§4 事件的独立性
学习目标 1.结合具体试验理解相互独立事件的含义，会对事件的独立性进行判断，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率. 3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解题，培养数学运算的核心素养.
任务一 相互独立事件的判断
问题.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，于是P(AB)＝P(A)P(B).
相互独立事件
相互独立事件 相关内容
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件
两个相互独立事件同时发生的概率公式 P(AB)＝P(A)P(B)
性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立
[微思考] (1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
提示：(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立.
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
(多选题)下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”，事件N“出现3点或6点”
答案：ABD
解析：对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，即P(MN)＝P(M)P(N).故事件M与N相互独立，故D正确.故选ABD.
两个事件是否相互独立的判断
1.定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B).
对点练1.(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
(2)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，H1表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，H2表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，H3表示事件“两个点数之和是8”，H4表示事件“两个点数之和是9”，则( )
A.H2与H4相互独立 B.H1与H3相互独立
C.H1与H2相互独立 D.H1与H4相互独立
答案：(1)A (2)C
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
(2)根据题意，P(H1)＝＝，P(H2)＝＝，P(H3)＝，P(H4)＝＝，对于A，P(H2H4)＝，P(H2)P(H4)＝×＝≠P(H2H4)，H2和H4互相不独立，故A错误；对于B，P(H1H3)＝，P(H1)P(H3)＝×＝≠P(H1H3)，H1和H3互相不独立，故B错误；对于C，P(H1H2)＝，P(H1)P(H2)＝×＝＝P(H1H2)，H1和H2互相独立，故C正确；对于D，P(H1H4)＝0，P(H1)P(H4)＝×＝≠P(H1H4)，H1和H4互相不独立，故D错误.故选C.
任务二 相互独立事件同时发生的概率
(链教材P215例1)甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
解：(1)设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，为相互独立事件.
则2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件AB互斥，
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，
其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
第一步：首先确定各事件之间是相互独立的；
第二步：求出每个事件的概率，再求积；
第三步：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
对点练2.某工艺厂准备烧制甲、乙两件不同的工艺品，制作过程必须先后经过2次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.6，0.75，经过第二次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.5，0.4.
(1)求第一次烧制后至少有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，求合格工艺品的个数为1的概率P.
解：(1)设事件A表示甲工艺品第一次烧制后合格，事件B表示乙工艺品第一次烧制后合格，事件C表示第一次烧制后至少有一件产品合格，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，
P(C)＝1－P()＝1－0.4×0.25＝0.9，
即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为0.9.
(2)甲工艺品两次烧制后合格的概率为P1＝0.6×0.5＝0.3，
乙工艺品两次烧制后合格的概率为P2＝0.75×0.4＝0.3，
则经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品的概率为P＝0.3×0.7×2＝0.42.
任务三 相互独立事件概率的综合应用
甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是.
(1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率.
解：(1)设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A，B，C，则P(A)＝，
由题意得，
所以
所以
所以乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为.
(2)设甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题为事件D，
则P(D)＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝，
所以甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率为.
求较复杂事件的概率的方法
1.列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
2.理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
对点练3.“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制谜，猜谜的人众多.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值.
解：(1)设A＝“任选一道灯谜甲猜对”，B＝“任选一道灯谜乙猜对”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，
可得P()＝，P()＝，
“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”＝A∪B，且AB互斥.
每位同学独立竞猜，故A，B互相独立，则A与，与B，均相互独立.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，
所以甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)设C＝“任选一道灯谜丙猜对”，D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”，则P(C)＝，P()＝1－，＝.
所以P(D)＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××(1－)＝，解得n＝16，
所以n的值为16.
[教材拓展8] 公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)的应用(源于教材P221B组T2)
【常用结论】 若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
若事件A，B独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B).
(1)已知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A∪B)＝( )
A. B.
C. D.
(2)端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A＝“甲端午节吃甜粽子”，记事件B＝ “乙端午节吃咸粽子”，且P(A)＝，P(B)＝，事件A与事件B相互独立，则P(A∪B)＝( )
A. B.
C. D.
答案：(1)C (2)D
解析：(1)由P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.故选C.
(2)由事件A与事件B相互独立，得P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.故选D.
对点练4.(1)某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长.设事件A＝“选中的同学精通乐器”，B＝“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)＝，则P(AB)＝( )
A. B. C. D.
(2)随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是( )
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.［，］
答案：(1)C (2)C
解析：(1)由题意知，P(A)＝＝，P(B)＝＝，因为P(A∪B)＝，所以P(A)＋P(B)－P(AB)＝，即＋－P(AB)＝，解得P(AB)＝.故选C.
(2)根据题意，P(A)＝，P(B)＝，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤1，得P(AB)≥P(A)＋P(B)－1＝＋－1＝，又P(A)＞P(B)，则当B A时，P(AB)＝P(B)＝，所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是［，］.故选C.
任务 再现 1.相互独立事件的概念及判断.2.相互独立事件同时发生的概率及其应用
方法 提炼 转化法
易错 警示 把互斥事件与相互独立事件混淆
1.若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是( )
A.A与 B.A与
C.与B D.与
答案：A
解析：A与是对立事件.故选A.
2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是0.4，0.5，则两人都能成功破译的概率是( )
A.0.2 B.0.3
C.0.45 D.0.9
答案：A
解析：记两人都能成功破译为事件A，则P(A)＝0.4×0.5＝0.2.故选A.
3.天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是0.4，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A.0.28 B.0.42
C.0.46 D.0.56
答案：C
解析：这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.4×(1－0.3)＋(1－0.4)×0.3＝0.28＋0.18＝0.46.故选C.
4.已知事件A与事件B相互独立，若P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，则P(B)＝ .
答案：0.28
解析：因为事件A与事件B相互独立，所以事件与事件B相互独立.因为P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，所以P()＝1－0.3＝0.7.所以P(B)＝P()P(B)＝0.7×0.4＝0.28.
课时分层评价47 事件的独立性
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现小于4的点”，B＝“第二枚出现大于3的点”，则A与B的关系为( )
A.互斥 B.互为对立
C.相互独立 D.相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故A与B相互独立.故选C.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 ( )
A.是相互独立事件，不是互斥事件
B.是互斥事件，不是相互独立事件
C.既是相互独立事件又是互斥事件
D.既不是互斥事件也不是相互独立事件
答案：A
解析：因为A＝{2，4，6}，B＝{3，4}，所以A∩B＝{4}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是相互独立事件，不是互斥事件.故选A.
3.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意得事件A，B中至少有一个发生的对立事件是事件A，B都不发生，而事件A不发生的概率为，事件B不发生的概率为，所以事件A，B都不发生的概率为×＝，故事件A，B中至少有一个发生的概率是1－＝，故D正确.故选D.
4.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A.两人都中靶的概率为0.12
B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46
D.至少一人中靶的概率为0.74
答案：C
解析：设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，则两人都中靶的概率为P(A)×P(B)＝0.6×0.7＝0.42，两人都不中靶的概率为[1－P(A)]×[1－P(B)]＝0.4×0.3＝0.12，恰有一人中靶的概率为[1－P(A)]×P(B)＋P(A)[1－P(B)]＝0.4×0.7＋0.6×0.3＝0.46，至少一人中靶的概率为1－0.3×0.4＝0.88.故选C.
5.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则等于( )
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
答案：C
解析：记“从甲、乙袋中摸出一个红球”分别为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据对应事件可知C正确.故选C.
6.(多选题)设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}.则下列结论正确的有( )
A.P(AB)＝P(A)P(B)
B.P(AC)＝P(A)P(C)
C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D.P(BC)＝P(B)P(C)
答案：ABD
解析：由题意得A∩B＝B∩C＝A∩C＝，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝P(ABC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).故选ABD.
7.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B (填“是”或“不是”)相互独立事件.
答案：是
解析：P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立.
8.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是 .
答案：0.7
解析：他们至少有一人命中的概率是1－(1－0.4)×(1－0.5)＝0.7.
9.某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考.据调查，这两项考试的合格率依次为，，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考一次的概率为 .
答案：
解析：不需要补考就通过的概率为×＝；仅补考第一个单项考试就通过的概率为(1－)××＝；仅补考第二个单项考试就通过的概率为×(1－)×＝；一位考生通过这项专业技术考试至多需要补考一次的概率为＋＋＝.
10.(10分)已知战士甲射击的命中率为72％，乙射击的命中率为75％.两人的射击互不影响.求：
(1)两人同时击中目标的概率；
(2)目标被击中的概率.
解：(1)设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，A，B互为独立事件，
所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.72×0.75＝0.54.
(2)目标被击中的概率P(A∪B)＝1－P(∩)＝1－P()P()＝1－0.28×0.25＝0.93.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则( )
A.C与D相互独立 B.A与D相互独立
C.B与D相互独立 D.A与C相互独立
答案：D
解析：由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B与D不相互独立，P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立.故选D.
12.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.都付0元的概率为P1＝×＝；都付2元的概率为P2＝×＝；都付4元的概率为P3＝×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.故选D.
13.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为 .
答案：
解析：第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为p1＝×＝；第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为p2＝×＝；所以甲、乙各胜一局的概率为＋＝.
14.(10分)某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛.规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知高二(1)班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率.
解：(1)记事件A1表示“甲在第一场比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二场比赛中胜出”，事件B1表示“乙在第一场比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二场比赛中胜出”，
于是A1A2表示甲赢得比赛”，
P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
B1B2表示“乙赢得比赛”，
P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，而有＞，
所以甲参赛赢得比赛的概率更大.
(2)记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，
由(1)知P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
则C∪D表示“两人中至少有一人赢得比赛”，且C∪D＝C＋D＋CD，
所以P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＋P(CD)＝P(C)P()＋P()P(D)＋P(C)P(D)
＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率为.
15.(5分)(新情境)概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赌金.但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是( )
A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚
C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚
答案：A
解析：由题可知，对单独每一局游戏，甲、乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为×＝；③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为×＝；所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金×420＝315枚，乙分得赌金420－315＝105枚.故选A.
16.(15分)某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A题的概率为p，答对B题的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q＜1，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲乙各自在答A，B两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求比赛后，甲、乙总得分不低于8分的概率.
解：(1)由题意得解得p＝，q＝.
(2)比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5.
记甲得分为i分的事件为Ci(i＝0，2，3，5)，乙得分为j分的事件为Dj(j＝0，2，3，5)，
Ci，Dj相互独立，
记甲、乙总得分不低于8分为事件E，
则E＝C3D5＋C5D3＋C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥.易得P(C3)＝，
P(D3)＝(1－)×＝，P(C5)＝，P(D5)＝×＝，
所以P(E)＝P(C3D5＋C5D3＋C5D5)＝P(C3D5)＋P(C5D3)＋P(C5D5)
＝×＋×＋×＝，
所以甲、乙总得分不低于8分的概率为.
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§4 事件的独立性
第七章 概率
学习目标
1.结合具体试验理解相互独立事件的含义，会对事件的独立性进行判断，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率.
3.能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解题，培养数学运算的核心素养.
任务一 相互独立事件的判断
问题导思
相互独立事件
新知构建
相互独立事件 相关内容
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率__________，这样的两个事件叫作相互独立事件
两个相互独立事件同时发生的概率公式 P(AB)＝______________
性质
没有影响
P(A)P(B)
A
B
(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立.
微思考
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
(多选题)下列各对事件中，为相互独立事件的是
A.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”，事件N“出现3点或6点”
√
典例
1
√
√
两个事件是否相互独立的判断
1.定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互
影响.
2.充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B).
规律方法
对点练1.(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
√
对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
(2)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，H1表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，H2表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，H3表示事件“两个点数之和是8”，H4表示事件“两个点数之和是9”，则
A.H2与H4相互独立 B.H1与H3相互独立
C.H1与H2相互独立 D.H1与H4相互独立
√
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任务二 相互独立事件同时发生的概率
典例
2
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
第一步：首先确定各事件之间是相互独立的；
第二步：求出每个事件的概率，再求积；
第三步：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
规律方法
(2)经过前后两次烧制后，求合格工艺品的个数为1的概率P.
解：甲工艺品两次烧制后合格的概率为P1＝0.6×0.5＝0.3，
乙工艺品两次烧制后合格的概率为P2＝0.75×0.4＝0.3，
则经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品的概率为P＝0.3×0.7×2＝0.42.
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任务三 相互独立事件概率的综合应用
典例
3
求较复杂事件的概率的方法
1.列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
2.理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
规律方法
[教材拓展8] 公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)的应用(源于教材P221B组T2)
【常用结论】 若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
若事件A，B独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B).
√
典例
4
√
√
√
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课堂小结
任务
再现 1.相互独立事件的概念及判断.2.相互独立事件同时发生的概率及其应用
方法
提炼 转化法
易错
警示 把互斥事件与相互独立事件混淆
随堂评价
√
2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是0.4，0.5，则两人都能成功破译的概率是
A.0.2 B.0.3
C.0.45 D.0.9
√
记两人都能成功破译为事件A，则P(A)＝0.4×0.5＝0.2.故选A.
3.天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是0.4，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
A.0.28 B.0.42
C.0.46 D.0.56
√
这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.4×(1－0.3)＋(1－0.4)×0.3＝0.28＋0.18＝0.46.故选C.
0.28
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课时分层评价
1.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现小于4的点”，B＝“第二枚出现大于3的点”，则A与B的关系为
A.互斥 B.互为对立
C.相互独立 D.相等
√
对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故A与B相互独立.故选C.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为
A.是相互独立事件，不是互斥事件
B.是互斥事件，不是相互独立事件
C.既是相互独立事件又是互斥事件
D.既不是互斥事件也不是相互独立事件
√
√
4.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则
A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74
√
设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，则两人都中靶的概率为P(A)×P(B)＝0.6×0.7＝0.42，两人都不中靶的概率为[1－P(A)]×[1－P(B)]＝0.4×0.3＝0.12，恰有一人中靶的概率为[1－P(A)]×P(B)＋P(A)[1－P(B)]＝0.4×0.7＋0.6×0.3＝0.46，至少一人中靶的概率为1－0.3×0.4＝0.88.故选C.
√
6.(多选题)设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}.则下列结论正确的有
A.P(AB)＝P(A)P(B)
B.P(AC)＝P(A)P(C)
C.P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D.P(BC)＝P(B)P(C)
√
√
√
7.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B______(填“是”或“不是”)相互独立事件.
是
8.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是_______.
他们至少有一人命中的概率是1－(1－0.4)×(1－0.5)＝0.7.
0.7
10.(10分)已知战士甲射击的命中率为72％，乙射击的命中率为75％.两人的射击互不影响.求：
(1)两人同时击中目标的概率；
解：设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，A，B互为独立事件，
所以P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.72×0.75＝0.54.
11.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则
A.C与D相互独立 B.A与D相互独立
C.B与D相互独立 D.A与C相互独立
√
√
15.(5分)(新情境)概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赌金.但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是
A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚
C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚
√
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