1.4 随机事件的运算
学习目标 1.了解随机事件的并、交的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算，提升数学运算的核心素养. 2.理解互斥事件、对立事件的概念，并理清它们之间的区别与联系，培养数学建模的核心素养.
任务一 交事件与并事件
问题1.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，若事件：C＝“点数为2”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：C＝{2}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∩E2＝C.
问题2.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，若事件：D＝“点数不大于3”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：D＝{1，2，3}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∪E2＝D.
随机事件的运算
事件的运算 交事件 并事件
定义 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
符号 A∩B(或AB) A∪B(或A＋B)
图示
含义 A与B同时发生 A与B至少有一个发生
[微思考] “事件A与B至少有一个发生”的含义是什么？
提示：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件A不发生事件B发生；(3)事件A和事件B同时发生.
(链教材P192例4)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.
事件间的运算方法
1.利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2.利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
对点练1.(1)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于8，事件B表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件A∩B用样本点表示为( )
A.{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}
B.{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}
C.{(1，5)，(2，4)，(3，3)}
D.{(1，5)，(2，4)}
(2)(多选题)对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是( )
A.A D B.A∪C＝B∪D
C.A∪C＝D D.B∪C＝D
答案：(1)A (2)AC
解析：(1)根据题意，事件A∩B表示两次点数和为6，因此事件A∩B用样本点表示为{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.故选A.
(2)对于A，事件D包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以A D，故A正确；对于B、C，A∪C＝D表示至少有一次击中目标，B∪D＝Ω为样本空间，故B错误，C正确；对于D，事件B∪C包含的事件为至多一次击中目标，故D错误.故选AC.
任务二 互斥事件与对立事件
问题3.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
问题4.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝ .
互斥事件与对立事件
事件 的关系 定义 图形表示 符号表示
互斥 事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝ )称为互斥事件.它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件 A∩B＝
对立 事件 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 A∩B＝ ， 且A∪B ＝Ω
[微思考] 命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
(链教材P192例4)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
解：(1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
互斥事件和对立事件的判断方法
1.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件.
2.判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件.只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件.
对点练2.(1)某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A互为对立事件的是( )
A.甲、乙、丙三名同学恰有两人中奖
B.甲、乙、丙三名同学都不中奖
C.甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖
D.甲、乙、丙三名同学至多有一人不中奖
(2)(多选题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张为红色
D.2张卡片都为绿色
答案：(1)C (2)ABD
解析：(1)事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选C.
(2)6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是“2张卡片都不是红色”，“2张卡片恰有一张蓝色”，“2张卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥.故选ABD.
任务三 事件运算的综合应用
(链教材P192例5)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
解：(1)用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，
事件R＝{(1，2)，(2，1)}，事件G＝{(3，4)，(4，3)}，事件M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
事件N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
(2)由(1)知，R∩G＝ ，而R∪G≠Ω，所以事件R，G互斥，不对立；
M∩N＝ ，M∪N＝Ω，所以事件M，N互为对立事件.
(3)由(1)知，R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件.
事件运算应注意的两个问题
1.进行事件运算时，一要紧扣运算定义，二要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时借助Venn图进行数学直观分析.
2.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.
对点练3.(1)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示“两弹都击中飞机”，事件B表示“两弹都没击中飞机”，事件C表示“恰有一弹击中飞机”，事件D表示“至少有一弹击中飞机”，下列关系不正确的是( )
A.A∩D＝A B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
(2)(多选题)如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设A＝“甲元件故障”，B＝“乙元件故障”，C＝“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是( )
A.∩ B.∪
C.∩ D.∪
答案：(1)D (2)ACD
解析：(1)“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，所以A∪B≠B∪D.故选D.
(2)对于A，由题意得，＝“甲元件正常”，BC＝“乙、丙元件同时故障”，＝“乙元件和丙元件至少有一个正常”，故∩表示电路是通路；对于B，AB＝“甲、乙元件同时故障”，＝“甲元件和乙元件至少有一个正常”，AC＝“甲、丙元件同时故障”，＝“甲元件和丙元件至少有一个正常”，∪不能得到甲元件一定正常，故不能表示电路是通路；对于C，＝ “甲元件正常”，＝ “乙元件正常”，＝ “丙元件正常”，∪＝“乙元件和丙元件至少有一个正常”，故∩表示电路是通路；对于D，＝“甲、乙元件均正常”，＝“甲、丙元件均正常”，故∪表示电路是通路.故选ACD.
任务 再现 1.交事件与并事件.2.互斥事件与对立事件
方法 提炼 列举法、Venn图法
易错 警示 未弄清事件之间的关系，导致互斥、对立事件判断错误
1.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥事件 D.以上答案都不对
答案：C
解析：“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件.故选C.
2.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A＝“点数为大于2小于5”，B＝“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为( )
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
答案：A
解析：A＝“点数为大于2小于5”＝{3，4}，B＝“点数为偶数”＝{2，4，6}，则A∩B＝{4}，故A∩B表示的事件为“点数为4”.故选A.
3.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是( )
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
答案：A
解析：对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，故A正确；对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，故B错误；对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，故C错误；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，故D错误.故选A.
4.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示 .
答案：至少击中1发
解析：根据并事件的定义可知，A＝A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一个发生，所以A＝A1∪A2∪A3表示至少击中1发.
课时分层评价43 随机事件的运算
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为( )
A.E∪F B.E∩F
C.E∩ D.∩
答案：A
解析：因为是串联电路，所以甲故障或乙故障都会导致电路故障，则表示电路故障的事件为E∪F.
2.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则( )
A.A∩B＝{出现的点数为2}
B.A∪B＝Ω
C.事件A与B是互斥事件
D.事件A与B是对立事件
答案：A
解析：由题意得，事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.故选A.
3.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A.A＝B
B.A∪B表示向上的点数是1或3
C.A∪B表示向上的点数是1或3或5
D.A∩B表示向上的点数是1或5
答案：C
解析：由题可知，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，所以事件B不等于事件A，故A错误；事件A∪B表示“向上的点数是1或3或5”，故C正确，B错误；事件A∩B表示“向上的点数是1”，故D错误.故选C.
4.某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.已知某同学已选了物理，记事件A＝“他选择政治和地理”，事件B＝“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( )
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件，也不是对立事件
答案：A
解析：事件A＝“他选择政治和地理”，事件B＝“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确.故选A.
5.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
答案：B
解析：对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.故选B.
6.(多选题)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”.下列结论判断正确的是( )
A.C1与C2互斥
B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝
C.D3 D2
D.C2，C3为对立事件
答案：ABC
解析：对于A，由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，故A正确；对于B，D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，故B正确；对于C，D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3 D2，故C正确；对于D，C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，故C2与C3互斥不对立，故D错误.故选ABC.
7.(开放题)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A＝{(正，反)}，写出事件A的一个互斥事件 (用集合表示，写出一个即可).
答案：{(正，正)}(答案不唯一)
解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中事件{(正，正)}，{(反，正)}，{(反，反)}与事件A都不可能同时发生，所以事件A的一个互斥事件可以是：{(正，正)}(答案不唯一).
8.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数分别为x，y，样本空间为Ω＝{(x，y)｜x，y∈N*，x，y≤6}，点数之和为X，事件P＝“X＝4”，事件Q＝{(1，3)}，则事件P与事件Q的关系是 .
答案：Q P
解析：事件P＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件Q＝{(1，3)}，所以Q P.
9.(双空题)甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是 ，事件“密码被破译”可表示为 .
答案： 只有一人破译出密码 B∪A∪AB
解析：由题意代表甲没有破译出密码，代表乙没有破译出密码，则B表示甲没有破译同时乙破译了，A表示甲破译同时乙没有破译，所以B∪A的含义是只有一人破译出密码，事件“密码被破译”可以分为甲没有破译同时乙破译了或甲破译同时乙没有破译或甲乙都破译了，所以可表示为B∪A∪AB.
10.(10分)骰子(tóu zi)，中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔(或数字)，其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成“shǎi”.现甲、乙两人玩掷骰子(质地均匀)游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)记A＝“甲、乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A包含的样本点；
(2)现连玩三次，记B＝“甲至少赢一次”，C＝“乙至少赢两次”，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？
解：(1)用x，y表示甲、乙两人掷出的点数，则(x，y)表示这个试验的一个样本点，
所以该试验的样本空间为S＝{(x，y)｜x∈N*，y∈N*，1≤x≤6，1≤y≤6}，共有36个样本点，
事件A包含的样本点共5个，即A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)B与C不是互斥事件，由于连玩三次，
则事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件B与C不是互斥事件.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C1＝“点数不大于3”，C2＝“点数大于3”，C3＝“点数大于5”；D＝“点数为奇数”；Ei＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6.下列结论正确的是( )
A.C1∩D＝D B.D＝E1∪E3∪E5
C.C2与C3互斥 D.E1与E2对立
答案：B
解析：因为事件D含有“点数为5”的基本事件，而事件C1不含这个基本事件，故A不正确；事件D含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”，“点数为5”，即D＝E1∪E3∪E5，故B正确；事件C2与C3都含有“点数为6”的基本事件，C2与C3不互斥，故C不正确；事件E1与E2不能同时发生，但可以同时不发生，E1与E2不对立，故D不正确.故选B.
12.(多选题)某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则( )
A.事件A和事件B是对立事件
B.事件A和事件C是对立事件
C.B∪C＝C
D.BC＝C
答案：BC
解析：因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；因为B C，所以B∪C＝C，故C正确；BC＝B，故D错误.故选BC.
13.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为 .
答案：“两次都中靶”
解析：因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶，所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”.
14.(10分)连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数.设A：第一次掷得的点数为1，Aj：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，其中j＝1，2，3，4，5，6，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3.
(1)写出下列事件的对应集合：①A，B至少有一个发生；②A，B同时发生.
(2)分别判断A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
(3)讨论Aj与A的关系.
解：(1)①根据和事件的定义可得，A，B至少有一个发生为A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
②根据积事件的定义可得，A，B同时发生为A∩B＝{(1，5)}.
(2)因为A∩B＝{(1，5)}，A∩C＝{(1，4)}，故A与B不互斥，A与C不互斥，
又B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}，
所以B∩C＝ ，所以B与C互斥.
(3)由题意，A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
15.(5分)(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则( )
A.A与B为互斥事件
B.B与C为对立事件
C.A∩B与为互斥事件
D.∩与C为对立事件
答案：CD
解析：因为事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，对于A，事件A与B可能同时发生，故A错误；对于B，事件C的对立事件为甲乙都不中奖，故B错误；对于C，由事件A∩B表示甲乙都中奖，事件表示甲乙都不中奖，所以不可能同时发生，所以A∩B与为互斥事件，故C正确；对于D，由事件∩表示甲乙都不中奖，事件C表示甲乙至少有一人中奖，所以∩与C为对立事件，故D正确.故选CD.
16.(15分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”，其中k＝0，1，2.
(1)事件A1含有多少个样本点？
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系？
解：(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点.
(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，
所以B＝A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件，所以＝A0∪A1，所以∪A0＝A0∪A1，
所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
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1.4 随机事件的运算
第七章 §1 随机现象与随机事件
学习目标
1.了解随机事件的并、交的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算，提升数学运算的核心素养.
2.理解互斥事件、对立事件的概念，并理清它们之间的区别与联系，培养数学建模的核心素养.
任务一 交事件与并事件
问题1.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，若事件：C＝“点数为2”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：C＝{2}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∩E2＝C.
问题2.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，若事件：D＝“点数不大于3”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联
系吗？
提示：D＝{1，2，3}和E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.即E1∪E2＝D.
问题导思
随机事件的运算
新知构建
事件的运算 交事件 并事件
定义 一般地，由事件A与事件B________所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) 一般地，由事件A和事件B______有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
符号 ________(或AB) __________________
都发生
至少
A∩B
A∪B(或A＋B)
事件的运算 交事件 并事件
图示
含义 A与B同时发生 A与B至少有一个发生
“事件A与B至少有一个发生”的含义是什么？
提示：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件A不发生事件B发生；(3)事件A和事件B同时发生.
微思考
(链教材P192例4)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
解：对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
典例
1
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解：对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.
事件间的运算方法
1.利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2.利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
规律方法
对点练1.(1)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于8，事件B表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件A∩B用样本点表示为
A.{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}
B.{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}
C.{(1，5)，(2，4)，(3，3)}
D.{(1，5)，(2，4)}
√
根据题意，事件A∩B表示两次点数和为6，因此事件A∩B用样本点表示为{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.故选A.
(2)(多选题)对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是
A.A D B.A∪C＝B∪D
C.A∪C＝D D.B∪C＝D
√
√
对于A，事件D包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以A D，故A正确；对于B、C，A∪C＝D表示至少有一次击中目标，B∪D＝Ω为样本空间，故B错误，C正确；对于D，事件B∪C包含的事件为至多一次击中目标，故D错误.故选AC.
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任务二 互斥事件与对立事件
问题3.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？
提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝ .
问题4.在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联 系吗？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝ .
问题导思
互斥事件与对立事件
新知构建
事件
的关系 定义 图形表示 符号表示
互斥
事件 一般地，______________的两个事件A与B(A∩B＝ )称为互斥事件.它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件 A∩B＝
不能同时发生
事件
的关系 定义 图形表示 符号表示
对立
事件 A∩B＝____，
且A∪B＝____
Ω
命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
微思考
(链教材P192例4)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
解：是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立 事件.
典例
2
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
解：既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明 理由.
解：不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
互斥事件和对立事件的判断方法
1.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件.
2.判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件.只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件.
规律方法
对点练2.(1)某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A互为对立事件的是
A.甲、乙、丙三名同学恰有两人中奖
B.甲、乙、丙三名同学都不中奖
C.甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖
D.甲、乙、丙三名同学至多有一人不中奖
√
事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选C.
(2)(多选题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有
A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张为红色 D.2张卡片都为绿色
√
√
√
6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是“2张卡片都不是红色”，“2张卡片恰有一张蓝色”，“2张卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥.故选ABD.
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任务三 事件运算的综合应用
(链教材P192例5)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，
事件R＝{(1，2)，(2，1)}，事件G＝{(3，4)，(4，3)}，事件M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
事件N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.
典例
3
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
解：由(1)知，R∩G＝ ，而R∪G≠Ω，所以事件R，G互斥，不对立；
M∩N＝ ，M∪N＝Ω，所以事件M，N互为对立事件.
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
解：由(1)知，R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件.
事件运算应注意的两个问题
1.进行事件运算时，一要紧扣运算定义，二要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时借助Venn图进行数学直观分析.
2.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.
规律方法
对点练3.(1)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示“两弹都击中飞机”，事件B表示“两弹都没击中飞机”，事件C表示“恰有一弹击中飞机”，事件D表示“至少有一弹击中飞机”，下列关系不正确的是
A.A∩D＝A B.B∩D＝
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
√
“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，所以A∪B≠B∪D.故选D.
√
√
√
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课堂小结
任务
再现 1.交事件与并事件.2.互斥事件与对立事件
方法
提炼 列举法、Venn图法
易错
警示 未弄清事件之间的关系，导致互斥、对立事件判断错误
随堂评价
1.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥事件 D.以上答案都不对
√
“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件.故选C.
2.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A＝“点数为大于2小于5”，B＝“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
√
A＝“点数为大于2小于5”＝{3，4}，B＝“点数为偶数”＝{2，4，6}，则A∩B＝{4}，故A∩B表示的事件为“点数为4”.故选A.
3.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
√
对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，故A正确；对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，故B错误；对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，故C错误；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，故D错误.故选A.
4.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示____________.
至少击中1发
根据并事件的定义可知，A＝A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一个发生，所以A＝A1∪A2∪A3表示至少击中1发.
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课时分层评价
√
因为是串联电路，所以甲故障或乙故障都会导致电路故障，则表示电路故障的事件为E∪F.
2.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则
A.A∩B＝{出现的点数为2}
B.A∪B＝Ω
C.事件A与B是互斥事件
D.事件A与B是对立事件
√
由题意得，事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.故选A.
3.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则
A.A＝B
B.A∪B表示向上的点数是1或3
C.A∪B表示向上的点数是1或3或5
D.A∩B表示向上的点数是1或5
√
由题可知，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，所以事件B不等于事件A，故A错误；事件A∪B表示“向上的点数是1或3或5”，故C正确，B错误；事件A∩B表示“向上的点数是1”，故D错误.故选C.
4.某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.已知某同学已选了物理，记事件A＝“他选择政治和地理”，事件B＝“他选择化学和地理”，则事件A与事件B
A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件，也不是对立事件
√
事件A＝“他选择政治和地理”，事件B＝“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确.故选A.
5.从装有10个红球和10个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
√
对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.故选B.
6.(多选题)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”.下列结论判断正确的是
A.C1与C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝
C.D3 D2 D.C2，C3为对立事件
√
对于A，由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，故A正确；对于B，D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，故B正确；对于C，D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3 D2，故C正确；对于D，C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，故C2与C3互斥不对立，故D错误.故选ABC.
√
√
7.(开放题)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A＝{(正，反)}，写出事件A的一个互斥事件________________________(用集合表示，写出一个即可).
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中事件{(正，正)}，{(反，正)}，{(反，反)}与事件A都不可能同时发生，所以事件A的一个互斥事件可以是：{(正，正)}(答案不唯一).
{(正，正)}(答案不唯一)
8.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数分别为x，y，样本空间为Ω＝{(x，y)｜x，y∈N*，x，y≤6}，点数之和为X，事件P＝“X＝4”，事件Q＝{(1，3)}，则事件P与事件Q的关系是__________.
事件P＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件Q＝{(1，3)}，所以Q P.
Q P
只有一人破译出密码
10.(10分)骰子(tóu zi)，中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔(或数字)，其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成“shǎi”.现甲、乙两人玩掷骰子(质地均匀)游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)记A＝“甲、乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A包含的样本点；
解：用x，y表示甲、乙两人掷出的点数，则(x，y)表示这个试验的一个样本点，
所以该试验的样本空间为S＝{(x，y)｜x∈N*，y∈N*，1≤x≤6，1≤y≤6}，共有36个样本点，
事件A包含的样本点共5个，即A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)现连玩三次，记B＝“甲至少赢一次”，C＝“乙至少赢两次”，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？
解：B与C不是互斥事件，由于连玩三次，
则事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件B与C不是互斥事件.
11.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C1＝“点数不大于3”，C2＝“点数大于3”，C3＝“点数大于5”；D＝“点数为奇数”；Ei＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6.下列结论正确的是
A.C1∩D＝D B.D＝E1∪E3∪E5
C.C2与C3互斥 D.E1与E2对立
√
因为事件D含有“点数为5”的基本事件，而事件C1不含这个基本事件，故A不正确；事件D含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”，“点数为5”，即D＝E1∪E3∪E5，故B正确；事件C2与C3都含有“点数为6”的基本事件，C2与C3不互斥，故C不正确；事件E1与E2不能同时发生，但可以同时不发生，E1与E2不对立，故D不正确.故选B.
12.(多选题)某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则
A.事件A和事件B是对立事件 B.事件A和事件C是对立事件
C.B∪C＝C D.BC＝C
√
因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；因为B C，所以B∪C＝C，故C正确；BC＝B，故D错误.故选BC.
√
13.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为________________.
“两次都中靶”
因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶，所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”.
14.(10分)连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数.设A：第一次掷得的点数为1，Aj：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，其中j＝1，2，3，4，5，6，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3.
(1)写出下列事件的对应集合：①A，B至少有一个发生；②A，B同时发生.
解：①根据和事件的定义可得，A，B至少有一个发生为A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
②根据积事件的定义可得，A，B同时发生为A∩B＝{(1，5)}.
(2)分别判断A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
解：因为A∩B＝{(1，5)}，A∩C＝{(1，4)}，故A与B不互斥，A与C不互斥，
又B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}，
所以B∩C＝ ，所以B与C互斥.
(3)讨论Aj与A的关系.
解：由题意，A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
√
√
16.(15分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”，其中k＝0，1，2.
(1)事件A1含有多少个样本点？
解：用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点.
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
解：事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，
所以B＝A1∪A2.
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