§3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
学习目标 1.了解频数与频率的概念，会用频数、频率知识解决实际问题. 2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据，培养直观想象的核心素养. 3.会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布，培养数据分析的核心素养.
任务一 从频数到频率
问题1.某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品；与某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1％，哪种情况能更好地反映工厂的生产情况？
提示：“生产了100个产品有10个不合格品”与“生产了1 000个产品有10个不合格品”，虽然都是10个不合格品，但是工厂生产的产品数量大不相同，因此只知道频数是不够的，需要用频率来刻画.频率能更好地反映样本和总体的相应特征.
频数与频率
名称 概念 联系 区别
频数 将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有的个体数目 都可以客 观地反映 总体分布 如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布
频率 频数与总数的比值 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数，当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布
[微提醒] 在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计，注意频率的取值范围.
(链教材P162例2)某中学记载了2020～2024年学生高考本科上线人数及相应比例如下表，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
本科上 线人数 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223
比例 69.5％ 71.3％ 75.1％ 77.2％ 79.5％
解：从2020年到2024年本科上线人数逐年递增，从频数来看，2021年较上一年增加了79人，2022年较上一年增加了62人，2023年较上一年增加了33人，2024年较上一年增加了36人，容易得到2020年到2021年增加的人数最多，2022年到2023年以及2023年到2024年增加的人数较少，但从这五年的频率来看，2020年到2021年的频率增长了1.8％，是增长最少的，2021年到2022年的频率增长了3.8％，是增长最大的，这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面参考.
频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布.
对点练1.(1)工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在(20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在(50，60]范围内的频率为( )
A.0.70 B.0.50
C.0.25 D.0.20
(2)(多选题)肥胖不仅影响个人形象，还会增加各种疾病发生的几率，近几年，减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位：kg)制成如下表格.
调查日期 2024年9月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 0 30％ 50％ 20％
调查日期 2025年1月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 10％ 40％ 50％ 0
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( )
A.健身后，体重在区间[90，100)内的频数增加值为2
B.健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少
C.原来体重在区间[80，90)和[90，100)内的人减肥失败
D.原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果
答案：(1)D (2)AB
解析：(1)由题意得＝0.35，解得x＝8，所以y＝40－4－6－8－10－4＝8，所以样本数据在(50，60]范围内的频率为＝0.20.故选D.
(2)原来体重在区间[90，100)内的频数为20×30％＝6，健身后体重在此区间内的频数为20×40％＝8，频数增加值为2，故A正确；原来体重在区间[110，120]内的频数为20×20％＝4，而健身后在此区间内的频数为0，说明原本体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少，故B正确；健身后体重在区间[100，110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败，故C、D均不正确.故选AB.
任务二 频率分布直方图
问题2.假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下表(单位：t)：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4
10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2
7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8
25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6
5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0
16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3
7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
提示：最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为26.7 t.
问题3.样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为9组，试列出频率分布表并画出频率分布直方图.
提示：
分组 频数累计 频数 频率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 14 0.14
[10.2，13.2) 8 0.08
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
1.频率分布直方图
图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积＝组距×＝频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
2.画频率分布直方图的步骤
3.频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.有时也用它来估计总体的分布情况.
随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
[微提醒] (1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示.(3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同.
(链教材P163例3)某高校对2024年该校自主招生的数据做了新的研究，从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并在下面的坐标平面内画频率分布直方图与频率折线图；
(2)如果在笔试成绩的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
解：(1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处填35，②处填0.30.
频率分布直方图与频率折线图如图所示.
(2)因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为＝，故第3组应抽取30×＝3(名)学生，第4组应抽取20×＝2(名)学生，第5组应抽取10×＝1(名)学生，所以第3，4，5组应抽取的学生人数分别为3，2，1.
绘制频率分布直方图的注意点
1.在坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝＝×频数.
2.组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过120，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
对点练2.有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：[10，15)，4；[30，35)，9；[15，20)，5；[35，40)，8；[20，25)，10；[40，45]，3；[25，30)，11.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图及频率折线图.
解：(1)由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表.
数据段 频数 频率
[10，15) 4 0.08
[15，20) 5 0.10
[20，25) 10 0.20
[25，30) 11 0.22
[30，35) 9 0.18
[35，40) 8 0.16
[40，45] 3 0.06
合计 50 1
(2)频率分布直方图如图①所示，频率折线图如图②折线部分所示.
任务三 频率分布直方图的应用
为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？
解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率分布直方图可得样本中高一年级学生的达标率约为
×100％＝88％.
1.频率分布直方图中的性质
(1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
(3)＝样本容量；
(4)在频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比.
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
对点练3.(1)(多选题)供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是( )
A.6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B.6月份人均用电量在[30，40)内的有30人
C.6月份人均用电量不低于20度的有50人
D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[20，30)一组的人数为3
(2)(双空题)某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1 000名学生，将他们的阅读时间进行分组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12].抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数a＝ .这1 000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为 .
答案：(1)ACD (2)0.14 380
解析：(1)对于A，根据频率分布直方图知，6月份人均用电量人数最多的一组是[10，20)，有100×0.04×10＝40(人)，故A正确；对于B，6月份人均用电量在[30，40)内的人数为100×0.01×10＝10，故B错误；对于C，6月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有100×0.5＝50(人)，故C正确；对于D，用电量在[20，30)内的有0.03×10×100＝30(人)，所以在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[20，30)一组的人数为×10＝3，故D正确.故选ACD.
(2)根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1，所以(0.04＋0.05＋0.12＋a＋0.15)×2＝1，得a＝0.14，阅读时间不少于8小时的人数为(0.05＋0.14)×2×1 000＝380.
任务 再现 1.从频数到频率.2.绘制频率分布直方图和频率折线图
方法 提炼 图表识别、数据分析
易错 警示 频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义易错
1.频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
答案：B
解析：根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率.故选B.
2.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
分组 (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在(0，40]内的频率为( )
A.0.39 B.0.42
C.0.52 D.0.64
答案：D
解析：由频数分布表知：样本数据落在(0，40]内的频率为＝0.64.故选D.
3.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70，100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70，80)，[80，90)，[90，100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[70，80)内的被抽取的学生人数为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
答案：A
解析：根据题意得，体能测试成绩在[70，80)内的被抽取的学生人数为20×＝4.故选A.
4.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间[100，300)内的户数为 .
答案：82
解析：由频率分布直方图可得(0.001 2＋0.002 4＋0.002 4＋0.003 6＋a＋0.006 0)×50＝1，解得a＝0.004 4，所以月用电量落在区间[100，300)的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4＋0.002 4)×50＝0.82，所以在被调查的用户中，月用电量落在区间[100，300)内的户数为100×0.82＝82.
课时分层评价39 从频数到频率 频率分布直方图
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.对某班60名同学的一次数学成绩进行统计，如果80～90这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在80～90分之间的频率是( )
A.18 B.0.4
C.0.35 D.0.3
答案：D
解析：根据题意，成绩在80～90分之间的频率是＝0.3.故选D.
2.(多选题)下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D.频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数
答案：BCD
解析：对于A，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，故A错误；对于B，频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，是频率和为1，故B正确；对于C，频率分布直方图中各个小矩形的宽是组距，一样大，故C正确；对于D，频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数，故D正确.故选BCD.
3.某中学为了解本校移动支付与共享单车的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
答案：C
解析：根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如图，由图可知，使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90－80＝10(人)；所以使用过共享单车的学生有60＋10＝70(人)；因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
4.在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为( )
A.0.25 B.16
C.20 D.0.5
答案：B
解析：设中间一组的频数为x，依题意有＝，解得x＝16.故选B.
5.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出了如图所示的频率分布直方图.则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为( )
A.18 B.21
C.24 D.27
答案：B
解析：观察频率分布直方图，得每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的频率为1－5(0.06＋0.03＋0.02＋0.02)＝0.35，则60×0.35＝21，所以每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为21.故选B.
6.(多选题)某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则( )
A.样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B.样本中消费支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
答案：ABC
解析：根据频率分布直方图面积之和为1可得50元到60元之间的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，故A正确；容量n＝＝200，消费支出不少于40元的人数为200×(0.036×10＋0.3)＝132，故B、C正确；根据频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，则2 000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的约为200人，故D错误.故选ABC.
7.将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则m＝ .
答案：50
解析：因为第二、三组的频率分别为0.32和0.48，所以第一组的频率为1－0.32－0.48＝0.2，因为第一组的频数为10，所以m＝＝50.
8.为了解体育锻炼情况，随机统计了n名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间[50，150]中，其频率分布直方图如图所示.若在区间[50，75)中的频数为30，则n的值是 .
答案：300
解析：由频率分布直方图可知在[50，75)之间的频率为p＝0.004×25＝0.1，又因为p＝＝0.1，所以n＝300.
9.某校为了解学生的学习情况，抽查了100名同学，统计他们暑假期间每天平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图).则x＝ .
答案：0.15
解析：由频率分布直方图知：(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，所以x＝0.15.
10.(10分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分，单位：分)由低到高排列如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，，90，95，由于保存不利，其中[80，90)内的成绩被墨水覆盖.根据该数据绘制的频率分布直方图(如图)也被墨水覆盖了部分区域.
(1)求成绩在区间[50，60)内的频率及抽样人数；
(2)求成绩在区间[80，90)内的频数，并计算频率分布直方图中区间[80，90)对应的小长方形的高.
解：(1)易知成绩在区间[50，60)内的频率为0.008×10＝0.08，成绩在区间[50，60)内的频数为2，所以抽样人数为＝25.
(2)成绩在区间[80，90)内的频数为25－21＝4；频率分布直方图中区间[80，90)对应的小长方形的高为÷10＝0.016.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知小王2024年5月份总收入10 000元，总支出5 000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
工资 兼职 理财 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
则下列判断中正确的是( )
A.小王2024年5月份的收入主要来源是工资
B.小王2024年5月份的兼职收入低于食的支出
C.小王2024年5月份的最大支出为食
D.小王2024年5月份的工资刚好够支出
答案：ACD
解析：对于A，小王2024年5月份的收入来源中工资占比为50％，占比最大，故A正确；对于B，小王2024年5月份的兼职收入为10 000×20％＝2 000，食的支出为5 000×32％＝1 600，故小王2024年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；对于C，小王2024年5月份的支出中食占比为32％，占比最大，故C正确；对于D，小王2024年5月份的工资收入为10 000×50％＝5 000，刚好够支出，故D正确.故选ACD.
12.如图是某高校土木工程系大三年级55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，判断下列说法正确的是( )
A.成绩是75分的有20人
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在70～90分的有35人
D.成绩落在75～85分的有35人
答案：C
解析：A错误，成绩落在70～80分的人数为10××55＝20，但不能说成绩是75分的有20人；B错误，由频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在50～60分的人数和成绩落在90～100分的人数相等；C正确，成绩落在70～90分的有×55＝35(人)；D错误，无法判断成绩落在75～85分的人数.故选C.
13.下表是某生活超市2024年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区
营业收 入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
净利润 占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5％(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40％.
其中所有正确结论的序号是 .
答案：②③④
解析：由题中数据知，其它区营业收入占比4.7％，为最低的，故①错误；生鲜区的净利润占比65.8％＞50％，故②正确；生鲜区的营业利润率为×32.5％≈44％＞40％，故④正确；熟食区的营业利润率为×32.5％＜0；乳制品区的营业利润率为×32.5％≈26.68％；其他区的营业利润率为×32.5％≈12.45％；日用品区的营业利润率为×32.5％≈60.79％，最高，故③正确.故答案为②③④.
14.(10分)某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表.
分组 频数 频率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合计 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率分布直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数.
解：(1)由频率分布表得M＝＝100，
所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1，
频率分布直方图如图所示.
(2)由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为×600＝342.
15.(5分)对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：
寿命/天 频数 频率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合计 200 1
规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天的是次品，其余的是正品.现从灯泡样品中随机地抽取n(n∈N＋)个，若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：由频率分布表，得x＝200×0.15＝30，故灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品、次品的比为50∶100∶50＝1∶2∶1.按分层抽样方法，抽取灯泡的个数n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N＋)，故n的最小值为4.故选C.
16.(15分)已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭).
尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造.
(1)若M＝60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数；
(2)若M∈(60，70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1 000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H(M)(单位：元)的取值范围.
解：(1)由频率分布直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.02＋0.024＋0.02＋0.02)＝0.84，
所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为500×0.84＝420，
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.024＋0.016)＝0.4，
所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为500×0.4＝200.
(2)频率分布直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为10×0.004＋10×0.012＋0.02(M－60)＝0.02M－1.04，
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为0.024(70－M)＋0.016×10＝1.84－0.024M，
所以H(M)＝(0.02M－1.04)×1 000×200＋(1.84－0.024M)×1 000×100
＝4 000M－208 000＋184 000－2 400M＝1 600M－24 000，
因为M∈(60，70]，所以72 000＜1 600M－24 000≤88 000，
即72 000＜H(M)≤88 000.
故H(M)的取值范围为(72 000，88 000].
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3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
第六章 §3 用样本估计总体的分布
学习目标
1.了解频数与频率的概念，会用频数、频率知识解决实际问题.
2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据，培养直观想象的核心素养.
3.会用频率分布直方图或频率折线图估计总体分布，培养数据分析的核心素养.
任务一 从频数到频率
问题1.某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品；与某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1％，哪种情况能更好地反映工厂的生产情况？
提示：“生产了100个产品有10个不合格品”与“生产了1 000个产品有10个不合格品”，虽然都是10个不合格品，但是工厂生产的产品数量大不相同，因此只知道频数是不够的，需要用频率来刻画.频率能更好地反映样本和总体的相应特征.
问题导思
频数与频率
新知构建
名称 概念 联系 区别
频数 将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有的个体数目 都可以客
观地反映
总体分布 如果总体容量________，频数也可以较客观地反映总体分布
频率 ______与总数的比值 频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过______，当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布
比较小
频数
频数
在统计中，经常用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计，注意频率的取值范围.
微提醒
(链教材P162例2)某中学记载了2020～2024年学生高考本科上线人数及相应比例如下表，请根据表中数据说明频数与频率的不同之处.
典例
1
年份 2020 2021 2022 2023 2024
本科上线人数 1 013 1 092 1 154 1 187 1 223
比例 69.5％ 71.3％ 75.1％ 77.2％ 79.5％
解：从2020年到2024年本科上线人数逐年递增，从频数来看，2021年较上一年增加了79人，2022年较上一年增加了62人，2023年较上一年增加了33人，2024年较上一年增加了36人，容易得到2020年到2021年增加的人数最多，2022年到2023年以及2023年到2024年增加的人数较少，但从这五年的频率来看，2020年到2021年的频率增长了1.8％，是增长最少的，2021年到2022年的频率增长了 3.8％，是增长最大的，这说明只从频数一个角度分析实际问题是远远不够的，实际过程中，应从频数和频率两方面参考.
频率反映了相对总数而言的相对强度，其携带的总体信息要超过频数，频数受总体数量影响较大，所以频率能客观地反映总体分布，在生活中，经常用样本的频率分布去估计总体的频率 分布.
规律方法
对点练1.(1)工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
已知样本数据在(20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在(50，60]范围内的频率为
A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20
分组 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
频数 4 6 x 10 y 4
√
(2)(多选题)肥胖不仅影响个人形象，还会增加各种疾病发生的几率，近几年，减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房跟踪调查了20名肥胖者，把健身前后他们的体重(单位：kg)制成如下表格.
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是
A.健身后，体重在区间[90，100)内的频数增加值为2
B.健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少
C.原来体重在区间[80，90)和[90，100)内的人减肥失败
D.原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果
调查日期 2024年9月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 0 30％ 50％ 20％
调查日期 2025年1月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 10％ 40％ 50％ 0
√
√
原来体重在区间[90，100)内的频数为20×30％＝6，健身后体重在此区间内的频数为20×40％＝8，频数增加值为2，故A正确；原来体重在区间[110，120]内的频数为20×20％＝4，而健身后在此区间内的频数为0，说明原本体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少，故B正确；健身后体重在区间[100，110)内的频数没有变化，但是并不能说原来体重在区间[100，110)内的人减肥没有效果，因为健身前后这个区间的人不一定是相同的，同理，也不能说原来体重在[80，90)和[90，100)内的人减肥失败，故C、D均不正确.故选AB.
调查日期 2024年9月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 0 30％ 50％ 20％
调查日期 2025年1月1日
体重区间 [80，90) [90，100) [100，110) [110，120]
频率 10％ 40％ 50％ 0
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任务二 频率分布直方图
问题2.假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下表(单位：t)：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4
10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2
7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1
8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9
3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5
6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8
1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
提示：最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为26.7 t.
问题导思
问题3.样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为9组，试列出频率分布表并画出频率分布直方图.
提示：
分组 频数累计 频数 频率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 14 0.14
[10.2，13.2) 8 0.08
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 正 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
新知构建
频率
2.画频率分布直方图的步骤
频率
面
积
1
3.频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的______开始，用线段依次连接各个矩形的__________，直至右边所加区间的______，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图.有时也用它来估计总体的分布情况.
随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之______，而每个区间的长度则会相应随之______，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.
中点
顶端中点
中点
增多
减小
(1)频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.(2)当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示.(3)对于同一组数据，不同的组距决定不同的组数，得到的频率分布直方图也会不同.
微提醒
(链教材P163例3)某高校对2024年该校自主招生的数据做了新的研究，从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
典例
2
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据，并在下面的坐标平面内画频率分布直方图与频率折线图；
(2)如果在笔试成绩的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
组号 分组 频数 频率
第1组 [160，165) 5 0.05
第2组 [165，170) ① 0.35
第3组 [170，175) 30 ②
第4组 [175，180) 20 0.20
第5组 [180，185] 10 0.10
合计 100 1.00
规律方法
对点练2.有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：[10，15)，4；[30，35)，9；[15，20)，5；[35，40)，8；[20，25)，10；[40，45]，3；[25，30)，11.
(1)列出样本频率分布表；
解：由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表.
数据段 频数 频率
[10，15) 4 0.08
[15，20) 5 0.10
[20，25) 10 0.20
[25，30) 11 0.22
[30，35) 9 0.18
[35，40) 8 0.16
[40，45] 3 0.06
合计 50 1
(2)画出频率分布直方图及频率折线图.
解：频率分布直方图如图①所示，频率折线图如图②折线部分所示.
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任务三 频率分布直方图的应用
为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
典例
3
规律方法
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
规律方法
对点练3.(1)(多选题)供电部门对某社区100位居民6月
份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，
10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五组，
整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100
位居民，下列说法正确的是
A.6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B.6月份人均用电量在[30，40)内的有30人
C.6月份人均用电量不低于20度的有50人
D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[20，30)一组的人数为3
√
√
√
(2)(双空题)某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间
阅读古典名著的时间的情况，抽查了1 000名学生，将
他们的阅读时间进行分组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，
[8，10)，[10，12].抽样结果绘成的频率分布直方图如
图所示.则实数a＝________.这1 000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为________.
0.14
380
根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1，所以(0.04＋0.05＋0.12＋a＋0.15)×2＝1，得a＝0.14，阅读时间不少于8小时的人数为(0.05＋0.14)×2×1 000＝380.
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课堂小结
任务
再现 1.从频数到频率.2.绘制频率分布直方图和频率折线图
方法
提炼 图表识别、数据分析
易错
警示 频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义易错
随堂评价
1.频率分布直方图中，小长方形的面积等于
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
√
根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率.故选B.
2.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在(0，40]内的频率为
A.0.39 B.0.42
C.0.52 D.0.64
√
分组 (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
3.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进
行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在
[70，100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70，80)，
[80，90)，[90，100]分成三组，绘制成如图所示的频率
分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[70，80)内的被抽取的学生人数为
A.4 B.6 C.8 D.10
√
4.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间[100，300)内的户数为____.
82
由频率分布直方图可得(0.001 2＋0.002 4＋0.002 4＋0.003 6＋a＋0.006 0)×50＝1，解得a＝0.004 4，所以月用电量落在区间[100，300)的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4＋0.002 4)×50＝0.82，所以在被调查的用户中，月用电量落在区间[100，300)内的户数为100×0.82＝82.
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课时分层评价
1.对某班60名同学的一次数学成绩进行统计，如果80～90这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在80～90分之间的频率是
A.18 B.0.4
C.0.35 D.0.3
√
2.(多选题)下列说法正确的是
A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D.频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数
√
对于A，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，故A错误；对于B，频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，是频率和为1，故B正确；对于C，频率分布直方图中各个小矩形的宽是组距，一样大，故C正确；对于D，频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数，故D正确.故选BCD.
√
√
3.某中学为了解本校移动支付与共享单车的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
√
√
5.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清
单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话
时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出
了如图所示的频率分布直方图.则每次通话时长不
低于5分钟且小于15分钟的次数为
A.18 B.21 C.24 D.27
√
观察频率分布直方图，得每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的频率为1－5(0.06＋0.03＋0.02＋0.02)＝0.35，则60×0.35＝21，所以每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为21.故选B.
6.(多选题)某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则
A.样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B.样本中消费支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生参加研学，则约有20人消费
支出在20元到30元之间
√
√
√
7.将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.32和0.48，则m＝______.
50
8.为了解体育锻炼情况，随机统计了n名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间[50，150]中，其频率分布直方图如图所示.若在区间[50，75)中的频数为30，则n的值是_______.
300
9.某校为了解学生的学习情况，抽查了100名同学，统计他们暑假期间每天平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图).则x＝_______.
由频率分布直方图知：(0.04＋0.12＋x＋0.14＋0.05)×2＝1，所以x＝0.15.
0.15
10.(10分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分，单位：分)由低到高排列如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79， ，90，95，由于保存不利，其中[80，90)内的成绩被墨水覆盖.根据该数据绘制的频率分布直方图(如图)也被墨水覆盖了部分区域.
(1)求成绩在区间[50，60)内的频率及抽样人数；
11.(多选题)已知小王2024年5月份总收入10 000元，总支出5 000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
则下列判断中正确的是
A.小王2024年5月份的收入主要来源是工资
B.小王2024年5月份的兼职收入低于食的支出
C.小王2024年5月份的最大支出为食
D.小王2024年5月份的工资刚好够支出
√
工资 兼职 理财 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
√
√
对于A，小王2024年5月份的收入来源中工资占比为50％，占比最大，故A正确；对于B，小王2024年5月份的兼职收入为10 000×20％＝ 2 000，食的支出为5 000×32％＝1 600，故小王2024年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；对于C，小王2024年5月份的支出中食占比为32％，占比最大，故C正确；对于D，小王2024年5月份的工资收入为10 000×50％＝5 000，刚好够支出，故D正确.故选ACD.
工资 兼职 理财 其他
收入占比 50％ 20％ 8％ 22％
衣 食 住 行 其他
支出占比 8％ 32％ 28％ 8％ 24％
12.如图是某高校土木工程系大三年级55名学生期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，判断下列说法正确的是
A.成绩是75分的有20人
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在70～90分的有35人
D.成绩落在75～85分的有35人
√
13.下表是某生活超市2024年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区
营业收入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
净利润占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5％(营业利润率是净利润占营业收入的百分比)，给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40％.
其中所有正确结论的序号是__________.
②③④
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它区
营业收入占比 48.6％ 15.8％ 20.1％ 10.8％ 4.7％
净利润占比 65.8％ －4.3％ 16.5％ 20.2％ 1.8％
14.(10分)某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表.
分组 频数 频率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合计 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率分布直方图；
分组 频数 频率
[0，30) 3 0.03
[30，60) 3 0.03
[60，90) 37 0.37
[90，120) m n
[120，150] 15 0.15
合计 M N
15.(5分)对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：
规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天的是次品，其余的是正品.现从灯泡样品中随机地抽取n(n∈N＋)个，若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.5
寿命/天 频数 频率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合计 200 1
√
由频率分布表，得x＝200×0.15＝30，故灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品、次品的比为50∶100∶50＝1∶2∶1.按分层抽样方法，抽取灯泡的个数n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N＋)，故n的最小值为4.故选C.
寿命/天 频数 频率
[100，200) 20 0.10
[200，300) 30 y
[300，400) 70 0.35
[400，500) x 0.15
[500，600] 50 0.25
合计 200 1
16.(15分)已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭).
尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器 制造.
(1)若M＝60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数；
解：由频率分布直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.02＋0.024＋0.02＋0.02)＝0.84，
所以一区生产车间生产的500个该种型号的
零件中用于大型机器制造的零件个数为500
×0.84＝420，
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为10×(0.024＋0.016)＝0.4，
所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为500×0.4＝200.
(2)若M∈(60，70]，现有足够多的来自
一区生产车间与二区生产车间的零件，
分别用于大型机器、小型机器各1 000
台的制造，每台机器仅使用一个该种
型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H(M)(单位：元)的取值范围.
解：频率分布直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为10×0.004＋10×0.012＋0.02(M－60)＝0.02M－1.04，
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的
频率为0.024(70－M)＋0.016×10＝1.84
－0.024M，
所以H(M)＝(0.02M－1.04)×1 000×200
＋(1.84－0.024M)×1 000×100
＝4 000M－208 000＋184 000－2 400M＝1 600M－24 000，
因为M∈(60，70]，所以72 000＜1 600M－24 000≤88 000，
即72 000＜H(M)≤88 000.
故H(M)的取值范围为(72 000，88 000].
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