为了解学生的学习情况，采用分层随机抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n＝________.
1 040
8.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个进行统计，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区该种野生动物数量准确的估计，最合理的抽样方法是__________________.
因为各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，所以应采用分层随机抽样.
分层随机抽样
9.电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______人.
9
10.(10分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表：
已知高二年级女生比高一年级女生多53人.
(1)高二年级有多少名女生？
解：由x－487＝53，解得x＝540，所以高二年级有540名女生.
高一年级 高二年级 高三年级
女生 487 x y
男生 513 560 z
高一年级 高二年级 高三年级
女生 487 x y
男生 513 560 z
11.(新情境)“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋黄肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
12.(多选题)某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则
A.该校三个年级总的学生数为5 000人
B.样本容量n为500
C.该校高二年级总的学生数有1 500人
D.样本中高二年级学生数为150人
√
√
设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b，则200∶a∶b＝4∶3∶3，则a＝b＝150，故D正确，故样本容量n＝200＋150＋150＝500，故B正确；无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故A、C错误.故选BD.
13.某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为______.
30
√
√
√
16.(15分)为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式(已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同)：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别(若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名)，从中按比例抽取40名学生进行考察.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
解：根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层随机抽样法.
返回2.2 分层随机抽样
学习目标 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，培养数学抽象的核心素养. 2.了解分层抽样的必要性和实施步骤，掌握各层样本量比例分配的方法，培养数据分析的核心素养. 3.了解两种抽样方法的区别和联系，在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题，培养数学运算、数据分析的核心素养.
任务一 分层随机抽样概念的理解
问题1.某中学高一年级共有900名学生，男生有400名，女生有500名，若要抽取45名学生的身高作为样本，用简单随机抽样可以吗？为什么？如何去抽取比较合理？
提示：不可以直接使用简单随机抽样.因为男生身高和女生身高有较大差异.可以将男生和女生看作两个群体，分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法.
n男＝×45＝20，n女＝×45＝25.
分层随机抽样的概念
定义 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样
适用 条件 总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比
优点 能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性
[微思考] 某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.在抽取样本时可以用简单随机抽样吗？为什么？
提示：不可以.在此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质、近视情况等方面存在着明显的差异.若采用简单随机抽样，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.
(1)(多选题)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个样本容量为100的样本
C.某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽取100名学生进行调查
D.某啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量
(2)从某市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.其他抽样方法
答案：(1)BC (2)C
解析：(1)对于A，总体所含个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；对于D，总体所含个体无明显差异，不适合用分层随机抽样；对于B、C，总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样.故选BC.
(2)已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选C.
是否利用分层随机抽样要紧扣两个条件
1.必备条件：构成总体的几类个体差异明显，每类个体之间差异不大.
2.辅助条件：知道每一类个体在总体中所占的百分比.
对点练1.(1)某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是( )
A.高一学生被抽到的概率最大
B.高三学生被抽到的概率最大
C.高三学生被抽到的概率最小
D.每位学生被抽到的概率相等
(2)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A.抽签法 B.随机数法
C.分层抽样法 D.以上都不合适
答案：(1)D (2)C
解析：(1)无论采取简单随机抽样，还是分层抽样，每个个体被抽到的概率都相同.故选D.
(2)总体由差异明显的三部分构成，因此应选择分层抽样法.故选C.
任务二 分层随机抽样的计算
问题2.你能总结一下分层随机抽样的步骤吗？
提示：分层随机抽样的步骤：
(链教材P158例3)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的人数情况如表中所示：
管理 技术开发 营销 生产 总计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
总计 160 320 480 1 040 2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽取出席人？
解：(1)用分层随机抽样法，并按老年40×＝4(人)，中年40×＝12(人)，青年40×＝24(人)抽取.
(2)用分层随机抽样法，并按管理25×＝2(人)，技术开发25×＝4(人)，营销25×＝6(人)，生产25×＝13(人)抽取.
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系
1.＝.
2.总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
对点练2.(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2 000人，其中各种态度对应的人数如表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
480 720 640 160
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )
A.24，36，32，8 B.48，72，64，16
C.20，40，30，10 D.25，25，25，25
(2)已知A，B，C三种不同型号的产品数量之比依次为4∶3∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为N的样本，若样本中A型号产品有20件，则N为( )
A.60 B.70
C.80 D.90
答案：(1)A (2)B
解析：(1)最喜爱组应抽取100×＝24(人)，喜爱组应抽取100×＝36(人)，一般组应抽取100×＝32(人)，不喜欢组应抽取100×＝8(人).故选A.
(2)因为A，B，C三种不同型号的产品数量之比依次为4∶3∶7，且用分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，所以A型号产品被抽的抽样比为＝，因为样本中A型号产品有20件，所以＝，解得N＝70.故选B.
任务三 抽样方法的设计
(链教材P158例5)一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解：可以采用分层随机抽样来抽取样本，
(1)按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的数目.抽样比为＝，
则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；
在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人).
分层随机抽样设计方案的步骤
第一步：观察特征，确定抽样方法；
第二步：分层求比例，确定各层样本数；
第三步：从各层抽取样本，按比例抽取，当抽样比例不是整数时，可在该层随机剔除部分个体.
对点练3.为了解某市居民的生活状况，计划从该市居民中随机抽取100户进行调查.该市居民按照收入水平可分为高、中、低三个层次，各层次居民所占比例分别为20％，40％，40％.应如何抽取才能得到比较客观的结论？
解：为了使调查结果更具有代表性，应该采用分层随机抽样的方法进行调查.
具体抽样步骤如下：
①根据各层次居民所占比例，计算出各层次应抽取的户数.由于高、中、低三个层次居民所占比例分别为20％，40％，40％，因此各层次应抽取的户数分别为20户、40户、40户.
②采用简单随机抽样的方法，从高、中、低三个层次中分别抽取20户、40户、40户居民进行调查.可以采用随机数法进行抽样，也可以采用其他简单随机抽样的方法.
③将各层次抽取的居民进行汇总，即可得到100户被调查居民的基本信息.
通过以上分层随机抽样的方法，可以更准确地了解该市居民的生活状况，同时也能够减小由于各层次居民比例不同而导致的误差.在调查过程中，需要注意保证各层次居民的代表性，避免出现偏态情况.
任务 再现 1.分层随机抽样的概念及适用情形.2.分层随机抽样中抽样比及各层所抽个体数量的计算.3.分层随机抽样的设计与应用
方法 提炼 数学抽象
易错 警示 计算错误导致各层抽样数量错误
1.某校为了了解高中生视力情况，已知高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法
B.随机数法
C.分层随机抽样法
D.除以上方法外的其他方法
答案：C
解析：因为高一、高二、高三三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，所以抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为分层随机抽样法.故选C.
2.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1 500的样本，三个年级学生数之比依次为k∶3∶5，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为( )
A.750 B.300
C.450 D.150
答案：A
解析：由题意可得＝，解得k＝2，所以高三年级抽取的人数为×1 500＝750.故选A.
3.下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是( )
A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地5平方千米，丘陵8平方千米，平地16平方千米，洼地2.5平方千米，现抽取农田1平方千米估计全乡农田平均每平方千米的产量
D.从50个零件中抽取5个做质量检验
答案：C
解析：对于A，总体容量较多，差异不明显，所以可以利用简单随机抽样，故A错误；对于B，总体容量较少，所以使用简单随机抽样，故B错误；对于C，总体容量较多，样本差异比较明显，所以使用分层随机抽样，故C正确；对于D，总体容量较少，并且差异不明显，所以使用简单随机抽样，故D错误.故选C.
4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 .
答案：分层随机抽样，简单随机抽样
解析：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是分层随机抽样；对于调查②，明显采用的是简单随机抽样.
课时分层评价38 分层随机抽样
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( )
A.分层随机抽样，简单随机抽样
B.简单随机抽样，简单随机抽样
C.简单随机抽样，分层随机抽样
D.分层随机抽样，分层随机抽样
答案：A
解析：一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况.为更加了解各层次的学生成绩，应选择分层随机抽样；运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访，可采用简单随机抽样.故选A.
2.从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为当采取简单随机抽样方法抽取样本时每个个体被抽到的可能性是，所以选取分层随机抽样的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性仍为.故选C.
3.某学校高一年级选择“物化生”“物化地”“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240，120，90和150.现采用分层随机抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为( )
A.16 B.10
C.8 D.6
答案：B
解析：由题意得，“史政地”组合中选出的同学人数为×40＝10.故选B.
4.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9∶5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参与调研的总人数是( )
A.28 B.42
C.56 D.70
答案：A
解析：设被抽取参与调研的乙村村民有5x人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有9x人，所以9x－5x＝8，即x＝2，所以参与调研的总人数为9x＋5x＝28.故选A.
5.(多选题)某市有大、中、小型商店共1 500家，且这三种类型的商店的数量之比为1∶5∶9，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有( )
A.1 500家商店是总体
B.样本容量为60
C.大、中、小型商店分别抽取4，20，36家
D.被抽取的60家商店的每日零售额情况是所抽取的一个样本
答案：BCD
解析：对于A，1 500家商店的每日零售额是总体，故A错误；对于B，从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故B正确；对于C，因为三种类型的商店的数量之比为1∶5∶9，所以大、中、小型商店分别抽取4，20，36家，故C正确；对于D，被抽取的60家商店的每日零售额情况是所抽取的一个样本，故D正确.故选BCD.
6.(多选题)某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1 500辆、6 000辆和2 000辆.为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是( )
A.应采用分层随机抽样抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同
答案：ACD
解析：对于A，因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层随机抽样，故A正确；对于B，个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，故B错误；对于C，因为＝，所以1 500×＝9(辆)，6 000×＝36(辆)，2 000×＝12(辆)，所以三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆，故C正确；对于D，分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故D正确.故选ACD.
7.某校为了解学生的学习情况，采用分层随机抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n＝ .
答案：1 040
解析：由已知条件知抽样比为＝，从而＝，解得n＝1 040.
8.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个进行统计，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区该种野生动物数量准确的估计，最合理的抽样方法是 .
答案：分层随机抽样
解析：因为各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，所以应采用分层随机抽样.
9.电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多 人.
答案：9
解析：设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知＝，＝，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人.
10.(10分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表：
高一年级 高二年级 高三年级
女生 487 x y
男生 513 560 z
已知高二年级女生比高一年级女生多53人.
(1)高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，应从高三年级抽取多少名学生？
解：(1)由x－487＝53，解得x＝540，所以高二年级有540名女生.
(2)高三年级人数为y＋z＝3 000－(487＋513＋560＋540)＝900，
所以×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(新情境)“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋黄肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：依题意得该礼盒中莲子粽的个数为10×＝3.故选C.
12.(多选题)某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则( )
A.该校三个年级总的学生数为5 000人
B.样本容量n为500
C.该校高二年级总的学生数有1 500人
D.样本中高二年级学生数为150人
答案：BD
解析：设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b，则200∶a∶b＝4∶3∶3，则a＝b＝150，故D正确，故样本容量n＝200＋150＋150＝500，故B正确；无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故A、C错误.故选BD.
13.某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为 .
答案：30
解析：根据题意，抽取的粮食类的样本数为×50＝5，抽取的水果类的样本数为×50＝25，所以抽取的粮食类和水果类的样本数之和为30.
14.(10分)某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，选取抽样比为，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？
解：这种做法不妥当.
原因：抽样比过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高及人数比例差异较大，抽取人数相同，也不合理.
考虑到本题的情况，可以采用分层随机抽样，可选取抽样比为.
男生抽取40×＝8(名)，女生抽取20×＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本.
15.(5分)(新角度) (多选题)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是( )
A.甲应付51钱
B.乙应付32钱
C.丙应付16钱
D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
答案：ACD
解析：由题意知，抽样比为＝.由分层抽样知识可知，甲应付×560＝51钱，故A正确；乙应付×350＝32钱，故B不正确；丙应付×180＝16钱，故C正确.显然51＞32＞16，故D正确.故选ACD.
16.(15分)为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式(已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同)：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别(若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名)，从中按比例抽取40名学生进行考察.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤.
解：(1)根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层随机抽样法.
(2)方式1抽样的步骤如下：在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级，考察他们的成绩；
方式2抽样的步骤如下：第一步：分层：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别；
第二步：确定各个层抽取的人数：由于样本容量与总体个数比值为＝，
所以每层抽取的个体数依次为60×＝6人，180×＝18人，160×＝16人；
第三步：按层分别抽取样本人数：
在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人，
在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人，
在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人.
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