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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 利用导数研究函数的极值 43.0(28.7%) 3,9,17,19
2 导数的概念 5.0(3.3%) 1
3 简单复合函数求导法则 5.0(3.3%) 2
4 函数零点存在定理 37.0(24.7%) 14,17,18
5 指数函数的图象与性质 5.0(3.3%) 6
6 函数的奇偶性 6.0(4.0%) 11
7 利用导数研究曲线上某点切线方程 5.0(3.3%) 7
8 利用导数研究函数的单调性 77.0(51.3%) 4,6,8,9,11,14,15,16,18
9 奇函数与偶函数的性质 10.0(6.7%) 5,13
10 导数的几何意义 46.0(30.7%) 1,10,13,16,17
11 基本初等函数导函数公式 10.0(6.7%) 2,12
12 函数在某点取得极值的条件 5.0(3.3%) 5
13 导数的加法与减法法则 5.0(3.3%) 12
14 导数的四则运算 10.0(6.7%) 2,13
15 函数的零点与方程根的关系 15.0(10.0%) 6,7,8
16 瞬时变化率 5.0(3.3%) 2
17 利用导数研究函数最大（小）值 61.0(40.7%) 3,11,14,15,17,19
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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由，
得，
所以.
故答案为：A．
【分析】由导数的概念和函数的极限的关系式以及导数的几何意义，从而得出的值.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：，求导可得，
设，则，，
函数的对称轴为，
在的最大值为，
即最大导数值为2，故该质点的最大瞬时速度是2.
故答案为：D.
【分析】求导，利用换元法，将导数转化为一元二次函数，求其定义域内的最大值，即导数值，从而确定最大的瞬时速度即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图为函数在区间上的图象：
对于A：因为极大值极小值，所以选项A错误；
对于B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故选项B正确；
如上图所示，因为函数在区间上的极大值，而不是最大大值，所以选项C错误；
同时，最大值不是极大值，故选项D错误．
故选：B.
【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．
4．【答案】C
5．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
令，得出，
由，得出；由，得出，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，3是极小值点，
又因为函数是奇函数，
所以的极大值点为.
故答案为：B．
【分析】先求导结合代入法，从而得出的值，再利用导数正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值点，再利用函数的奇偶性得出函数的极大值点.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：令，可得或，
即函数有两个零点，图象与轴有两个交点，故，错误；
求导可得，
令，得或，
当时，，
函数在上递增；
当时，，
函数在上递减，
即函数图象先增后减再增，所以排除.
故答案为：.
【分析】再利用函数解析式可得函数有两个零点即可排除，再求导可得，利用导数的正负和函数的单调性的关系即可判断AD.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由可得，
要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，
设切点坐标为，由，可得，
则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故答案为：A.
【分析】利用函数的零点的定义，得出要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，设切点坐标为，令，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出切线方程，则需使，再由得出的取值范围.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：令，得到，
解得或，
当时，，，
由得到；由，得到，
则当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又因为，，
当时，，其图象如图，
所以，当时，或均有2个根，
则有四个根，
则当时，有四个零点，
又因为函数有8个零点，
所以，当，有四个零点，
由，
得到或，
则或，
由，
得到或，
则或，
又因为，，
所以从右向左的个零点为，，，，
所以，
得到.
故答案为：D.
【分析】令，则得到或，当，，利用导数与函数单调性间的关系，从而得到的单调区间，再利用数形结合得到当时，有四个根，从而得出当，有四个零点，由和直接求出函数零点，再根据函数有8个零点，从而得出正数的取值范围.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】解：由图知，，，
当时，；当时，；
当时，；当时，.
则函数在，上单调递减，在，上单调递增，
即的极大值为，极小值为，．
故答案为：BD.
【分析】根据导函数图象可得导数的正负，求出函数的单调区间，进而求函数的极值判断即可.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
A、由图可知：表示曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，
则，故A错误；
B、在点处的切线斜率小于割线的斜率，在点处的切线斜率大于割线的斜率，所以在曲线上必存在某点，使得该点处的切线斜率等于割线的斜率，所以存在，使得， 故B正确；
C、 ，由图知割线的斜率，小于在点处的切线的斜率，所以，故C正确；
D、由图知梯形中位线的长为，的长为，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的几何意义，数形结合比较切线和割线的斜率判断即可.
11．【答案】B,D
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、当时，
故当，在上递减，
当在上递增，
的最小值为，故B正确；
C、当时，由B知，的最小值为，
且时，时，；
当时，
当在上递增，
当，故在上递减，
且时，时，，
画出图象如图所示：
知不可能有4个零点，故C错误；
D，，
令，
的定义域为，
则，
是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用奇函数的定义即可根据和的关系即可判断A；求导可得，利用导数可得函数在上递减即可判断B；利用单调性结合函数的图形即可判断C；利用利用对称性的定义即可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】因为，所以，
令，有，解得.
故答案为：.
【分析】
先根据导数的运算法则求导，将代入，解方程即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：对 求导：
因 是偶函数，偶函数满足“奇次项系数为0”（ 为二次函数，奇次项是 ）。
故奇次项系数，解得：
代入，得：
原函数：
导函数：
，
已知切点，斜率，切线方程：
整理为一般式：
故答案为：.
【分析】通过“偶函数奇次项系数为0”，由导函数形式直接求，简化计算，然后代入 得函数，计算切点坐标与切线斜率（导数值 ），用点斜式写切线方程。
14．【答案】
【解析】【解答】解：函数定义域为，
求导可得，
当时，，在上单调递增，所以至多有一个零点．
当时，由，解得：，由，解得：，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
．
令，，则，
所以在上单调递减；
又，所以要使，即，则．
又因为，
所以在上有一个零点，
又
令，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以．
所以在上也有一个零点．
综上所述，a的取值范围是．
故答案为：
【分析】先求函数的定义域，再求导，对导函数中的参数进行分类讨论，在时，通过判断函数的单调性求得其最小值，依题需使推得；接着分段说明函数在区间和上各有一个零点即得.
15．【答案】（1）解：的定义域为R，
求导可得，
当时，；时，；
故函数单调增区间为，；
（2）解：由（1）知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，，，所以，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，则，即.
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求单调递增区间即可；
（2）由（1）知，函数的单调性，求最值，结合区间端点处的函数值，即可得实数m的范围.
16．【答案】（1）解：由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）解：当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）解：我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【解析】【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的几何意义（函数在一点的导数是函数图象在这一点的切线斜率）即可；
（2）对分情况，判断的正负，根据导数正负与函数的单调性的关系，即可得到的单调区间；
（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.
（1）由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
17．【答案】（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
故极小值，无极大值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
【解析】【分析】本题围绕函数展开，包含切线方程求解、极值计算及方程解的个数判断：
（1）先对函数求导，根据导数的几何意义（函数在某点处的导数为该点处切线的斜率 ），结合已知点坐标，利用点斜式求出切线方程.
（2）通过导数判断函数的单调性（导数大于时函数单调递增，导数小于时函数单调递减 ），进而确定极值点，求出极值.
（3）依据函数的单调性和极值，分析函数在定义域内的取值趋势，将方程解的个数转化为两个函数图象交点个数，结合图象进行判断.
（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）解：由（1）知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值.
（3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
18．【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）解：函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）证明：因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
【解析】【分析】（1）当时，求导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调区间，核心是导数与函数单调性的关系.
（2）（i）求的取值范围：先求导，对分类讨论，结合函数单调性、极值与零点的关系确定的范围，关键是导数分析函数形态.
（ii）证明不等式：利用零点条件化简，构造新函数，通过研究新函数单调性证明，核心是函数构造与单调性应用.
（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
19．【答案】（1）解：由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）证明：
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）证明：由（1）知，，即，
当时，
．
【解析】【分析】（1）先求导可得，再分，两类讨论单调性可得最大值即可求解；
（2）先将条件等价于有两个不等的正根可得，再利用判别式非负，以及根与系数关系求出a的范围，要证，即证，
令求导确定函数的单调性即可证明；
（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明即可.
（1）由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，
．
（2）
“函数存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．
（3）由（1）知，，即，
当时，
．
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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．某运动质点位移与时间之间的关系为，则该质点的最大瞬时速度是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．下列说法正确的是( ).
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
4．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．的大小关系不能确定
5．已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（ ）
A．3 B． C．1 D．
6．当时，函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
10．设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若，则；
B．存在，，使得；
C．若，，则；
D．对任意的，，都有.
11．设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．当时，的最小值为
C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
D．函数的图象关于点对称
三、填空题(共3题；共15分)
12．若，则 .
13．若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为 .
14．已知函数有两个零点，求的取值范围 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
16．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于任意的，有，求的取值范围.
17．已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）判断方程的解的个数．
18．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．定义运算：，已知函数，．
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）若函数存在两个极值点，，证明：；
（3）证明：．
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