§3 频率与概率
学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，会用频率估计概率，培养数学运算的核心素养. 2.理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例，培养数学抽象的核心素养.
任务一 频率与概率的概念
问题1.利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：
序号 n＝20 n＝100 n＝500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
你能计算出A事件的概率吗？频率与概率有什么关系？
提示：抛掷两枚硬币的可能结果为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，则事件A的概率为＝0.5.
(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
问题2.频率和概率可以相等吗？
提示：频率和概率在某些情况下可以相等，但通常它们是不相等的.频率具有随机性，而概率是一个具体的值，随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近；常用频率估计概率.
频率与概率
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 [0，1]
关系 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)
通常用频率来估计概率
[微提醒] 频率与概率的区别与联系：(1)频率本身是随机的，是一个变量；而概率是一个确定的值，与每次试验无关.(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(3)若A是随机事件，则0≤P(A)≤1.
(多选题)下列说法不正确的是( )
A.某医院治疗某种疾病的治愈率为20％，前8人没有治愈，则后两个人一定治愈
B.甲乙两人进行乒乓球比赛，乙获胜的概率为，则比赛5场，乙胜2场
C.用某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗，结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药，则估计会有明显疗效的可能性为75％
D.随机试验的频率与概率相等
答案：ABD
解析：对于A，某医院治疗某种疾病的治愈率为20％，是说明有多大把握治愈，而不是具体的多少人能够治愈，故A错误；对于B，概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，虽然乙获胜的概率为，但是比赛5场，乙胜2场的说法不符合定义，故B错误；对于C，估计会有明显疗效的可能性为＝0.75＝75％，故C正确；对于D，频率和概率是两个不同的概念，故D错误.故选ABD.
正确理解频率与概率
1.概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.
2.随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
对点练1.(1)下列三个命题：①任何事件的概率P(A)均满足0＜P(A)＜1；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
(2)(多选题)下述关于频率与概率的说法中，错误的是( )
A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10 000，所估计出的概率也不一定很准确
C.频率与概率的意义不一样，但数值相等
D.做5次抛硬币的试验，结果2次出现反面，因此，抛一枚硬币出现反面的概率是
答案：(1)A (2)ACD
解析：(1)对于①，任何事件的概率P(A)均满足0＜P(A)＜1为假命题，因为不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故①错误；对于②，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是为假命题，因为是出现正面的频率，故②错误；对于③，随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率为假命题，因为大量重复试验，随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值，故③错误.因此正确的说法是0个.故选A.
(2)对于A，从中任取100件，可能有10件是次品，故A错误；对于B，10 000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，故B正确；对于C，频率与概率的意义不一样，但数值近似相等，故C错误；对于D，做5次抛硬币的试验，结果2次出现反面，因此，抛一枚硬币出现反面的频率是，不是概率为，故D错误.故选ACD.
任务二 用频率估计概率
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：(1)如表所示：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
用频率估计概率时的关注点
1.在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值.
2.通过频率＝计算出频率，再由频率估算概率.
3.在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，则这个常数就是概率.
对点练2.(1)从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为( )
A.0.1 B.0.15
C.0.25 D.0.5
(2)(多选题)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线、汉堡等其它食品(每人只选一种)，结果如表所示：
总人次数 大米套餐人次数 面食人次数
1 000 550 260
假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线、汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则( )
A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26
C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
答案：(1)C (2)ABC
解析：(1)在所给的数据中，在497.5 g～501.5 g之间的数据有498，501，500，501，499共5个，所以数据在497.5 g～501.5 g之间的频率为＝0.25.用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选C.
(2)用频率估计概率得，P(M)＝＝0.55，P(N)＝＝0.26，P(H)＝＝0.19，故A、B、C正确；P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D错误.故选ABC.
任务三 概率在实际问题中的应用
假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试用频率估计该产品是甲品牌的概率.
解：(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，
所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝，
用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.
概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
对点练3.对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表：
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品 的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品 的频率 0.1
(1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率；
(2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的频率是多少？
(3)如果要销售2 000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？
解：(1)检出次品的频率＝，填表如下：
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品 的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品 的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02
(2)抽取的件数总和为50＋100＋200＋300＋400＋500＝1 550，
检出次品的件数总和为5＋6＋5＋6＋8＋10＝40，
故从这批西装中任抽一件，抽到次品的频率是＝≈0.026.
(3)如果要销售2 000件西装，则次品西装的件数约为2 000×0.026＝52(件)，
所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换.
任务 再现 1.频率与概率的意义.2.用频率估计概率以及概率的应用
方法 提炼 数据分析
易错 警示 概率的意义理解错误
1.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，下列说法正确的是( )
A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10％
B.医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D.医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
答案：A
解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为10％，故A正确；对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为10％，不一定有一位病人被治愈，故B错误；对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误.故选A.
2.将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件A＝“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为( )
A.20 B.25
C.50 D.无法确定
答案：D
解析：任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率(频数与试验次数的比值)具有随机性，而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性，则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定.故选D.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025次，那么第2 024次出现正面朝上的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变，故第2 024次出现正面朝上的概率是，故D正确.故选D.
4.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中作过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有 只该种动物.
答案：8 000
解析：根据题意，设保护区内约有x只这种动物，则有＝，解得x＝8 000，则保护区内约有8 000只这种动物.
课时分层评价46 频率与概率
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由频率估计概率可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝.故选C.
2.某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有( )
A.17万件 B.18万件
C.19万件 D.20万件
答案：C
解析：因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，所以合格的有95件，所以合格率为95÷100＝95％，所以估计该厂这20万件产品中合格产品约有20×95％＝19万件.故选C.
3.投掷硬币试验，设A＝“正面朝上”，则下列论述正确的是( )
A.投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B.投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C.投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D.投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5
答案：D
解析：对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上”四种情况，故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误；对于B，每次投掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，事件A发生的次数可以是0，1，2，…，10中的任何一个，故B错误；对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误；对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确.故选D.
4.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是( )
A.0.58 B.0.61
C.0.62 D.0.68
答案：B
解析：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适.故选B.
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的好时节，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为放养这只黑小蜜蜂的养蜂人可能性较大的是( )
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.不能确定
答案：B
解析：由题意可知，捕获的黑小蜜蜂是养蜂人甲放养的概率为，是养蜂人乙放养的概率为，所以认为放养这只黑小蜜蜂的养蜂人可能性较大的是乙.故选B.
6.(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18
C.P(C)＝0.27 D.P(B＋C)＝0.55
答案：ABC
解析：根据题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是A、B、C都正确，D不正确.故选ABC.
7.某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了1 000名居民进行调查，其结果如下：
受教育程度 研究生 本科及以下
人数 100 900
现从该社区中随机抽取一人，根据表中数据，估计此人具有研究生学历的概率为 .
答案：
解析：由题意知，根据样本频率估计概率，则估计此人具有研究生学历的概率为＝.
8.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
种子个数n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
发芽种子个数m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 (精确到0.1).
答案：0.9
解析：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在0.9附近，所以估计该植物的种子发芽的概率为0.9.
9.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
答案：8
解析：因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有9个红个球，3个白球，所以＝0.4，解得x＝8.
10.(10分)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率，通过计算说明他们应如何选择各自的路径.
解：(1)调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44(人)，因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44，
用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44.
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站，
根据题意，P(A1)＝＋＋＝0.6，
P(A2)＝＋＝0.5，
由P(A1)＞P(A2)，得甲应选择路径L1；
P(B1)＝＋＋＋＝0.8，
P(B2)＝＋＋＝0.9，
由P(B1)＜P(B2)，得乙应选择路径L2，
所以甲应选择路径L1，乙应选择路径L2.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约40％的人近视，而该校大约有30％的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50％.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设该校有a名同学，则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h.因为该校大约有30％的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50％，所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为P＝＝.故选B.
12.(多选题)第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板.美国数理统计学家瓦尔德(Abraham Wald)研究了返航轰炸机的中弹情况.他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置.图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击标记.根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是( )
A.机头部分 B.机翼部分
C.机腹部分 D.尾翼部分
答案：AC
解析：因为飞机每一部分在空中中弹情况都是等可能的，而飞回来的飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明机头和机腹部分较为危险，只要中弹就回不来了，机翼和尾翼部分弹孔密集，说明这两部分危险性较小，比较耐打.故应该加强机头和机腹部分.故选AC.
13.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60％.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
答案：
解析：10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为＝.
14.(10分)某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率；
(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
解：(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为P1＝＝，P2＝＝，P3＝＝，
因为P1＞P2＞P3，所以老年人更倾向于选择报团游.
(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，从中随机抽取2人，基本事件共10个，分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，
其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，
所以这2人中有老年人的概率为P＝＝.
(3)根据表中的数据，得到：报团游的满意率为P4＝＝，
自助游的满意率为P5＝＝，
因为P4＞P5，所以建议他选择报团游.
15.(5分)(新角度)对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题.为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A，抽到红球，则回答问题B，且箱子中只有白球和红球.
问题A：你的生日的月份是否为偶数？(假设生日的月份为偶数的概率为)
问题B：你是否有在校使用手机？
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1 000张有效答卷，其中有270张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到0.01)( )
A.0.09 B.0.12
C.0.20 D.0.27
答案：B
解析：由题意可知，回答问题A的学生人数为1 000×＝400，其中问题A回答“是”的人数为400×＝200，回答问题B的学生人数为1 000×＝600，其中问题B回答“是”的人数为270－200＝70，因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是P＝≈0.12.故选B.
16.(15分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人 数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求 量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
解：(1)由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，
所以估计商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
(2)当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，
则Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500元；
若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，
则Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000元；
若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，
则Y＝500×100×(1－0.6)＋50×100×(0.3－0.6)＝18 500元；
若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×(1－0.6)＝22 000元.
即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000，
Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，
到会人数不超过10 000的频率为＝，
所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.
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§3 频率与概率
第七章 概率
学习目标
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，会用频率估计概率，培养数学运算的核心素养.
2.理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例，培养数学抽象的核心素养.
任务一 频率与概率的概念
问题1.利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：
你能计算出A事件的概率吗？频率与概率有什么关系？
问题导思
序号 n＝20 n＝100 n＝500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
问题2.频率和概率可以相等吗？
提示：频率和概率在某些情况下可以相等，但通常它们是不相等的.频率具有随机性，而概率是一个具体的值，随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近；常用频率估计概率.
频率与概率
新知构建
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 [0，1]
关系 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在__________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________.这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)
通常用频率来估计概率
某个常数
稳定性
频率与概率的区别与联系：(1)频率本身是随机的，是一个变量；而概率是一个确定的值，与每次试验无关.(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(3)若A是随机事件，则0≤P(A)≤1.
微提醒
√
典例
1
√
√
正确理解频率与概率
1.概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.
2.随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
规律方法
√
√
√
√
返回
任务二 用频率估计概率
国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
(1)计算表中优等品的各个频率；
典例
2
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
解：如表所示：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
解：根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
规律方法
对点练2.(1)从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为
A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5
√
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
(2)(多选题)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线、汉堡等其它食品(每人只选一种)，结果如表所示：
假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线、汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则
A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26
C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
总人次数 大米套餐人次数 面食人次数
1 000 550 260
√
√
√
总人次数 大米套餐人次数 面食人次数
1 000 550 260
返回
任务三 概率在实际问题中的应用
典例
3
概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
规律方法
对点练3.对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表：
(1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率；
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品的频率 0.1
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品的频率 0.1
(3)如果要销售2 000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？
解：如果要销售2 000件西装，则次品西装的件数约为2 000×0.026＝52(件)，
所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换.
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品的频率 0.1
返回
课堂小结
任务
再现 1.频率与概率的意义.2.用频率估计概率以及概率的应用
方法
提炼 数据分析
易错
警示 概率的意义理解错误
随堂评价
1.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，下列说法正确的是
A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10％
B.医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D.医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
√
某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为10％，故A正确；对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为10％，不一定有一位病人被治愈，故B错误；对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误.故选A.
2.将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件A＝“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为
A.20 B.25
C.50 D.无法确定
√
任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率(频数与试验次数的比值)具有随机性，而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性，则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定.故选D.
√
4.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中作过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有__________只该种动物.
8 000
返回
课时分层评价
√
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
2.某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有
A.17万件 B.18万件
C.19万件 D.20万件
√
因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，所以合格的有95件，所以合格率为95÷100＝ 95％，所以估计该厂这20万件产品中合格产品约有20×95％＝19万件.故选C.
√
对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上”四种情况，故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误；对于B，每次投掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，事件A发生的次数可以是0，1，2，…，10中的任何一个，故B错误；对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误；对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确.故选D.
4.某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是
A.0.58 B.0.61 C.0.62 D.0.68
√
由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适.故选B.
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的好时节，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为放养这只黑小蜜蜂的养蜂人可能性较大的是
A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.不能确定
√
6.(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是
A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18
C.P(C)＝0.27 D.P(B＋C)＝0.55
√
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
√
√
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
7.某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了1 000名居民进行调查，其结果如下：
现从该社区中随机抽取一人，根据表中数据，估计此人具有研究生学历的概率为______.
受教育程度 研究生 本科及以下
人数 100 900
8.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______(精确到0.1).
在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在0.9附近，所以估计该植物的种子发芽的概率为0.9.
种子个数n 100 400 900 1 500 2 500 4 000
发芽种子个数m 92 352 818 1 336 2 251 3 601
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
0.9
9.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球_______个.
8
10.(10分)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现
随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果
如下：
(1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
所用时间(分钟) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
解：调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44(人)，因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44，
用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44.
所用时间(分钟) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
√
12.(多选题)第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板.美国数理统计学家瓦尔德(Abraham Wald)研究了返航轰炸机的中弹情况.他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置.图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击标记.根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是
A.机头部分
B.机翼部分
C.机腹部分
D.尾翼部分
√
√
因为飞机每一部分在空中中弹情况都是等可能的，
而飞回来的飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明
机头和机腹部分较为危险，只要中弹就回不来了，
机翼和尾翼部分弹孔密集，说明这两部分危险性较
小，比较耐打.故应该加强机头和机腹部分.故选AC.
13.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60％.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为______.
14.(10分)某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.
(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
√
16.(15分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
到会人数/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
到会人数/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
解：当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，
则Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500元；
若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，
则Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000元；
到会人数/人 (8 000，
9 000] (9 000，
10 000] (10 000，
11 000] (11 000，
12 000] (12 000，
13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
返回
