§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
学习目标 1.结合具体实例，概括出古典概型的两个特征，理解古典概型，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用古典概型的概率计算公式计算古典概型中简单随机事件的概率，培养数学运算的核心素养.
任务一 古典概型的概念
问题1.我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
提示：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
问题2.抛掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是，因为骰子不均匀，出现偶数点与奇数点的概率不相等.
随机事件 的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画
古典概型 一般地，若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型
[微思考] 若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定.还必须满足每个样本点出现的可能性相等，才属于古典概型.
(1)下列试验中是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环……命中0环
(2)(多选题)下列情境适合用古典概型来描述的是( )
A.向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张，这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
答案：(1)B (2)BC
解析：(1)对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误；对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确；对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误；对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环……命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误.故选B.
(2)对于A，试验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误；对于B，试验结果有限且等可能，故正确；对于C，试验结果有限且等可能，故正确；对于D，显然试验并非等可能，故错误.故选BC.
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
对点练1.(1)下列试验中符合古典概型研究的试验是( )
A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数
B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球
C.在平面直角坐标系中任取一点，观察该点的位置
D.某球员进行一次投篮，进球或不进球
(2)下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
③一只使用中的灯泡的寿命长短；
④中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”.
其中属于古典概型的是 (填序号).
答案：(1)B (2)②
解析：(1)对于A，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故A不是古典概型；对于B，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B是古典概型；对于C，试验的结果是无穷的，故C不是古典概型；对于D，进球与不进球的概率不一定相等，故D不是古典概型.故选B.
(2)①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；③不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；④不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
任务二 古典概型的概率计算公式
问题3.考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性的大小？
(1)一个班级中有男生18名，女生22名.若采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到一名男生”；
(2)在掷骰子的试验中，事件B＝“点数为偶数”.
提示：(1)中抽到一名男生的可能性为＝.
(2)中B＝{2，4，6}.对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，“出现偶数点”的可能性为＝.所以事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性.
古典概型的概率计算公式
对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率P(A)＝＝.
[微提醒] (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(做到不重不漏).(2)根据实际问题情景判断样本点的可能性.(3)根据公式求出概率.
(链教材P197例1)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率；
(3)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家至少有1个欧洲国家的概率.
解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
(3)由题意知，从6个国家中任选2个国家，至少有1个欧洲国家的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共12种；则所求事件的概率为P＝＝.
求解古典概型的概率“四步”法
对点练2.同时掷两颗骰子，求
(1)所得点数之和为7的概率；
(2)所得点数都是奇数的概率.
解：(1)同时掷2颗骰子的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点，
所得点数和为7的事件A含有的样本点为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，
所以所得点数和为7的概率P(A)＝＝.
(2)由(1)知，所得点数都是奇数的事件B含有的样本点为：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，
所以所得点数都是奇数的概率P(B)＝＝.
任务三 古典概型与其他知识的交汇
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
(1)求此人到达当日该市空气重度污染的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.
解：(1)由题图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，
故此人到达当日该市空气重度污染的概率为.
(2)此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为(86，25)，(25，57)，(57，143)，(143，220)，(220，160)，(160，40)，(40，217)，(217，160)，(160，121)，(121，158)，(158，86)，(86，79)，(79，37)，共13种情况，其中只有1天空气重度污染的是(143，220)，(220，160)，(40，217)，(217，160)，共4种情况，
故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
古典概型与其它知识的交汇，主要是以频率分布直方图、折线图为载体，多数利用分层抽样选取考查对象的个数，然后利用古典概型计算.在解决此类题时需要注意以下问题：
1.试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
2.计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.
对点练3.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2 000名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图所示的频率直方图.
(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数；
(2)从竞赛成绩在[80，90)，[90，100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率.
解：(1)根据频率分布直方图性质可得：10(0.01＋0.01＋a＋0.04＋a)＝1，
所以a＝0.02，因为共五组，前四组的频率和0.1＋0.1＋0.2＋0.4＝0.8＞0.5且最后一组的频率0.2＜0.5，设中位数为x，则x∈[80，90)，根据中位数的定义，可得(x－80)×0.04＝0.1，所以x＝82.5.
(2)因为第四组与第五组的频率之比为2∶1，
故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f，
从6人中选出2人，共有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共有15种，
其中选出的2人来自同一区间的有7种，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)；
则选出的2人来自同一区间的概率为.
任务 再现 1.古典概型的概念.2.古典概型的概率公式及简单应用
方法 提炼 列举法、列表法、树状图法
易错 警示 因不按照一定的顺序列举，导致漏掉部分样本点
1.下列实验中，是古典概型的有( )
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为正数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从区间[1，10]上任取一个实数，求取到1的概率
答案：C
解析：由古典概型性质：基本事件的有限性及它们发生的等可能性，对于A，基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，故A不满足；对于B，基本事件是坐标系中横坐标和纵坐标都为正数的点，有无限个，故B不满足；对于C，基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，故C满足；对于D，基本事件是区间[1，10]上的实数，是无限的，故D不满足.故选C.
2.从{2，3}和{4，5}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：组成两位数的样本空间Ω＝{24，42，25，52，34，43，35，53}，样本点总数为8.能被3整除的数为24，42，有2个.故所求概率为＝.故选D.
3.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2，任意选出两人的样本空间为{AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12}，共10个样本点，恰好一名男生和一名女生的样本点有6个，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为＝.故选B.
4.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是 .
答案：
解析：可重复地选取两个数共有16个样本点，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为＝.
课时分层评价44 古典概型的概率计算公式
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.一枚骰子掷一次得到的点数为m，则m＞3的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：一枚骰子掷一次得到的点数为m，则m的情况为：1，2，3，4，5，6，即事件发生的基本事件总数为6，其中满足m＞3的有4，5，6三种情况，即满足条件的基本事件数为3，故所求概率为P＝＝.故选B.
2.(多选题)下列试验中是古典概型的是( )
A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
答案：ABD
解析：对于A，正面和反面出现的概率相同，故A是古典概型；对于B，每个球被抽到的概率相等，故B是古典概型；对于C，样本点有无限个，故C不是古典概型；对于D， 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的，故D是古典概型.故选ABD.
3.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：从5条线段中任取3条，则有{2，4，6}，{2，4，8}，{2，4，10}，{2，6，8}，{2，6，10}，{2，8，10}，{4，6，8}，{4，6，10}，{4，8，10}，{6，8，10}，共10个基本事件；其中三条线段能构成三角形的基本事件有{4，6，8}，{4，8，10}，{6，8，10}，共3个；三条线段能构成一个三角形的概率P＝.故选B.
4.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设2个红球为A，B，3个黄球为c，d，e，从中有放回地依次随机摸出2个球，样本空间为Ω＝{AA，AB，Ac，Ad，Ae，BA，BB，Bc，Bd，Be，cA，cB，cc，cd，ce，dA，dB，dc，dd，de，eA，eB，ec，ed，ee}，则n(Ω)＝25，事件M＝“这2个球同色”，则M＝{AA，AB，BA，BB，cc，cd，ce，dc，dd，de，ec，ed，ee}，则n(M)＝13，由古典概型的概率公式，可得P(M)＝.故选D.
5.能力互不相同的3人应聘同一职位，他们按照报名顺序依次接受面试.公司经理决定“不录用第一个面试的人，如果第二个面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则录用第三个人”.记该公司录用到能力最强、中等、最弱的人的概率分别为p，q，r，则p，q，r的大小关系是( )
A.p＞q＞r B.r＞q＞p
C.q＞r＞p D.p＝q＝r
答案：A
解析：设三人能力分别为强、中、弱，则三人参加面试的次序为：(强，中，弱)，(强，弱，中)，(中，强，弱)，(中，弱，强)，(弱，中，强)，(弱，强，中)，共6种情况.按公司经理的录用原则，录用到能力最强的人包含的结果有：(中，强，弱)，(中，弱，强)，(弱，强，中)，共3种；录用到能力中等的人包含的结果有：(强，弱，中)，(弱，中，强)，共2种；录用到能力最弱的人的结果只有1种：(强，中，弱).所以p＝，q＝，r＝ p＞q＞r.故选A.
6.(多选题)一个袋子中有4个白球，n个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已知取出的2个球颜色不同的概率为，则n＝( )
A.3 B.4
C.7 D.8
答案：AB
解析：设从n＋4个球不放回地随机取出2个的可能总数为n(Ω)，事件A＝“两次取出的球颜色不同”，则n(Ω)＝(n＋4)(n＋3)，n(A)＝4n＋n·4＝8n，则P(A)＝＝＝，解得n＝3或n＝4.故选AB.
7.(双空题)从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，则事件A＝{三个数字中不含1和5}包含的样本点有 个；事件B＝{三个数字中含1或5}发生的概率是 .
答案：1
解析：这个试验的样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}.因为事件A＝{(2，3，4)}，所以它只含1个样本点；因为事件B＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，所以事件B发生的概率是.
8.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 .
答案：
解析：不妨记三人为甲，乙，丙，则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙；③去三人，甲乙丙；共计7种情形，所以恰有1人去的概率为.
9.(新定义)设a1，a2，a3，a4是数字1，2，3，4的排列，若存在1≤i＜j＜k≤4成立ai＜aj＜ak，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是 .
答案：
解析：1，2，3，4进行排列，共有24种情况，其中满足存在1≤i＜j＜k≤4成立ai＜aj＜ak的情况有(4，1，2，3)，(1，4，2，3)，(1，2，4，3)，(1，2，3，4)，(3，1，2，4)，(1，3，2，4)，(2，1，3，4)，(1，3，4，2)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，共10种情况，故从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率为＝.
10.(10分)袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率；
(2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平.说明你的理由.
解：(1)试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝＝.
(2)试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个，
设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个，
故P(C)＝＝，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以甲、乙获胜的概率是相等的，此游戏公平.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.有一个正十二面体，如图所示.其12个面上分别写着1到12这12个连续的整数.投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数是素数的情况有2，3，5，7，11，则向上一面的数是素数的概率为.故选C.
12.(多选题)某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为的是( )
A.2支都是黑色圆珠笔
B.1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔
C.2支都是红色圆珠笔
D.2支中恰有1支是黑色圆珠笔
答案：AB
解析：设A1，A2，A3表示3支黑色圆珠笔，B1，B2表示2支红色圆珠笔，C表示1支蓝色圆珠笔，从这6支不同的圆珠笔中任取2支，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共15个样本点.可知2支都是黑色圆珠笔的概率为＝；1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔的概率为＝；2支都是红色圆珠笔的概率为；2支中恰有1支是黑色圆珠笔的概率为＝.故选AB.
13.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的可能性最小的是( )
A.a＋b＝6
B.a＞2b
C.log2a＞b
D.方程ax2＋bx＋3＝0有实数解
答案：A
解析：样本空间中样本点的个数为62＝36个，以(a，b)表示样本空间中的一个样本点，对于A，记事件A＝“a＋b＝6”，则A＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，所以P(A)＝；对于B，记事件B＝“a＞2b”，则B＝{(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)}，所以P(B)＝＝；对于C，记事件C＝“log2a＞b”，则C＝{(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)}，所以P(C)＝＝；对于D，记事件D＝“方程ax2＋bx＋3＝0有实数解”，则Δ＝b2－12a≥0，则D＝{(1，4)，(1，5)，(2，5)，(1，6)，(2，6)，(3，6)}，所以P(D)＝＝.所以A选项中的事件发生的概率最小.故选A.
14.(10分)现有7名奥运会志愿者.其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
解：(1)由题意从7名奥运会志愿者中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，
共有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)共12种等可能情况，
A1被选中的情况有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)共4种，
故A1被选中的概率为P(A1)＝＝.
(2)事件B1和C1不全被选中的事件为(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，
(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)共9种，
故事件B1和C1不全被选中的概率为＝.
15.(5分)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为 .
答案：10
解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为n个，依题意－＝，解得n＝5，经检验n＝5是方程的解，所以原来口袋中小球共有2n＝10个.
16.(15分)班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下三种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次不放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品.
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由.
解：(1)设抽取的两个球所标的数字分别为x，y，用数组(x，y)表示所有可能的样本点，则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个；
按方案二依次不放回地抽取2个球的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20个.
(2)方案一中，记事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件A包含(1，2)，(1，3)，(2，3)，(4，5)，共4个样本点，故P(A)＝＝.
方案二中，记事件B表示“依次不放回地抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件B包含(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，5)，(5，4)，共8个样本点，故P(B)＝＝.
方案三中，如表，共25个样本点，
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
在方案三中，记事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，故P(C)＝＝.
因为P(A)＝P(B)＜P(C)，所以选择方案三获得奖品的可能性更大.
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2.1 古典概型的概率计算公式
第七章 §2 古典概型
学习目标
1.结合具体实例，概括出古典概型的两个特征，理解古典概型，培养数学抽象的核心素养.
2.能利用古典概型的概率计算公式计算古典概型中简单随机事件的概率，培养数学运算的核心素养.
任务一 古典概型的概念
问题1.我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
提示：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.
问题2.抛掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是，因为骰子不均匀，出现偶数点与奇数点的概率不相等.
问题导思
新知构建
随机事件
的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(______________)来表示该事件发生的________的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的______________，是对随机事件统计规律性的______刻画
古典概型 一般地，若试验E具有如下特征：
(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数______，即样本空间Ω为______样本空间；
(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性______.则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型
0≤P(A)≤1
可能性
可能性的大小
数量
有限
有限
相等
若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定.还必须满足每个样本点出现的可能性相等，才属于古典
概型.
微思考
(1)下列试验中是古典概型的是
A.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环……命中0环
√
典例
1
(2)(多选题)下列情境适合用古典概型来描述的是
A.向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B.五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C.从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张，这张牌是红色牌
D.某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
√
√
对于A，试验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误；对于B，试验结果有限且等可能，故正确；对于C，试验结果有限且等可能，故正确；对于D，显然试验并非等可能，故错误.故选BC.
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
规律方法
对点练1.(1)下列试验中符合古典概型研究的试验是
A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数
B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球
C.在平面直角坐标系中任取一点，观察该点的位置
D.某球员进行一次投篮，进球或不进球
√
对于A，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故A不是古典概型；对于B，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B是古典概型；对于C，试验的结果是无穷的，故C不是古典概型；对于D，进球与不进球的概率不一定相等，故D不是古典概型.故选B.
(2)下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
③一只使用中的灯泡的寿命长短；
④中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”.
其中属于古典概型的是_______(填序号).
②
①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；③不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；④不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
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任务二 古典概型的概率计算公式
问题导思
新知构建
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(做到不重不漏).(2)根据实际问题情景判断样本点的可能性.(3)根据公式求出概率.
微提醒
典例
2
求解古典概型的概率“四步”法
规律方法
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任务三 古典概型与其他知识的交汇
典例
3
古典概型与其它知识的交汇，主要是以频率分布直方图、折线图为载体，多数利用分层抽样选取考查对象的个数，然后利用古典概型计算.在解决此类题时需要注意以下问题：
1.试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
2.计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.
规律方法
对点练3.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生
知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文
化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2 000
名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图所示的频率
直方图.
(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数；
解：根据频率分布直方图性质可得：10(0.01＋0.01＋a＋0.04＋a)＝1，
所以a＝0.02，因为共五组，前四组的频率和0.1＋0.1＋0.2＋0.4＝0.8＞0.5且最后一组的频率0.2＜0.5，设中位数为x，则x∈[80，90)，根据中位数的定义，可得(x－80)×0.04＝0.1，所以x＝82.5.
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课堂小结
任务
再现 1.古典概型的概念.2.古典概型的概率公式及简单应用
方法
提炼 列举法、列表法、树状图法
易错
警示 因不按照一定的顺序列举，导致漏掉部分样本点
随堂评价
1.下列实验中，是古典概型的有
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为正数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从区间[1，10]上任取一个实数，求取到1的概率
√
由古典概型性质：基本事件的有限性及它们发生的等可能性，对于A，基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，故A不满足；对于B，基本事件是坐标系中横坐标和纵坐标都为正数的点，有无限个，故B不满足；对于C，基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，故C满足；对于D，基本事件是区间[1，10]上的实数，是无限的，故D不满足.故选C.
√
√
4.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是_____.
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课时分层评价
√
2.(多选题)下列试验中是古典概型的是
A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
√
对于A，正面和反面出现的概率相同，故A是古典概型；对于B，每个球被抽到的概率相等，故B是古典概型；对于C，样本点有无限个，故C不是古典概型；对于D， 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的，故D是古典概型.故选ABD.
√
√
√
√
5.能力互不相同的3人应聘同一职位，他们按照报名顺序依次接受面试.公司经理决定“不录用第一个面试的人，如果第二个面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则录用第三个人”.记该公司录用到能力最强、中等、最弱的人的概率分别为p，q，r，则p，q，r的大小关系是
A.p＞q＞r B.r＞q＞p
C.q＞r＞p D.p＝q＝r
√
√
√
7.(双空题)从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，则事件A＝{三个数字中不含1和5}包含的样本点有______个；事件B＝{三个数字中含1或5}发生的概率是______.
1
8.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为______.
9.(新定义)设a1，a2，a3，a4是数字1，2，3，4的排列，若存在1≤i＜j＜k≤4成立ai＜aj＜ak，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是_______.
√
√
√
13.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的可能性最小的是
A.a＋b＝6
B.a＞2b
C.log2a＞b
D.方程ax2＋bx＋3＝0有实数解
√
10
16.(15分)班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下三种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次不放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品.
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
解：设抽取的两个球所标的数字分别为x，y，用数组(x，y)表示所有可能的样本点，则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个；
按方案二依次不放回地抽取2个球的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20个.
方案三中，如表，共25个样本点，
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
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