(共22张PPT)
2.1 认识实数
第 2 课时 认识实数
1. 进一步理解有理数和无理数的概念，会对实数进行分类，培养归纳、分类的实践能力，发展数据意识.
(重点)
2. 了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.
(重、难点)
3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
1. 什么是无理数
2. 无理数和有理数的区别是什么
无限不循环小数就是无理数.
(1) 无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示.
(2) 任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能.
探究点一：实数的概念及分类
活动1：请你把下面各数填入下面相应的集合内。
0.373 773 777 3···
(相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)。
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
0.373 773 777 3···
(相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)
【知识要点】有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。
探究点一：实数的概念及分类
问题1：你能仿照有理数的分类给实数分类吗
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
分数
整数
1. 按定义分类
探究点一：实数的概念及分类
无理数和有理数一样，也有正、负之分.
思考：(1) 请你把下面各数填入下面相应的集合内.
负数集合
正数集合
···
···
3.14，- ，0.57，0.1010001000001…（相邻两个 1
之间 0 的个数逐次加 2）。
. .
3.14，
0.57
. .
0.1010001000001…
-
(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2)
探究点一：实数的概念及分类
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
2. 按符号分类
0
正无理数
负无理数
(2) 实数还可以怎样分类
【总结】实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏
探究点一：实数的概念及分类
π - 3.14 的绝对值是 π - 3.14.
探究点二：实数的性质
问题2：0.3 的相反数是什么 的倒数是什么
π - 3.14 的绝对值是什么
·
根据以上问题，总结归纳出在实数 a 中，数 a 的相反数 绝对值是什么 当 a 不为 0 时，它的倒数是什么
0.3 的相反数是 ，
·
－0.3
·
的倒数是－4，
2. a 是一个实数，它的相反数为 ，
【要点归纳】
1. 在实数范围内与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
绝对值为 。
倒数是 (a≠0) ，
-a
| a |
探究点二：实数的性质
思考：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式是否成立。
2×π× = 2××π
2×π + 3×π = (2 + 3)×π
π×2 = 2×π
【总结】有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
探究点二：实数的性质
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
从图中可以看出，OO′ 的长是这个圆的周长 π，所以 O′ 对应的数是 π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O′
O
画一个直径 1 个单位长度的圆，它的周长等于 π. 如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少？
活动2：画一画
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
(1) 如图，OA = OB，数轴上点 A 对应的数是 a，b 中的哪一个？
－2
－1
0
1
2
A
B
O
【思考·交流】上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a = 2，b = 5。
A 点对应的为 a .
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
(2) 你能在数轴上找到另一个对应的点吗？
－2
－1
0
1
2
1
C
D
O
C 点对应的即为 b .
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
1.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
实数和数轴上的点是一一对应的.
2. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
【要点归纳】
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
例1 有一组实数：①-|-3|； ④ 3.14，⑤ 0；⑥ 21% ；⑦ 0.8，⑧ 3.131 331··· ( 每相邻两个1之间的 3 的个数依次增加 1 ) 。将它们分类，把相应的序号填在横线内：
·
② ；
整数：_________ ；
负有理数：________ ；无理数：_________ ；
分数：___________ .
①③
②⑧
①⑤
③④⑥⑦
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
例2 数轴上 A，B 两点表示的数分别为 π 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 ( )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
解析：∵ π ≈ 3.14，∴ π 和 5.1 之间的整数是 4，5.
C
∴ A ，B 两点之间表示整数的点共有 2 个．
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
1. 实数－2025是2025的( B )
A. 绝对值 B. 相反数
C. 倒数 D. 以上都不正确
2. 在实数 ，0，－0.3，3.1415926，4，－2022，
π中，有理数的个数为( D )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
D
3. 与数轴上的点具有一一对应关系的数是( A )
A. 实数 B. 有理数
C. 无理数 D. 整数
4. (1)－ 的倒数为 － ；
(2)｜2π－7｜＝ .
A
－
7－2π
5. 将下列各数对应的序号填在相应的集合里.
①－(－52)；②1.212 112 111 2…(相邻两个2之间1的
个数逐次加1)；③0；④－(－ )2；⑤－｜－2.5｜；
⑥－ ；⑦－ .
正数集合：{①②…}；
整数集合：{①③…}；
负分数集合：{④⑤⑥…}；
无理数集合：{②⑦…}.
①②
①③
④⑤⑥
②⑦
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
实数与数轴上的点一一对应第2章 实数
2.1 认识实数
第 2 课时 认识实数
【素养目标】
1. 进一步理解有理数和无理数的概念,会对实数进行分类,培养归纳、分类的实践能力,发展数据意识. (重点)
2. 了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小.(重、难点)
3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【复习导入】
1. 什么是无理数
2. 无理数和有理数的区别是什么
【合作探究】
探究点一、实数的概念及分类
活动1:请你把下面各数填入下面相应的集合内。
0.3737737773 (相邻两个3之间的7的个数逐次加1)。
【知识要点】有理数和无理数统称实数,即实数可以分为有理数和无理数。
问题1: 你能仿照有理数的分类给实数分类吗？
1. 按定义分类
思考: (1) 请你把下面各数填入下面相应的集合内.
(相邻两个1之间 0 的个数逐次加 2 )。
(2) 实数还可以怎样分类
探究点二：实数的性质
问题2: 的相反数是什么 的倒数是什么 的绝对值是什么
根据以上问题,总结归纳出在实数 中,数 的相反数 绝对值是什么 当 不为 0 时,它的倒数是什么
【要点归纳】
1. 在实数范围内与有理数范围内,相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样。
2. 是一个实数,它的相反数为 _____,倒数是 ,绝对值为_____ 。
思考: 在有理数范围内, 能进行哪些运算 判断下列各式是否成立。
【总结】有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
探究点三、实数与数轴上的点的对应关系
思考: 每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢
活动2: 画一个直径 1 个单位长度的圆,它的周长等于 . 如图, 从原点开始,将这个圆沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点 到达点 ,点 对应的数是多少
【思考·交流】上节课讨论的两个正方形,边长分别是 ,且满足 。
(1)如图, ,数轴上点 对应的数是 中的哪一个？
(2)你能在数轴上找到另一个对应的点吗？
【要点归纳】
1. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来, 数轴上的每一点都表示一个实数.实数和数轴上的点是一一对应的.
2. 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.
例1 有一组实数: ; ② ; ③ ; ④ 3.14, ⑤ 0; ⑥ 21%；
⑦ ,⑧ 3.131 331 ... (每相邻两个1 之间的 3 的个数依次增加 1 )。将它们分类, 把相应的序号填在横线内:
整数:________ ；负有理数:________ ；无理数:_________ ；分数:_________。
例2 数轴上 两点表示的数分别为 和 5.1,则 两点之间表示整数的点共有 ( )
A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个
当堂反馈
1. 实数-2025是2025的( )
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 以上都不正确
2. 在实数 , 中,有理数的个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 与数轴上的点具有一一对应关系的数是( )
A. 实数 B. 有理数 C. 无理数 D. 整数
4. (1) 的倒数为________. (2) ________.
5. 将下列各数对应的序号填在相应的集合里.
① ；②1.212 112 111 2...(相邻两个2之间1的个数逐次加 1 ); ③ 0;
④ ; ⑤-| -2.5| ; ⑥ ；⑦ .
正数集合: ; 整数集合: ;
负分数集合:{ }；无理数集合: .
参考答案
复习导入
1. 无限不循环小数就是无理数.
2. (1)无理数是无限不循环小数,而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示.
(2)任何一个有理数都可以化为分数形式,而无理数则不能.
探究点一: 实数的概念及分类
活动1:
问题1:
探究点二、实数的性质
问题2: 0.3 的相反数是-0.3, 的倒数是-4, 的绝对值是 .
【要点归纳】2. ,
探究点三、实数与数轴上的点的对应关系
活动2:从图中可以看出, 的长是这个圆的周长 , 所以 对应的数是 .
【思考·交流】(1)点 对应的数是 .
(2) 点对应的即为 .
例1 整数:①⑤； 负有理数:①③； 无理数:②⑧ ； 分数:③④⑥⑦ .
例2 C 解析: 和 5.1 之间的整数是 4,5. 两点之间表示整数的点共有 2 个.
当堂反馈
1. B 2. D 3. A 4. (1) (2) 7-2π
5. 正数集合: ; 整数集合: ; 负分数集合:{④⑤⑥...}； 无理数集合: .2.1 认识实数
第2课时 认识实数
1.进一步理解有理数和无理数的概念，会对实数进行分类，培养归纳、分类的实践能力，发展数据意识.
2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.
3.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点：对实数按照一定的标准进行分类，用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.
难点：会用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.
知识链接
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？如果把“225”改为其他数字，如“200”，这时怎样确定边长？
回顾上节课学过的，a2＝2，以及上述问题中的b2＝200，那么a，b是什么数？除了有理数还学习过哪些不同的数？
创设情境——见配套课件
探究点一：实数的概念及分类
活动1：把下列各数分别填入相应的集合内：
，π，－，0，3.14，－12，4.，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
解：有理数集合：，－，0，3.14，－12，4.，
无理数集合：π，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）.
要点归纳：有理数和无理数统称为实数.
问题1：仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.
要点归纳：
（1）按定义分 （2）按符号分
探究点二：实数的性质
问题2：0.的相反数是什么？－的倒数是什么？π－3.14的绝对值是什么？
0.的相反数是－0.，－的倒数是－4，π－3.14的绝对值是π－3.14.
你能根据以上问题，总结归纳出在实数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么吗？
要点归纳：
1.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
2.a是一个实数，它的相反数为 －a ，倒数是（a≠0），绝对值为 ｜a｜ .
探究点三：实数与数轴上的点的对应关系
思考：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
活动2：画一画
（1）以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，点O'对应的数是多少？
从图中可以看出，OO' 的长是这个圆的周长π，所以点O' 对应的数是 π .
（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴相交.认真观察，分小组讨论下列问题：
①如图，OA＝OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
设点A对应的数为a，则a2＝2，a介于整数1和2之间.
②如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
数轴没有被填满，在数轴上还可以表示无理数.
要点归纳：
1.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；
2.在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
教材P27例题，课件出示，学生独立思考，老师总结.
有一组实数：①－｜－3｜；②，③－1，④3.14，⑤0，⑥21％；⑦0.；⑧3.131331…（每相邻两个1之间的3的个数依次增加1）.将它们分类，把相应的序号填在横线上：
整数： ①⑤ ；负有理数： ①③ ；无理数： ②⑧ ；分数： ③④⑥⑦ .
1.实数－2024是2024的（ B ）
A.绝对值 B.相反数 C.倒数 D.以上都不正确
2.在实数，0，－0.3，3.1415926，4，－2022，π中，有理数的个数为（ D ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.与数轴上的点具有一一对应关系的数是（ A ）
A.实数 B.有理数 C.无理数 D.整数
4.（1）－的倒数为 － ；
（2）｜π－3.14｜＝ π－3.14 .
5.将下列各数对应的序号填在相应的集合里.
①－（－52）；②1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）；③0；④－（－）2；⑤－｜－2.5｜；⑥－；⑦－.
正数集合：{①②}；
整数集合：{①③}；
负分数集合：{④⑤⑥}；
无理数集合：{②⑦}.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
实数
