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2.2 平方根与立方根
第 2 课时 平方根
1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。
(重点)
2. 体会从平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系。
3. 会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆。
(难点)
填一填
a 1 -1 0.5 -0.5 5 -5
a2
根据相反数和平方的知识，思考互为相反数的两数的平方一定相等吗？
1
1
0.25
0.25
25
25
(1) 3 的平方根是9，还有其他的数的平方也是 9 吗？
(-3)2 = 9
(2) 平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？
和 两个数的平方等于 ；
0.8 和 -0.8 两个数的平方等于 0.64。
探究点一：平方根的概念
【思考与探究】
x2 1 16 0.36 49
x
±1
±4
±0.6
±7
±
思考：上述表格得到的 x 值有什么特点
都有两个值，且这两个值互为相反数
问题：填写下表：
探究点一：平方根的概念
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根（也叫作二次方根）。
平方根的概念
探究点一：平方根的概念
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根。
例1 求下列各数的平方根.
(1) 64 ； (2)
(4)
(5) 11.
(3) 0.0004；
解：(1) 因为 ，所以 64 的平方根为±8；
(2) 因为 ，所以 的平方根为 ；
(3) 因为 ，所以 0.0004 的平方根为±0.02；
(4) 因为 ，所以 的平方根为 ±25；
(5) 11 的平方根是 。
探究点一：平方根的概念
【尝试·思考】(1) 平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？
相同点：(1) 被开方数要求：被开方数都需非负。
(2) 包含关系：算术平方根是平方根中为正的平方根
( 0 的算术平方根和平方根相同）。
不同点：(1) 定义：平方根是平方等于 a 的数；
算术平方根是非负且平方等于 a 的数。
(2) 个数：正数的平方根有两个，算术平方根只有一个。
(3) 取值范围：平方根可正可负，算术平方根非负。
探究点二：平方根的性质
问题2：0 的平方根是多少
问题1：1，4，9， 的平方根是多少 它们有什么特点？
问题3：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少
没有平方根
0
±1，±2，±3，±
有两个平方根，且互为相反数
【尝试·思考】(2) 一个正数有几个平方根？
0 有几个平方根？负数呢？
探究点二：平方根的性质
性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数；
性质2：0 的平方根是 0；
性质3：负数没有平方根.
概念
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢
探究点二：平方根的性质
正数 a 的算术平方根记为“ ”，
正数 a 的负的平方根记为“－ ”，
读作“负根号 a ”
a 的平方根可记为
0 的平方根记为
求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。
读作：正、负根号 a
(正的平方根)
探究点二：平方根的性质
平方根号
被开方数
(a≥0)
(a≥0)
根指数为 2，省略不写
2
x =
x2 = a
开平方
平方运算
平方与开平方互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根
总结
探究点二：平方根的性质
例2 求下列各式的值:
解：(1) = = 15 ；
(3) = 8。
探究点二：平方根的性质
【练一练】m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －
B
分析：
因为 m－1 和 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，
则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，
解得 m＝2.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数
探究点二：平方根的性质
1. “4的平方根是±2”用数学式子表示正确的是
( B )
A. ＝±2 B. ± ＝±2
C. ＝2 D. － ＝－2
B
2. 的平方根是( C )
A. B. － C. ± D. 3
C
3. (1) 49 的平方根是 ；
(2) 0.25 的平方根是 .
4. (1) 若 4x2＝1，则x＝ ；
(2) 若 100x2－9＝0，则x＝ .
±7
±0.5
±
±
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋4和a－10，
求这个数.解得a＝1.1)2＝(2＋1)2＝9.
解：由于一个正数的两个平方根分别是 2a＋4 和 a－10，
则有 2a＋4＋a－10＝0，
即 3a－6＝0，解得a＝2.
所以这个数为 (2a＋4)2＝(2×2＋4)2＝64.
平方根
平方根的概念
平方根的表示方法
平方根的性质第2章 实数
2.2 平方根与立方根
第 2 课时 平方根
【素养目标】
1. 了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根。 (重点)
2. 体会从平方运算到求平方根的演变过程, 理解二者的互逆关系。
3. 会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根,对一些特殊的数及其平方根形成记忆。 (难点)
【复习导入】
填一填
1 -1 0.5 -0.5 5 -5
根据相反数和平方的知识,思考互为相反数的两数的平方一定相等吗
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
【思考与探究】
(1) 3 的平方根是9, 还有其他的数的平方也是 9 吗
(2) 平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？
问题: 填写下表:
1 16 0.36 49
思考: 上述表格得到的 值有什么特点
平方根的概念
一般地,如果一个数 的平方等于 ,即 , 那么这个数 就叫作 的平方根(也叫作二次方根)。例如: , 3 和 -3 是 9 的平方根,简记为 ± 3 是 9 的平方根。
例1 求下列各数的平方根.
探究点二、平方根的性质
【尝试·思考】
(1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点
(2)一个正数有几个平方根？
问题1: 的平方根是多少 它们有什么特点
问题2: 0 的平方根是多少
问题3: 的平方根是多少
平方根的性质
性质1: 正数有两个平方根, 它们互为相反数;
性质2: 0的平方根是 0 ;
性质3: 负数没有平方根.
平方根的表示方法：
正数 的算术平方根记为 “ ”(正的平方根)，正数 的负的平方根记为 “ ” 读作 “负根号 ”。 的平方根可记为 ，读作:正、负根号 ，0 的平方根记为
求一个数 的平方根的运算,叫作开平方, 叫作被开方数。
总结：根指数为2 , 一般省略不写.
平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根
例2 求下列各式的值:
【练一练】 与是某正数的两个不同的平方根,则的值是 ( )
A. 4 B. 2 C. -2 D.
当堂反馈
1. “4的平方根是 ” 用数学式子表示正确的是 ( )
A. B. C. D.
2. 的平方根是( )
A. B. C. D. 3
3. (1) 49 的平方根是 ______ ； (2) 0.25 的平方根是 ______ .
4. (1) 若 ,则x =______; (2)若 ,则x = .
5. 一个正数的两个平方根分别是 和 , 求这个数.
参考答案
复习导入:
1 -1 0.5 -0.5 5 -5
1 1 0.25 0.25 19 19 25 25
探究点一: 平方根的概念
【思考与探究】(1) (2) 和 两个数的平方等于 ;
0.8 和 -0.8 两个数的平方等于 0.64 。
问题: 填写下表:
1 16 0.36 49
土1 ±4 ±7
思考: 都有两个值, 且这两个值互为相反数
例1 解: (1) 因为 ,所以 64 的平方根为 ;
(2) 因为 ,所以 的平方根为 ;
(3) 因为，所以 0.0004 的平方根为±0.02；
(4) 因为 ,所以 的平方根为 ;
(5) 11 的平方根是 。
探究点二: 平方根的性质
【尝试·思考】相同点:(1) 被开方数要求:被开方数都需非负。 ( 2 )包含关系:算术平方根是平方根中为正的平方根 ( 0 的算术平方根和平方根相同)。
不同点: (1) 定义: 平方根是平方等于 的数;
算术平方根是非负且平方等于 的数。
(2)个数:正数的平方根有两个,算术平方根只有一个。
(3)取值范围:平方根可正可负,算术平方根非负。
问题1: 有两个平方根, 问题2: 0
问题3: 没有平方根
例2解: ;(2) ;(3) 。
【练一练】 B
当堂反馈
1. B 2. C. 3. (1) ±7 ；(2) ± 0.5 . 4. (1) (2)
5. 解: 由于一个正数的两个平方根分别是 和 , 则有 ,即 ,解得 .所以这个数为.2.2 平方根与立方根
第2课时 平方根
1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2.体会从平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯.
3.会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆.
重点：平方根的概念及平方根的求法.
难点：求非负数的平方根.
知识链接
3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
解：－3的平方也是9；平方等于的数有2个，分别是和－；平方等于0.64的数为0.8和－0.8.
创设情境——见配套课件
探究点一：平方根的概念
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？（3或－3）
问题2：根据问题1填写下表.
x2 1 16 0.36 49
x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±
思考1：上述表格得到的x值有什么特点？（互为相反数）
思考2：一个数与自身相乘的乘积叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
（开平方）
要点归纳：定义1：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
定义2：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
根据所学内容回答“导入新课”的问题.
（根据开平方求这个数，这个数并不唯一）
探究点二：平方根的性质
观察并思考：
思考1：观察以上内容你有什么发现？
（学生自主谈论，围绕平方和平方根的相关知识表达，言之有理即可）
思考2：1，4，9，的平方根分别是什么？（±1，±2，±3，±）
思考3：0的平方根是多少？（0）
思考4：－1，－4，－9，－有平方根吗？（没有）
（观察、讨论、归纳平方根的性质.）
要点归纳：性质1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
性质2：0的平方根是0.
性质3：负数没有平方根.
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表达呢？
（学生思考，老师给出答案）
要点归纳：正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根记为“－”，读作“负根号a”，则a的平方根可记为“±”，读作“正、负根号a”.0的平方根记为.
阅读并完成教材P33例3，课件出示，学生独立思考，老师总结.
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数.
解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解.
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0.解得a＝1.所以这个数为（2a＋1）2＝（2＋1）2＝9.
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零.
1.“4的平方根是±2”用数学式子表示正确的是（ B ）
A.＝±2 B.±＝±2 C.＝2 D.－＝－2
2.的平方根是（ C ）
A. B.－ C.± D.3
3.（1）49的平方根是 ±7 ；（2）0.25的平方根是 ±0.5 .
4.（1）若4x2＝1，则x＝ ± ；（2）若100x2－9＝0，则x＝ ± .
5.一个正数的两个平方根分别是2a＋4和a－10，求a的值和这个数.
解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋4和a－10，
则有2a＋4＋a－10＝0，即3a－6＝0.解得a＝2.
所以这个数为（2a＋4）2＝（2×2＋4）2＝64.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
平方根
