(共59张PPT)
4.1 样本的数字特征
第六章 §4 用样本估计总体的数字特征
学习目标
1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差，培养数学运算的核心素养.
2.能够利用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理的解释和决策，培养数据分析的核心素养.
任务一 平均数、中位数和众数
问题1.在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？
提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个数，则为这两个数的平均数.
问题导思
新知构建
平均数
中位数 把一组数据按从________的顺序排列，处在______位置(或中间两个数的平均数)的数据称为这组数据的中位数
众数 一组数据中出现__________的数据
平均值
小到大
中间
次数最多
一组数据的平均数、中位数都是唯一的；而众数不一定唯一，可以有一个，也可以有多个.
微提醒
典例
1
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.
规律方法
对点练1.(1)某校一个数学兴趣小组四位学生参加一次竞赛中，最高分为280分，最低分为220分，且四位学生得分的中位数与平均数相同，则4位学生的平均成绩为
A.240 B.250
C.260 D.270
√
√
√
√
返回
任务二 极差、方差、标准差
问题导思
新知构建
极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的______
方差
标准差
方差、标准差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.
极差
(1)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)，标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.(2)方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.(3)标准差的单位与样本数据一致.
微提醒
典例
2
1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2.在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.
规律方法
对点练2.(2025·安徽高二上阶段练习)某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下：
(1)求甲、乙两名同学的平均成绩；
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
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任务三 利用频率分布直方图估计总体的数字特征
某市教育局为调查该市高一年级学生的综合素养，在该市高一年级的学生中随机抽取了100名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图，如下图.
(1)求直方图中a的值；
解：由频率分布直方图知，(0.005＋0.01＋a＋0.03＋0.02)×10＝1，
解得a＝0.035.
典例
3
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
1.众数：在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标.
2.中位数：在样本中，有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
3.平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.
规律方法
(2)这50名学生的平均成绩.
解：样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，
即所有数据的平均值，
所以平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)
＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×
10)＋95×(0.016×10)＝76.2.
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课堂小结
任务
再现 1.众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算.2.样本数据数字特征的应用
方法
提炼 数据分析、统计
易错
警示 未对数据排序导致求中位数错误、方差与标准差计算错误
随堂评价
1.一组数据25，12，31，44，36，23，36，49，24，15，39，50，31的中位数是
A.31 B.36
C.35 D.34
√
将该组数据从小到大排列为12，15，23，24，25，31，31，36，36，39，44，49，50，共13个数，中位数为从小到大第7个数，即为31.故 选A.
2.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是
A.86，84 B.84.5，85
C.85，84 D.86.5，84
√
3.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
√
甲 乙 丙 丁
平均成绩x 8.6 8.9 8.9 8.2
方差s2 3.5 5.6 2.1 3.5
由题中数据可知，甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，又甲、乙、丙、丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，所以综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，所以丙是最佳人选.故选C.
4.若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为10，则数据5x1－1，5x2－1，…，5x10－1的平均数为______.
49
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课时分层评价
1.数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为
A.3.5和2 B.3和4
C.4和2 D.3.5和4
√
2.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
A.中位数是5，平均数是3.6 B.众数是5，平均数是4.6
C.中位数是4，平均数是3.6 D.众数是2，平均数是4.6
√
劳动时间(小时) 3 4 5 6
人数 1 1 2 1
3.下列四组数据中，方差最小的是
A.5，5，5，5，5，5，5，5 B.4，4，4，5，5，5，6，6
C.3，3，4，4，5，6，6，7 D.2，2，2，2，2，5，8，8
√
4.(多选题)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法正确的是
A.极差是5 B.众数是8
C.中位数是9 D.方差是2.8
√
√
√
5.某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分，在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到5个有效评分，这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.以上都不对
√
把7个原始评分从小到大排列后，7个原始评分中，第4个为中位数，去掉1个最高分，1个最低分，得到5个有效评分，这5个有效评分中，第3个为中位数，在原数据中是第4个数据，故两次评分中，中位数相等，众数和平均数不一定相等.故选B.
√
√
√
7.某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是_______(填“平均数”“众数”或“中位数”).
鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数.
众数
码号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
8.(双空题)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，若这组数据2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的平均数为a，方差为b，则a＝_______，b＝_______.
19
8
9.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝__________.
12或8
10.(10分)甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)：
甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12；
乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12；
丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：
平均数 众数 中位数
甲厂
乙厂
丙厂
(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；
解：甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数.
(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？
解：选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平.
√
√
13.某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水
平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1 000名
学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计.已
知该样本中的每个值都是[40，100]中的整数，且在
[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]上的频率分布直方图如图所示，记这1 000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率)为a，则a的值为_______.
67.5
平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，所以有a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.
14.(10分)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：
275 268 237 208 225 396 168 199 157 166 176 173 188 221 176 159 168 150 173 198 177 129 144 163 141 142 157 142 112 136 140 166 102 110 98
(1)数据中有无众数？
解：因为142，157，166，168，173，176均出现两次，
所以142，157，166，168，173，176都是众数.
(3)若数据中的最大值比现有的最大值多25，数据的极差、中位数、众数、平均数发生改变了吗？
解：因为极差是数据中的最大值减去最小值，所以极差变了；
因为中位数与数据的最大值无关，所以中位数不变；
因为众数与数据的最大值无关，所以众数不变；
因为平均数与数据中的最大值有关，所以平均数变了.
15.(5分)(多选题)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图①形成对称形态，图②形成“右拖尾”形态，图③形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是
A.图①的平均数＝中位数＝众数
B.图②的众数＜中位数＜平均数
C.图②的众数＜平均数＜中位数
D.图③的平均数＜中位数＜众数
√
√
√
图①的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图②众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；图③左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选ABD.
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
(1)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
返回§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
学习目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差，培养数学运算的核心素养. 2.能够利用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理的解释和决策，培养数据分析的核心素养.
任务一 平均数、中位数和众数
问题1.在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？
提示：众数就是在一组数中出现次数最多的数；中位数就是将一组数按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个数，则为这两个数的平均数.
平均数 指一组数据的平均值.若n个数x1，x2，…，则＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数
中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数据称为这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据
[微提醒] 一组数据的平均数、中位数都是唯一的；而众数不一定唯一，可以有一个，也可以有多个.
(链教材P168例1)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.
对点练1.(1)某校一个数学兴趣小组四位学生参加一次竞赛中，最高分为280分，最低分为220分，且四位学生得分的中位数与平均数相同，则4位学生的平均成绩为( )
A.240 B.250
C.260 D.270
(2)(多选题)下列说法中正确的是( )
A.数据2，4，6，8的中位数是4，6
B.数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数
D.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
答案：(1)B (2)BCD
解析：(1)设另两位学生的成绩为x，y，则＝，得x＋y＝500，所以4位学生的平均成绩为＝250.故选B.
(2)数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A错误；由众数的定义可知，数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4，一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数，例如这组数据的每个数都相同的时候就满足，8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是，故B、C、D都正确.故选BCD.
任务二 极差、方差、标准差
问题2.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
提示：经计算得＝(7＋8＋…＋4)＝7，同理可得＝7.还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.说明乙的射击水平较甲更稳定.
极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，xi(i＝1，2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数
标准差 s＝＝
方差、标准差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.
[微提醒] (1)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)，标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.(2)方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.(3)标准差的单位与样本数据一致.
(链教材P170例3)某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.
(1)应从大三中抽取多少个团队？
(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试(共150分)，甲、乙两组的成绩如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？
解： (1)由题意知，大三团队个数占总团队个数的比为＝，
则应从大三中抽取20×＝6 (个)团队.
(2)甲组成绩的平均数＝(125＋141＋…＋142)＝130，
乙组成绩的平均数＝(127＋116＋…＋140)＝131，
甲组数据的方差＝[(125－130)2＋(141－130)2＋…＋(142－130)2]＝104.2，
乙组数据的方差＝[(127－131)2＋(116－131)2＋…＋(140－131)2]＝128.8，
选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但＜，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定；选乙组理由：＜，在比赛中，估计获胜的可能性大.
1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2.在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.
对点练2.(2025·安徽高二上阶段练习)某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求甲、乙两名同学的平均成绩；
(2)现要从中选派一人参加国赛，从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.
解：(1)根据题中数据可知：
甲同学的平均成绩
＝＝85，
乙同学的平均成绩
＝＝85.
(2)由(1)可知＝＝85，
甲同学成绩的方差＝[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝[(－3)2＋(－4)2＋(－6)2＋(－7)2＋102＋32＋82＋(－1)2]＝35.5，
乙同学成绩的方差
＝[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝[72＋102＋(－5)2＋(－10)2＋(－2)2＋(－5)2＋52＋02]＝41，
所以＜，
综上所述，甲、乙两名同学平均成绩相同，所以两名同学水平相当；
又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，所以甲比乙的发挥更加稳定.
所以应该选择甲同学作为参加国赛的集中强化培训对象.
任务三 利用频率分布直方图估计总体的数字特征
某市教育局为调查该市高一年级学生的综合素养，在该市高一年级的学生中随机抽取了100名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图，如下图.
(1)求直方图中a的值；
(2)由直方图分别估计该市高一年级学生综合素养成绩的众数、平均数和方差.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
解：(1)由频率分布直方图知，(0.005＋0.01＋a＋0.03＋0.02)×10＝1，
解得a＝0.035.
(2)由直方图知，高一年级学生综合素养成绩的众数为＝70，
估计该市高一年级学生综合素养的平均成绩为50×0.05＋60×0.1＋70×0.35＋80×0.3＋90×0.2＝75，
方差为(50－75)2×0.05＋(60－75)2×0.1＋(70－75)2×0.35＋(80－75)2×0.3＋(90－75)2×0.2＝115.
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
1.众数：在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标.
2.中位数：在样本中，有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
3.平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.
对点练3.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高矩形的底边中点的横坐标即为所求，
所以众数应为＝75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.
因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求.
因为0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5，
所以中位数应位于第四个小矩形内.设中位数为x，0.03(x－70)＝0.2，
解得x＝，故中位数应约为.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，
所以平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2.
任务 再现 1.众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算.2.样本数据数字特征的应用
方法 提炼 数据分析、统计
易错 警示 未对数据排序导致求中位数错误、方差与标准差计算错误
1.一组数据25，12，31，44，36，23，36，49，24，15，39，50，31的中位数是( )
A.31 B.36
C.35 D.34
答案：A
解析：将该组数据从小到大排列为12，15，23，24，25，31，31，36，36，39，44，49，50，共13个数，中位数为从小到大第7个数，即为31.故选A.
2.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A.86，84 B.84.5，85
C.85，84 D.86.5，84
答案：D
解析：将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数＝＝86.5，因为84出现了三次，且次数最多，所以众数为84.故选D.
3.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )
甲 乙 丙 丁
平均成绩x 8.6 8.9 8.9 8.2
方差s2 3.5 5.6 2.1 3.5
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案：C
解析：由题中数据可知，甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，又甲、乙、丙、丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，所以综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，所以丙是最佳人选.故选C.
4.若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为10，则数据5x1－1，5x2－1，…，5x10－1的平均数为 .
答案：49
解析：由条件可知＝10，那么＝5×－1＝10×5－1＝49.
课时分层评价40 样本的数字特征
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为( )
A.3.5和2 B.3和4
C.4和2 D.3.5和4
答案：D
解析：将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8，所以中位数为＝3.5；平均数为＝4.故选D.
2.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是( )
劳动时间(小时) 3 4 5 6
人数 1 1 2 1
A.中位数是5，平均数是3.6
B.众数是5，平均数是4.6
C.中位数是4，平均数是3.6
D.众数是2，平均数是4.6
答案：B
解析：由表格数据知：众数为5；中位数为5；平均数为＝4.6.故选B.
3.下列四组数据中，方差最小的是( )
A.5，5，5，5，5，5，5，5 B.4，4，4，5，5，5，6，6
C.3，3，4，4，5，6，6，7 D.2，2，2，2，2，5，8，8
答案：A
解析：设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…(xn－)2]，方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为0；对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于0；对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于0；对于D，这组数据波动较大，故方差较大.故选A.
4.(多选题)已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法正确的是( )
A.极差是5 B.众数是8
C.中位数是9 D.方差是2.8
答案：ABD
解析：由题意可知：＝(8＋5＋x＋8＋10)＝8，解得x＝9，将数据按升序排列可得：5，8，8，9，10，则有：极差为10－5＝5，故A正确；众数是8，故B正确；中位数为8，故C错误；方差为s2＝[(5－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.8，故D正确.故选ABD.
5.某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分，在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到5个有效评分，这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是( )
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.以上都不对
答案：B
解析：把7个原始评分从小到大排列后，7个原始评分中，第4个为中位数，去掉1个最高分，1个最低分，得到5个有效评分，这5个有效评分中，第3个为中位数，在原数据中是第4个数据，故两次评分中，中位数相等，众数和平均数不一定相等.故选B.
6.(多选题)已知一组数据x1，x2，…，xm的平均数为，另一组数据y1，y2，…，yn的平均数为.若数据x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为，则( )
A.当m＝n时，＝
B.当＝时，m＝n
C.当＝时，＝
D.当＞时，＞
答案：ACD
解析：当m＝n时，＝＝＝，故A正确；当＝时，取x1＝x2＝…＝xm＝0，y1＝y2＝…＝yn＝0，则m与n不一定相等，故B错误；当＝时，＝＝＝＝＝，故C正确；当＞时，＝＞，有＋＞0，故－＞0，即－＝－)＞0，所以＞，故D正确.故选ACD.
7.某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：
码号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，最关心的是哪种码号的鞋销量最大，那么对你来说最重要的是 (填“平均数”“众数”或“中位数”).
答案：众数
解析：鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大，由题表可知，码号为37的鞋销量最大，共销售了16双，37是这组数据的众数.
8.(双空题)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，若这组数据2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的平均数为a，方差为b，则a＝ ，b＝ .
答案： 19 8
解析：因为x1，x2，…，xn的平均数为＝10，方差为s2＝2，所以2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的平均数为a＝2－1＝2×10－1＝19，方差为b＝22s2＝4×2＝8.
9.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝ .
答案：12或8
解析：当x≤8时，将数据进行排列，得到x，8，10，10，因为这组数据的中位数和平均数相等，所以＝，解得x＝8；当8＜x＜10时，将数据进行排列，得到8，x，10，10，因为这组数据的中位数和平均数相等，所以＝，解得x＝8，与范围不符，故排除；当x≥10时，将数据进行排列，得到8，10，10，x，因为这组数据的中位数和平均数相等，所以＝，解得x＝12，经检验，x＝8和x＝12均符合题意.
10.(10分)甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)：
甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12；
乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12；
丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10.
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：
平均数 众数 中位数
甲厂
乙厂
丙厂
(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；
(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？
解：(1)＝＝8，＝＝8.5，
＝＝8.5，
甲厂：8，6，8；乙厂：8.5，7，8；丙厂：8.5，8，8.5.
(2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数.
(3)选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.为了解家里每月的用水量情况，小明收集并记录了家里连续6个月的用水量，分别是3，2，4，6，5，4(单位：吨)，关于这几个数据的说法，下列结论中正确的是( )
A.平均数是5 B.众数是6
C.中位数是5 D.方差是
答案：D
解析：将这组数据重新排列为2，3，4，4，5，6，所以这组数据的平均数为＝4，众数为4，中位数为＝4，方差为×[(2－4)2＋(3－4)2＋2×(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意.故选D.
12.水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是( )
A.＞ B.＝
C.＞ D.＝
答案：C
解析：水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，所以该顾客选购橘子的重量的平均数＞原有橘子的重量的平均数，该顾客选购的橘子的重量的方差＜原有橘子的重量的方差.故选C.
13.某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1 000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计.已知该样本中的每个值都是[40，100]中的整数，且在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]上的频率分布直方图如图所示，记这1 000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率)为a，则a的值为 .
答案：67.5
解析：平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，所以有a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.
14.(10分)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：
275 268 237 208 225 396 168 199 157 166 176 173 188 221
176 159 168 150 173 198 177 129 144 163 141 142 157 142 112
136 140 166 102 110 98
(1)数据中有无众数？
(2)计算数据的中位数与平均数，它们相等吗？
(3)若数据中的最大值比现有的最大值多25，数据的极差、中位数、众数、平均数发生改变了吗？
解：(1)因为142，157，166，168，173，176均出现两次，
所以142，157，166，168，173，176都是众数.
(2)将数据从小到大排序，得到中位数是166，
平均数为(275＋268＋…＋98)＝，两者不相等.
(3)因为极差是数据中的最大值减去最小值，所以极差变了；
因为中位数与数据的最大值无关，所以中位数不变；
因为众数与数据的最大值无关，所以众数不变；
因为平均数与数据中的最大值有关，所以平均数变了.
15.(5分)(多选题)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图①形成对称形态，图②形成“右拖尾”形态，图③形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是( )
A.图①的平均数＝中位数＝众数
B.图②的众数＜中位数＜平均数
C.图②的众数＜平均数＜中位数
D.图③的平均数＜中位数＜众数
答案：ABD
解析：图①的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图②众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；图③左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选ABD.
16.(15分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(1)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(2)在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数与标准差.(精确到0.01)
附：≈0.09.
解：(1)由于＝9.97，s≈0.212，－3s≈9.334，＋3s≈10.606，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.
(2)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数的估计值为10.02，
因为方差s2＝－16)≈0.2122，
所以≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.
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