(共20张PPT)
2.3 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质及加减
1. 理解最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式，会运用二次根式的性质进行计算和化简。 (重点)
2. 掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算。(难点)
3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力，训练思维的严谨性，养成良好的运算习惯。
1. 什么是最简二次根式？
2. 二次根式的乘法法则和除法法则是什么.
一般地，形如 的式子叫作二次根式。
a 叫作被开方数。
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b＞0)
现有一块长为 7.5 dm、宽为 5 dm 的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm 和 18 dm 的正方形木板？
7.5 dm
5 dm
解 设大正方形边长为 a，小正方形的边长为 b，则有：
a2 = 8，b2 = 18。
则 a = ，b = 。
比较 和 7.5 的大小即可。
还记得吗
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）。
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）。
将二次根式的乘法法则和除法法则等式的左边和右边交换，就可以得到：
例1 化简：
解：(1)
(2)
(3)
探究一：二次根式的性质及化简
最简二次根式
被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
探究一：二次根式的性质及化简
例2 化简：
解：
探究一：二次根式的性质及化简
(1) 你是怎么发现 的被开方数含有开得尽方的因数的？你是怎么判断 是最简二次根式的？
(2) 将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。
的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数。
的被开方数 50 = 2×25，其中 25 开方开得尽；
【反思与交流】
探究一：二次根式的性质及化简
探究点二：二次根式的加减运算
【针对训练】 化简下列二次根式。
（1）
（2）
解：
（1）；
（2）
=6
【方法总结】
(1) 若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如 (2) 题。
(2) 将二次根式尽量化筒，使开方数 (式) 中不含能开得尽方的因数 (因式) ，即化为最简二次根式。
探究点二：二次根式的加减运算
(2) x2 + 2x2 + 4y = .
1.(1) 3x2 + 2x2 = ；
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
解：
3. 能不能再进行计算 为什么
答：不能，因为两个加数都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.
5x2
3x2 + 4y
探究点二：二次根式的加减运算
【思考与探究】
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式相加减时，可以先将各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
2. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
1. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
注意事项
探究点二：二次根式的加减运算
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则.
转化思想：
二次根式加减问题
整式加减问题
探究点二：二次根式的加减运算
【回顾导入】
【回顾导入】现有一块长为 7.5 dm、宽为 5 dm 的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm 和 18 dm 的正方形木板？
7.5 dm
5 dm
解 设大正方形边长为 a，小正方形的边长为 b，则有：
a2 = 8，b2 = 18。
则 a = ，b = 。
探究点二：二次根式的加减运算
a + b =
(7.5)2 = 56.25＞50，
则不能采用。
解：(1)原式 =
例3 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
探究点二：二次根式的加减运算
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( A )
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，能与 合并的是( C )
A. B.
C. D.
A
C
3. 化简 的结果为( A )
A. 2 B. 2
C. 4 D. 5
4. 化简：
(1) ＝ 5 ；
(2) ＝ .
A
5
5. 计算：
(1) － ＋ ；
解：原式＝3 －2 ＋ ＝ .
(2) －3 ＋ .
解：原式＝6 － ＋ ＝ .
解：原式＝3 －2 ＋ ＝ .
解：原式＝6 － ＋ ＝ .
二次根式性质与加减
二次根式的性质
二次根式的性质
二次根式的加法、减法计算
最简二次根式
二次根式的加减第2章 实数
2.3 二次根式
第2课时 二次根式的性质及加减
【素养目标】
1. 理解最简二次根式的概念,能把一个二次根式化成最简二次根式,会运用二次根式的性质进行计算和化简。(重点)
2. 掌握二次根式加减的方法,会正确进行二次根式的加减运算。(难点)
3. 通过类比整式的加减法,体会化归思想,提高计算能力,形成数学的表达与交流能力,发展应用意识和实践能力,训练思维的严谨性,养成良好的运算习惯。
【复习导入】
1. 什么是最简二次根式
2. 二次根式的乘法法则和除法法则是什么.
现有一块长为 、宽为 的木板,能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是 和 的正方形木板
【合作探究】
探究一:二次根式的性质及化简
根据 和 .
将二次根式的乘法法则和除法法则等式的左边和右边交换,就可以得到:
例1 化简:
(1) .
最简二次根式
例如: 例 1 的化简结果 ，被开方数不含分母, 也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式。化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号, 而且各个二次根式是最简二次根式。
例2 化简:
(3) .
【反思与交流】
(1)你是怎么发现 的被开方数含有开得尽方的因数的 你是怎么判断 是最简二次根式的
(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会 与同伴进行交流。
探究点二: 二次根式的加减运算
【针对训练】化简下列二次根式。
(1) ； (2) 。
【思考与探究】
1. (1) .
2. 类比合并同类项的方法,想想如何计算: .
3. 能不能再进行计算 为什么
◆二次根式的加减法法则
一般地,二次根式相加减时,可以先将各个二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
注意事项
1. 合并的前提条件:只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
2. 加减法的运算步骤:“一化简二判断三合并”.
依据: 二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则.
转化思想: 二次根式加减问题 整式加减问题
【回顾导入】现有一块长为 、宽为 的木板, 能否采用如图所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是 和 的正方形木板
例3 计算:
当堂反馈
1. 下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列二次根 式中,能与 合并的是( )
A. B. C. D.
3. 化简 的结果为( )
A. B. C. D.
4. 化简:
(1) ； (2) .
5. 计算:
(1) ; (2) .
参考答案
复习导入
1. 一般地,形如 的式子叫作二次根式。 叫作被开方数。
2.
情境导入 解：设大正方形边长为 ,小正方形的边长为 ,则有:
比较 和 7.5 的大小即可。
探究一:二次根式的性质及化简
例1 解: (1)
(2) . (3) .
例2 解: .
(3) .
【反思与交流】
(1) 的被开方数 ,其中 25 开方开得尽; 的被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数。 (2) 言之有理即可，答案不唯一、
探究点二: 二次根式的加减运算
【针对训练】化简下列二次根式。
解: (1) ;
(2) 。
【思考与探究】1. (1) .
2. 解: .
3. 答:不能,因为两个加数都是最简二次根式,被开方数不相同, 所以不能合并.
【回顾导入】解： 设大正方形边长为 ,小正方形的边长为 ,则有:
由于 , ,则不能采用。
例3解: (1)原式 .
(2) 原式 .
(3) 原式
当堂反馈
1. A 2. C 3. A 4. (1) ；(2) .
5. 解: (1) 原式 .
(2) 原式 .2.3 二次根式
第2课时 二次根式的性质及加减
1.理解最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式，会运用二次根式的性质进行计算和化简.
2.掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.
3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力，训练思维的严谨性，养成良好的运算习惯.
重点：二次根式的性质和化简.
难点：二次根式加减法则的理解及运算应用.
知识链接
现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
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探究点一：二次根式的性质及化简
1.知识链接中问题的关键是要比较＋与7.5的大小，用计算器算一下，＋＝成立吗？
答：不成立.＋≈7.07，≈5.10.
2.将与化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？
答：＝＝×＝2，＝＝×＝3，可以合并，由于它们有共同的因数，可以利用分配律进行合并.
即＋＝2＋3＝（2＋3）＝5.
总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.
要点归纳：
1.二次根式的性质：＝·（a≥0，b≥0），
＝（a≥0，b＞0）.
2.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
练习.化简：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）.
解：（1）72.（2）4.（3）.（4）2.（5）5.
（6）.（7）.（8）.
探究点二：二次根式的加减运算
解答教材P44例5，回答下列问题：
1.计算m＋n－p，并说明其中的依据.
答：m＋n－p＝（m＋n－p）.将看成共同的因式，依据是分配律.
2.教材P44例5（1）、（2）的计算中先做了什么？后做了什么？
答：先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并.
3.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
答：二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项.
要点归纳：二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.（可类比整式的加减法则）
化简下列二次根式.
（1）；（2）.
解析：本题主要考查运用＝·（a≥0，b≥0）及＝a（a≥0）进行化简.
解：（1）＝＝×＝4.
（2）＝＝6×13×3＝234.
方法总结：（1）若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如（2）题.（2）将二次根式尽量化简，使被开方数（式）中不含能开得尽方的因数（因式），即化为最简二次根式.
计算：
（1）2－6；（2）－＋.
解析：（1）直接把二次根式合并.（2）先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并.
解：（1）2－6＝（2－6）＝－4.
（2）－＋＝4－2＋＝（4－2＋1）＝3.
方法总结：先将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并.
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ A ）
A. B. C. D.
2.化简：
（1）； （2）；
解：原式＝5. 解：原式＝4.
（3）； （4）.
解：原式＝. 解：原式＝.
3.计算：
（1）－＋； （2）＋－.
解：原式＝3－2＋3＝＋3. 解：原式＝＋4－3＝.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
二次根式
第2课时 二次根式的性质及加减
通过对公式的逆运用，达到化简的目的.学会这种特殊的思考方法.在合作探究过程中，提升学生的探究能力和合作意识.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
