(共25张PPT)
4.4 一次函数的应用
第2课时 单个一次函数图象的应用
1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。
(重点)
2. 在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。(难点)
1.由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号；
2.由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；
3.可直接观察出：x 与 y 的对应值；
4.由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，
从而确定一次函数的图象的表达式.
从一次函数图象可获得哪些信息
y
x
o
行驶路程 x＝0 时，y 的值
引例：某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L) 与摩托车行驶路程 x (单位：km) 之间的关系如图所示.
根据图象回答下列问题：
观察图象，得
当 x＝0 时，y＝10.
因此，油箱最多可储油 10 L.
(1) 油箱最多可储油多少升？
探究点一： 单个一次函数图象的应用
剩余油量 y＝0 时，x 的值
(2) 一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
当 y＝0 时，x＝500，
因此，一箱汽油最多可供摩托车行驶 500 km.
探究点一： 单个一次函数图象的应用
当 x 从 0 增加到 100 时，对应 y 的增加值
(3) 摩托车每行驶 100 km 消耗多少升汽油？
x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 减小到 8，减小了 2，因此摩托车每行驶 100 km 消耗 2 L 汽油.
探究点一： 单个一次函数图象的应用
当 y＝1 时， x 的值
(4) 油箱中的剩余油量小于 1 L 时，摩托车将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
当 y＝1 时，x＝450，
因此，行驶 450 km 后，摩托车将自动报警.
设 y＝kx＋b. 由图象可知 b＝10，
图象又过点(500，0)，
则有 500k＋10＝0，所以k＝ ，
所以 y＝ t＋10，
解析式法
探究点一： 单个一次函数图象的应用
如何解答实际情景函数图象的信息？
1. 理解横纵坐标分别表示的实际意义；
3. 利用数形结合的思想：
2. 分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线， 在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
【归纳总结】
将“数”转化为“形”
由“形”定“数”
探究点一： 单个一次函数图象的应用
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量 V (万m3) 与干旱持续时间 t (天) 的关系如图所示.
根据图象回答下列问题：
(1) 水库干旱前的蓄水量是多少？
解：观察图象，得
(1) 当 t = 0 时，V = 1200.
因此，干旱开始时水库的蓄水量为 1200 万m3.
蓄水量 V (万m3) 与干旱持续时间 t (天) 的关系图
探究点一： 单个一次函数图象的应用
(2) 干旱持续 10 天，蓄水量是多少 干旱持续 23 天呢
(2) 当 t＝10 时，V＝1000.
因此，干旱持续 10 天，
水库的蓄水量为 1000 万m3.
当 t＝23 时，V≈750.
因此，干旱持续 23 天，
水库的蓄水量约为 750 万m3.
探究点一： 单个一次函数图象的应用
解得 k＝﹣20。
所以V＝-20t＋1200。
(2) 干旱持续 10 天，蓄水量是多少 干旱持续 23 天呢
解析式法
设 V＝kx＋b. 由图象可知 b＝1200，
图象又过点(50，200)，则有 50k＋1200＝200，
当 t＝23 时，解得V＝740。
当 t＝10 时，解得V＝1000。
因此，干旱持续 10 天，
水库的蓄水量为 1000 万m3。
探究点一： 单个一次函数图象的应用
(3) 蓄水量小于 400 万m3 时，将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报
(3) 当 V = 400 时，t≈40。
因此，干旱持续约 40 天后将发出严重干早警报。
探究点一： 单个一次函数图象的应用
V＝0
(4) 按照这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？
预计干旱持续 60 天水库将干涸.
由 (2) 得，
一次函数的解析式为：
V＝﹣20t＋1200，
当 V＝0 时，解得 t＝60.
解析式法
探究点一： 单个一次函数图象的应用
【变式】某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量 V (万立方米)与污水处理时间 t (天)之间的关系如图所示，
则 V 与 t 之间的函数关系式是
，
平均每天可处理污水 万立方米。
20
探究点一： 单个一次函数图象的应用
V=500－20t
探究：如图是某一次函数的图象，根据图象填空：
(1) 当 y＝0 时，x = ；
(2) 这个函数的表达式是 ；
(3) 图象与 x 轴交点的
坐标_________；
(4) 一元一次方程 0.5x +1= 0
的解是________.
-2
(-2，0)
x =﹣2
y＝0.5x＋1
探究点二： 一次函数与一元一次方程
1
【议一议】一元一次方程 0.5x＋1＝0 与一次函数
y＝0.5x＋1 有什么联系？
2
O
1
3
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
1.从“数”的方面看，当一次函数 y = 0.5x + 1 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 0.5x + 1 = 0 的解.
2.从“形”的方面看，函数
y = 0.5x + 1 与 x 轴交点的横坐标，即为方程 0.5x + 1 = 0 的解.
探究点二： 一次函数与一元一次方程
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗
【归纳总结】
求一元一次方程 kx + b = 0
的解
一次函数 y = kx+b
中，y = 0时 x 的值
求直线 y = kx+b与
x 轴交点的横坐标
数
形
数形结合
y
x
o
(x,0)
探究点二： 一次函数与一元一次方程
例2 直线 y = kx + b 与 x 轴的交点坐标是（2，0），则关于 x 的方程 kx + b = 0 的解是（ ）
A. x = 2 B. x = 4 C. x = 8 D. x = 10
A
【针对训练】已知方程 kx + b = 0 的解是 x = 3，则函数 y = kx + b 的图象可能是( )
C
探究点二： 一次函数与一元一次方程
解答实际情景函数图
象信息问题的方法：
一次函数的应用
一次函数与一元一次方程的关系
单个一次函数图象的应用
法一
图象观察法
1.只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，再利用函数性质解决问题.
法二
关系式计算法
2.给出一次函数表达式，直接应用一次函数的性质解决问题.
1. 方程2x＋12＝0的解是直线y＝2x＋12( C )
A. 与y轴交点的横坐标
B. 与y轴交点的纵坐标
C. 与x轴交点的横坐标
D. 与x轴交点的纵坐标
C
2. 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图
象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx
＋b＝0的解为( A )
A. x＝－1
B. x＝2
C. x＝0
D. x＝3
第2题图
A
3. 小王开车从甲地到相距320km的乙地，已知油箱
剩余油量y(L)与行驶里程x(km)满足一次函数关
系，其图象如图所示，那么y与x的函数表达式
为 ，到达乙地时油箱
剩余油量是 L.
y＝－ x＋50(0≤x≤320)
10
第3题图
4. 小明将父母给的零花钱按每月相等的数额存放在
存钱罐内准备捐给希望工程，存钱罐内钱数y(元)与
存钱月数x(月)之间的关系如图所示.根据图象回答
下列问题：
(1)求存钱罐内钱数y与存钱月数x之间的函数表达
式(不要求写出x的取值范围)；
解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b，
将(0，40)，(8，200)代入可得b＝40，
8k＋b＝200，解得k＝20，
故y与x之间的函数表达式为y＝20x＋40.
(1)求存钱罐内钱数y与存钱月数x之间的函数表达
式(不要求写出x的取值范围)；
(2)按此规律，小明经过几个月才能存够120元？
解：(2)令20x＋40＝120，解得x＝4，
即小明经过4个月才能存够120元.
解：(2)令20x＋40＝120，解得x＝4，
即小明经过4个月才能存够120元.第4章 一次函数
4.4 一次函数的应用
第2课时 单个一次函数图象的应用
【素养目标】
1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。(重点)
2. 在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。(难点)
【情境导入】
从一次函数图象可获得哪些信息？
【合作探究】
探究点一： 单个一次函数图象的应用
引例：某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 (单位： ) 与摩托车行驶路程 (单位： ) 之间的关系如图所示。 根据图象回答下列问题：
(1) 油箱最多可储油多少升？
(2) 一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
(3)摩托车每行驶 消耗多少升汽油？
(4) 油箱中的剩余油量小于 时，摩托车将自动报警。 行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
【归纳总结】
如何解答实际情景函数图象的信息？
1. 理解横纵坐标分别表示的实际意义；
2. 分析已知条件，通过作 轴或 轴的垂线，在图象上找到对应的点， 由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
3. 利用数形结合的思想。
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量 与干旱持续时间 (天) 的关系如图所示。
根据图象回答下列问题：
(1) 水库干旱前的蓄水量是多少？
(2) 干旱持续 10 天，蓄水量是多少？干旱持续 23 天呢？
(3) 蓄水量小于400万 时，将发出严重干旱警报。干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
(4) 按照这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？
【变式】某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量 (万立方米)与污水处理时间 (天)之间的关系如图所示，则 与 之间的函数关系式是__________________，平均每天可处理污水_______万立方米。
探究点二： 一次函数与一元一次方程
探究：如图是某一次函数的图象，根据图象填空：
(1) 当 时，
(2) 这个函数的表达式是 ___________ ；
(3) 图象与 轴交点的坐标是 ________ ;
(4) 一元一次方程 的解是________ .
【议一议】一元一次方程 与一次函数 有什么联系？
【归纳总结】
例2 直线 与 轴的交点坐标是( 2 , 0 )，则关于的方程 的解是( )
A. B. C. D.
【针对训练】已知方程 的解是 , 则函数 的图象可能是 ( )
当堂反馈
1. 方程 的解是直线 ( )
A. 与 轴交点的横坐标 B. 与 轴交点的纵坐标
C. 与 轴交点的横坐标 D. 与 轴交点的纵坐标
2. 一次函数 的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 的方程 的解为( )
A. B. C. D.
第2题图 第3题图
3. 小王开车从甲地到相距 的乙地，已知油箱剩余油量 与行驶里程 满足一次函数关系，其图象如图所示，那么 与 的函数表达式
为 _____________________ , 到达乙地时油箱剩余油量是_____ L.
4. 小明将父母给的零花钱按每月相等的数额存放在存钱罐内准备捐给希望工程，存钱罐内钱数 (元)与存钱月数 (月)之间的关系如图所示。 根据图象回答下列问题：
(1) 求存钱罐内钱数 与存钱月数 之间的函数表达式 (不要求写出 的取值范围)；
(2) 按此规律，小明经过几个月才能存够120元？
参考答案
复习导入
1. 由一次函数的图象可确定 和 的符号；
2. 由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；
3. 可直接观察出： 与 的对应值；
4. 由一次函数的图象与 轴的交点的坐标可确定 值， 从而确定一次函数的图象的表达式。
探究点一： 单个一次函数图象的应用
引例： (1) 观察图象，得当 时， . 因此，油箱最多可储油 .
(2) 当 时， ，因此，一箱汽油最多可供摩托车行驶 .
(3) 从 0 增加到 100 时， 从10 减小到 8 ，减小了2 ，因此摩托车每行驶 消耗 2 L 汽油。
(4) 解析式法 设 . 由图象可知 ，图象又过点(500，0)，
则有 ，所以 ，所以 ,
当 时， ，因此，行驶 后，摩托车将自动报警。
例1 解： (1) 观察图象， 得 时， .因此，干旱开始时水库的蓄水量为1200万 .
(2) 当 时， . 因此，干旱持续10天， 水库的蓄水量为 1000 万m3. 当 时， . 因此，干旱持续23天， 水库的蓄水量约为 .
解析式法 设 . 由图象可知 ，图象又过点(50,200)，则有 ，解得 。所以 。
当时，解得。因此，干旱持续 10 天，水库的蓄水量为 1000 万m3。
当 时，解得 .
(3) 当 时， 。因此，干旱持续约 40 天后将发出严重干旱警报。
(4) 解析式法： 由 (2) 得，一次函数的解析式为： ,
当 时，解得 .
【变式】函数关系式是 20
探究点二： 一次函数与一元一次方程
探究： (1) ； (2) ；(3) (-2,0) ； (4) .
【议一议】
1. 从 “数” 的方面看，当一次函数 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 的解。
2. 从 “形” 的方面看，函数 与 轴交点的横坐标， 即为方程 的解。
例2 A 【针对训练】 C
当堂反馈
1. C 2. A 3. , .
4. 解： (1)设函数表达式为 ，将 代入可得 , ，解得 , 故 与 之间的函数表达式为 . (2) 令 ，解得 , 即小明经过 4 个月才能存够 120 元。4.4 一次函数的应用
第2课时 单个一次函数图象的应用
1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题.
2.在函数图象信息获取过程中，增强数学应用意识，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维.
3.在解决实际问题过程中，进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.
重点：掌握单个一次函数图象的应用.
难点：了解一次函数与一元一次方程的关系.
知识链接
在前几节课里，我们分别学习了一次函数、一次函数的图象、一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用.
创设情境——见配套课件
请同学们观察下面的图，它们反映了怎么样的自然现象？
今天我们就一起对节约用水问题，从数学知识的角度来进行全面的分析，共同学习如何用一次函数的图象来帮助我们解决生活中的实际问题.
探究点一：单个一次函数的应用
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续时间t（天）与蓄水量V（万立方米）的关系如图所示，请大家根据图象回答问题，有困难的同学，请与同伴互相交流.
（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？干旱持续23天呢？
（2）蓄水量小于400万立方米时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？
（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
解：（1）设V＝kt＋b（k≠0），由图可知，水库原蓄水量为1200，干旱持续50天，蓄水量为200，则b＝1200，200＝50k＋b，解得k＝－20，则V＝－20t＋1200，当t＝10时，V＝－20×10＋1200＝1000.当t＝23时，V＝－20×23＋1200＝740.所以干旱持续10天，蓄水量为1000万立方米，干旱持续23天，蓄水量为740万立方米.
（2）当V＝400时，可得400＝－20t＋1200，解得t＝40，所以干旱40天后将发出严重干旱警报.
（3）当V＝0时，可得0＝－20t＋1200，解得t＝60，所以持续干旱60天，水库将干涸.
思考：如果从图象上不能很明显得出结论，那么求出一次函数的表达式可以解决吗？
总结：弄清函数图象所在的坐标系中横轴、纵轴表示的意义，找出图象中的特殊点来解决问题；利用图象信息解决实际问题也要了解k和b的实际意义.
某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量V（万立方米）与污水处理时间t（天）之间的关系如图所示，则V与t之间的函数关系式是 V＝500－20t ，平均每天可处理污水 20 万立方米.
【针对训练】
某种摩托车的油箱最多可储油10L，加满油后，油箱中的剩余油量y（L）与摩托车行驶路程x（km）之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
（1）加满油后，摩托车最多可行驶多少千米？
（2）摩托车每行驶100km消耗多少升汽油？
（3）油箱中的剩余油量小于1L时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
解：（1）由图象可知，当x＝500时，y＝0.所以加满油后摩托车最多可行驶500km.
（2）10÷（500÷100）＝2（L），所以摩托车每行驶100km消耗2L汽油.
（3）设y＝kx＋b，由图象，知b＝10，0＝500k＋b.解得k＝－.则y与x的关系式为y＝－x＋10.当y＝1时，则1＝－x＋10.解得x＝450.所以行驶450km后，摩托车将自动报警.
探究点二：一次函数与一元一次方程
看图填空：
（1）当y＝0时，x＝ －2 ；
（2）直线对应的函数表达式是 y＝0.5x＋1 .
思考：一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？
结论：（1）从“数”的方面看，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解；
（2）从“形”的方面看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解.
直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx＋b＝0的解是（ A ）
A.x＝2 B.x＝4 C.x＝8 D.x＝10
【针对训练】
已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是（ C ）
1.方程2x＋12＝0的解是直线y＝2x＋12（ C ）
A.与y轴交点的横坐标 B.与y轴交点的纵坐标
C.与x轴交点的横坐标 D.与x轴交点的纵坐标
2.一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为（ A ）
A.x＝－1 B.x＝2 C.x＝0 D.x＝3
第2题图 第3题图
3.小王开车从甲地到相距320km的乙地，已知油箱剩余油量y（L）与行驶里程x（km）满足一次函数关系，其图象如图所示，那么y与x的函数表达式为 y＝－x＋50（0≤x≤320） ，到达乙地时油箱剩余油量是 10 L.
4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在存钱罐内准备捐给希望工程，存钱罐内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
（1）求存钱罐内钱数y与存钱月数x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（2）按此规律，小明经过几个月才能存够120元？
解：（1）设函数表达式为y＝kx＋b，将（0，40），（8，200）代入可得b＝40，
8k＋b＝200.解得k＝20.故y与x之间的函数表达式为y＝20x＋40.
（2）令20x＋40＝120.解得x＝4.即小明经过4个月才能存够120元.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
一次函数的应用
