(共22张PPT)
2.2 平方根与立方根
第 1 课时 算术平方根
1. 通过实例了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，发展抽象思维，培养符号意识.
2. 根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根，并总结其性质，发展数感. (重点)
3. 了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力.
(难点)
学习目标
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
边长/dm
1
3
4
6
活动1：计算下表中各正方形的边长：
问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？
问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？
正方形的边长的平方等于面积值。
面积越大，边长越大。
x2 = ，
y2 = ，
z2 = ，
w2 = ．
活动2：(1) 结合图形完成填空：
x2 = 12 + 12
2
3
4
5
y2 = x2 + 12
z2 = y2 + 12
w2 = z2 + 12
探究点一： 算术平方根的概念和性质
(2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数
z 是有理数，
x、y、w 是无理数.
O
A
B
C
D
E
x
y
z
w
1
1
1
1
这些无理数又该如何表示呢？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根
算术平方根
特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。
记作：
根号
被开方数
a≥0
读作：根号 a
探究点一： 算术平方根的概念和性质
1. 一个正数的算术平方根有几个？
0 的算术平方根有一个，是 0.
2. 0 的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根
一个正数的算术平方根有 1 个.
正数的平方不可能是负数.
【思考·交流】
探究点一： 算术平方根的概念和性质
探究点一： 算术平方根的概念和性质
基本条件：
数的角度：
关系的角度：
形的角度：
怎么理解
(a≥0 ， ).
是一个非负数.
的平方是 a；
是 a 的算术平方根；
不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长.
算术平方根具有双重非负性.
解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ；
(2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ；
(3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；
(4) 14 的算术平方根是 。
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
探究点一： 算术平方根的概念和性质
【练一练】1. 计算:
5
0
4
6
1.3
10-4
( 4 )2
( 10-4 )2
观察例1中得到的几个式子：
(1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点
(2) 在上面的式子中， ，也就是
一般地，当 a≥0 时， 成立吗
= a
这些数都可以化成 a2 的形式。
成立。
探究点一： 算术平方根的概念和性质
( )2 = a
(3) 成立吗 这里的 a 是什么数 你是怎么理解的 与同伴进行交流.
成立，这里的 a 是非负数。
探究点一： 算术平方根的概念和性质
想一想：a＜0 时， 还成立吗
= a
不成立。如
a＜0 时，
【要点归纳】
当 a＜0 时， = -a.
当 a≥0 时， = a， 2= a ；
想一想：如何化简 呢？
=
(a≥0)；
(a＜0).
= | a |
a
-a
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任意实数
a
| a |
例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0，
所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3.
所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值、平方式及算术平方根.
总结
(3) 若 ，则 a = ；
(2) 若 (m－7)2 = 0，则 m = ；
(4) 若 |a - 3|+ ，则式子 (a + b)2025 = .
(1) 若 |a + 3| = 0， 则 a = ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负的式子有：
| a |≥0，a2 ≥0， ≥0.
【练一练】2. 填空：
活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？
图①
解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm.
根据边长与面积的关系得 3x · x = 75，
即 x = 25.
由边长的实际意义，得 x = 5.
因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm.
探究点二：算术平方根的简单应用
探究点二：算术平方根的简单应用
问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？
图②
解：由正方形的面积为 75 cm 易知，正方形的边长为 cm.
例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将 h＝19.6 代入公式，得
，
即 ，
所以 .
即铁球到达地面需要 2 秒.
1.64的算术平方根是( D )
A. －8 B. ±8
C. 4 D. 8
2. 一个数的算术平方根是3，则这个数是( B )
B. 9
D. ±9
D
B
4. 填表.
a 25 0.16 10－4
结果 5 0.4 10－2
5
0.4
10－2
3. (1) ＝ ；(2) ()2＝ ；
(3) 若 ＋｜y－3｜＝0，则xy＝ .
3
3
6
5. 有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为
25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少.
解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为4xm.
由题意得4x·x＝25，即x2＝ ，
所以x＝ ＝ .则4x＝10.
故该长方形花坛的长为10m，宽为2.5m.
解：设该长方形花坛的宽为 x m，则长为 4 xm.
由题意得4x·x＝25，即x2＝ ，
所以x＝ ＝ .则4x＝10.
故该长方形花坛的长为 10 m，宽为 2.5 m.
算术平方根
定义
表示
特征
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；
负数没有算术平方根
x2 = a
根号 a
被开方数
02.2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
1.通过实例了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，发展抽象思维，初步培养符号意识.
2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根，并总结其性质（被开方数越大，对应的算术平方根也越大），发展数感.
3.了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养学生的应用能力和运算能力.
重点：根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根.
难点：了解算术平方根的性质.
知识链接
“西兰卡普”是土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为4m2，请问它的边长是多少？
问题1：你算出的边长是多少？
（2m）
问题2：你是怎样算出这个边长的？
（通过正方形的面积公式反推出来）
问题3：因为正方形边长的平方等于面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为2m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢？这个数是唯一的吗？请大家带着问题进行探究.
创设情境——见配套课件
探究点一：算术平方根的概念和性质
活动一：计算下表中各正方形的边长：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm 1 3 4 6
问题4：各正方形的边长与面积之间有什么关系？
（正方形的边长的平方等于面积值）
问题5：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？
（面积越大，边长越大）
要点归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”.特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0.
问题6：（1）算术平方根中，a可以取任何数吗？
不可以，被开方数a是非负数，即a≥0.
（2）计算：＝ 5 ；＝ 0 ；
＝ 4 ；＝ 6 ；
＝ 1.3 ；＝ 10－4 .
（3）（）2＝a成立吗？这里的a是什么数？是什么数？
成立.a是非负数，是非负数，即≥0.
要点归纳：当a≥0时，＝a，（）2＝a；
当a＜0时，＝－a.
探究点二：算术平方根的简单应用
阅读并完成教材P32例2，课件出示，学生独立思考，老师总结.
学生独立完成，加深对算术平方根概念的理解，强化了算术平方根的求法和表示方法.
活动2：用一根绳子围成一个长、宽之比为3∶1，面积为75cm2的长方形（如图①）.你能求出长方形的长和宽吗？
解：设长方形的长为3xcm，宽为xcm.根据边长与面积的关系得3x·x＝75，即x2＝25.由边长的实际意义，得x＝5.因此长方形的长为15cm，宽为5cm.
问题7：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积.你能求出正方形的边长吗？
解：由正方形的面积为75cm2，易知正方形的边长为cm.
阅读并完成教材P31例1，课件出示，学生独立思考，老师总结.
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度vm/s时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v2＝2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m.v有多大呢？
解：v2＝2gR≈2×9.8×6.4×106＝1.2544×108，
所以v≈＝1.12×104.
答：速度v的值约为1.12×104.
1.64的算术平方根是（ D ）
A.－8 B.±8 C.4 D.8
2.一个数的算术平方根是3，则这个数是（ B ）
A. B.9 C.± D.±9
3.（1）＝ 3 ； （2）（）2＝ 3 ；
（3）若＋｜y－3｜＝0，则xy＝ 6 .
4.填表.
a 25 0.16 10－4
结果 5 0.4 10－2
5.有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少.
解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为4xm.由题意得4x·x＝25，即x2＝，
所以x＝＝.则4x＝10.故该长方形花坛的长为10m，宽为2.5m.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
算术平方根
第2章 实数
2.2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
【素养目标】
1. 通过实例了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根, 发展抽象思维, 培养符号意识.
2. 根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根, 并总结其性质,发展数感. (重点)
3. 了解并掌握算术平方根的双重非负性,并利用这一性质进行运算,培养应用能力和运算能力. (难点)
【情境导入】
活动1 : 计算下表中各正方形的边长:
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
边长/ dm
问题1 : 各正方形的边长与面积之间有什么关系？
问题2 : 以上数据中, 面积和边长的大小有什么特点
【合作探究】
探究点一、算术平方根的概念和性质
活动2: (1) 结合图形完成填空:
(2) 中哪些是有理数,哪些是无理数
算术平方根:一般地,如果一个正数 的平方等于 ,即 ,那么这个正数 就叫作 的算术平方根.
特别地,我们规定: 0的算术平方根是 0 ,即 。
【思考·交流】
1. 一个正数的算术平方根有几个
2. 0的算术平方有几个
3. -1有算术平方根吗 负数有算术平方根
怎么理解
基本条件: .
数的角度: 是一个非负数.
关系的角度: 的平方是 是 的算术平方根;
形的角度: 不计入 是一个面积为正数 的正方形的边长.
算术平方根具有双重非负性.
例1 求下列各数的算术平方根:
(1) 900 ; (2) 1 ； (3) ； (4) 14 .
【练一练】1. 计算:
观察例1中得到的几个式子:
(1) 一些数的算术平方根的结果没有 “” 了,这些数有什么特点
(2) 在上面的式子中, ,也就是 ,一般地,当 时, 成立吗
想一想: 时, 还成立吗
(3) 成立吗 这里的是什么数？你是怎么理解的 与同伴进行交流.
【要点归纳】 当 时, ;当 时, .
议一议: 如何区别 与
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
例2 若 ,求的值.
【练一练】2. 填空:
(1)若 ,则 ；
(2) 若 ,则 ；
(3) 若 ,则 ；
(4)若 ,则式子 .
到目前为止,表示非负的式子有:____________________________________.
探究点二: 算术平方根的简单应用
活动3 : 用一根绳子围成一个长、宽之比为 , 面积为的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗
问题2 : 用另一根绳子围成一个正方形(如图②), 且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积, 你能求出正方形的边长吗？
例3 自由下落物体下落的距离 (米)与下落时间 (秒) 的关系为 . 有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间
当堂反馈
1. 64的算术平方根是( )
A. -8 B. ±8 C. 4 D. 8
2. 一个数的算术平方根是3 , 则这个数是( )
A. B. 9 C. D. ±9
3. (1) ;
(2) ;
(3) 若 ,则 .
4. 填表.
25 0.16
结果
5. 有一个长方形的花坛, 长是宽的 4 倍, 其面积为 ,求该长方形花坛的长和宽各是多少.
参考答案
活动1: 计算下表中各正方形的边长:
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
边长/ d m 2.5 1 3 4 6
问题1 : 正方形的边长的平方等于面积值。
问题2 : 面积越大,边长越大。
探究点一: 算术平方根的概念和性质
活动2: (1)结合图形完成填空:
(2) 是有理数, 这些无理数又该如何表示呢 是无理数.
【思考·交流】1. 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数.
2. 0 的算术平方根有一个, 是 0 . 3. 负数没有算术平方根.
例1 解:(1) 因为 , 所以 900 的算术平方根是 30, 即 ；
(2) 因为 ,所以 1 的算术平方根是 1 ,即 ;
(3) 因为 ,所以 的算术平方根是 ,即 ;
(4) 14的算术平方根是 。
【练一练】1.
议一议: 如何区别 与
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方,后开方
从取值范围看 取任意实数
从运算结果看
例2 解: 因为 ,又 ,
所以 .所以 .所以 .
【练一练】2. 填空:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
探究点二: 算术平方根的简单应用
活动3: 解: 设长方形的长为 ,宽为 . 根据边长与面积的关系得
, 即 . 由边长的实际意义,得 . 因此长方形的长为 ,宽为 .
问题2:解:由正方形的面积为 易知,正方形的边长为 .
例3 解: 将 代入公式,得19. ,即 ,所以 .
即铁球到达地面需要 2 秒.
当堂反馈
1. D 2. B 3. (1) ; (2) ; (3) .
4.
25 0.16
结果 5 0.4
5. 解: 设该长方形花坛的宽为 ,则长为 . 由题意得 ,
即 ,所以 . 则 .
故该长方形花坛的长为 ,宽为 .
