第4章 一次函数
4.4 一次函数的应用
第3课时 两个一次函数图象的应用
【素养目标】
1. 能根据问题及条件找出能反映实际问题的函数，培养合理决策和创新能力，感悟数学眼光在实际生活中的作用。（重点）
2. 能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展运算能力和推理应用意识， 体会数形结合思想。（难点）
3. 能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力，发展的数学思维。
【复习导入】
从图象中获取信息的方法：
1. 弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么，图象上最高点、最低点的意义。
2. 上升线表示函数值随自变量的增大而_____；下降线表示函数值随自变量的增大而_____；水平线表示函数值不随自变量的变化而变化
3. 直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢
特别提醒：一次函数图象是直线，自变量有取值范围时就变成线段或射线；k 相同则两直线_______.
【合作探究】
探究点一： 两个一次函数的应用
引例： 如图， 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系。
根据图象填空：
【合作探究】
(1) 当销售量为 时，
销售收入= _______ 元，销售成本= _______ 元；
(2) 当销售量为 时，
销售收入= _______元，销售成本= _______ 元；
(3)当销售量等于________时，销售收入等于销售成本； 直线与直线的交点。
(4)当销售量_______时， 该公司盈利(收入大于成本)；直线在直线上方的部分。
当销售量 _______ 时， 该公司亏损(收入小于成本)；直线在直线下方的部分。
(5) 对应的函数表达式是 ____________.
对应的函数表达式是 _____________ .
(6) 当销售量等于__________时，该公司赢利 .
【思考】 对应的一次函数 中， 和 的实际意义各是什么？ 对应的一次函数 中， 和 的实际意义各是什么？
【总结】
1. 如图，两直线的交点 ，交点的意义是当 时， y1 ____ y2 ____ y0；
2. 在交点 的右边 (即当 ), 的图象比 的高 (即y1 ____y2 )；
3. 在交点 的左边 (即当 ), 的图象比 的低 (即y1 ____ y2).
例1 下图是某景区游览路线示意图。 甲在观景台1 联系乙， 发现乙在观景台2, 于是沿着游览路线追赶乙。 图中 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程
(单位： )与追赶时间 (单位： )之间的关系。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
(1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
(2) 甲和乙哪个人的速度快？
(3) 内甲能否追上乙？
(4) 到达观景台3后道路分岔， 甲能否在到达观景台3前追上乙？
(5) 设 与 对应的两个一次函数分别为 与
的实际意义各是什么？ 甲、乙两人的速度各是多少？
你能用其他方法解决例3 (1)~(5)吗？
方法二： 依据“速度 路程 时间”
方法三：
求出 和 对应的函数表达式，再依据实际意义解决。
探究点二：利用两个一次函数解决几何问题
【合作探究】如图所示，已知一次函数 和 的图象都经过点 , 且与 轴分别交于 两点， 求 的面积。
例2 如图，已知直线 的解析式为 ，直线 的解析式为：
与 轴交于点与轴交于点 与交于点 . ① 求 的值；
② 求三角形 的面积。
当堂反馈
1. 在弹性限度内，甲、乙两弹簧的长度 与所挂物体质量 之间的函数关系式分别是 ，图象如图所示。 当所挂物体质量均为 时，甲、乙两弹簧的长度 与 的大小关系为( )
A. B. C. D. 不能确定
第1题图 第2题图
2. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( ) A. 乙前4s行驶的路程为
B. 在 0 到 8 s 内甲的速度每秒增加
C. 两车到第 时行驶的路程相等
D. 在 4 至 8 s 内甲的速度都大于乙的速度
3. 如图， 分别表示某工厂甲、 乙两车间的产量 与所用时间 (天)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
(1) 乙车间生产200 t时，甲车间生产了_____ ；
(2) 甲车间每天生产_________t，乙车间每天生产_________t；
(3) 乙车间从开始生产到第几天结束时，两车间的总产量相同？
4. 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程中路程 与时间 的函数图象。 甲、乙两地间的距离是 . 请你根据图象回答下面的问题：
(1) 谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多少时间？
(2) 两人在途中行驶的速度分别是多少？
(3) 请你分别求出自行车和摩托车行驶过程中 与 的函数表达式 (不要求写出自变量的取值范围)。
参考答案
复习导入
2. 增大 减小 3. 平行
探究点一： 两个一次函数的应用
引例： 【合作探究】
(1) 2000 元 , 3000元； (2) 6000 元 , 5000元；
(3) , (4) ； 时。
(5) 的关系式 . 对应的函数表达式是 .
(6) 6 利润 = 销售收入-销售成本由于盈利1000元，则
解得 .
【思考】 表示每销售 1 吨产品，可收入 1000 元；
表示未销售时，销售收入为 0 元； 表示每销售 1 吨产品的成本为 500 元；
表示未销售时，为销售所花的成本为2000元；
例1 解：(1) 当 时， 甲到观景台1的路程为 , 即 ,
故 表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系。
(2) 从 0 增加到 20 时， 上点的纵坐标增加了1000 , 上点的纵坐标增加了 600 , 即 内，甲行走了1000 m, 乙行走了 , 所以甲的速度快。
(3) 如图，延长 ，可以看出，当 时， 上的对应点在 上对应点的下方，这表明， 30 min 时甲尚未追上乙。
(4) 在图中， 与 交点 的纵坐标小于 , 这说明，甲能在到达观景台3 前追上乙。
(5) 表示甲的速度， 表示乙的速度。 甲的速度是 , 乙的速度是 .
方法二： 依据“速度 路程 时间”， 求出甲的速度是 , 乙的速度是 . 即可依据行程问题解决。
方法三： 求出 和 对应的函数表达式 ,
再依据实际意义解决。
【合作探究】解： 一次函数 和 的图象交于点 ,
.
解得 . .
两点在 轴上， 当 时， .则 B(0，6)，C(0，-2).
∴ S△ABC =1/2×(6 + 2)×4 = 16.
例2 解： ① 与 交于点 , ,
解得 .
②。由 ① 得， , .当 时， ,
解得 ，则 ，当 时， ，解得 ，则 .
的面积： .
当堂反馈
1. A 2. C
3. (1) ; ( 2 ) 10 t , 20 t;
(3) 解：乙车间从开始生产到第20天结束时， 两车间的总产量相同。
4. 解：(1)由图可以看出：骑自行车者出发较早，早3 h；
骑摩托车者到达乙地较早，早 .
(2)骑自行车者的速度是 ；
骑摩托车者的速度是 。
(3)自行车行驶过程中的函数表达式为 ,
摩托车行驶过程中的函数表达式为 .4.4 一次函数的应用
第3课时 两个一次函数图象的应用
1.能根据问题及条件找出能反映实际问题的函数，培养学生的合理决策和创新能力，感悟数学眼光在实际生活中的作用.
2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展运算能力和推理应用意识，体会数形结合思想.
3.能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力，发展学生的数学思维.
重点：掌握两个一次函数图象的应用.
难点：能利用函数图象解决实际问题.
知识链接
上节课我们学习了一个一次函数的应用，会用一次函数图象解决一些简单的实际问题，同学们还记的吗？
创设情境——见配套课件
在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示.请你根据图象所提供的信息回答下列问题：甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 30 cm、 25 cm，从点燃到燃尽所用的时间分别是 2 h、 2.5 h.
你会解答上面的问题吗？学完本节知识，相信你能很快得出答案.
探究点一：利用两个一次函数解决实际生活中的问题
如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2t时，销售收入为 2000 元，销售成本为 3000 元；
（2）当销售量为6t时，销售收入为 6000 元，销售成本为 5000 元；
（3）当销售量为 4t 时，销售收入等于销售成本；
（4）当销售量 大于4t 时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量 小于4t 时，该公司亏损（收入小于成本）；
（5）l1对应的函数表达式是 y＝1000x ；l2对应的函数表达式是 y＝500x＋2000 .
思考：l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？
总结：先根据图象确定一次函数的表达式，然后结合方程思想解题.
甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（m）与无人机上升的时间x（s）之间的关系如图所示.下列说法正确的是（ B ）
A.5s时，两架无人机都上升了40m
B.10s时，两架无人机的高度差为20m
C.乙无人机上升的速度为8m/s
D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【针对训练】
某快递公司每天上午的9：00－10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（min）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快件数量相同时，此刻的时间为（ B ）
A.9：15 B.9：20 C.9：25 D.9：30
探究点二：利用两个一次函数解决几何问题
如图，已知一次函数y＝x＋a和y＝－x＋b的图象都经过点A（－4，0），且与y轴分别交于B，C两点，求△ABC的面积.
解：因为y＝x＋a与y＝－x＋b的图象都过点A（－4，0），所以×（－4）＋a＝0，－×（－4）＋b＝0.所以a＝6，b＝－2.所以两条直线对应的函数表达式分别为y＝x＋6，y＝－x－2.所以点B的坐标为（0，6），点C 的坐标为 （0，－2）.所以S△ABC＝AO·BC＝×4×[6－（－2）]＝16.
思考：求面积还需要知道哪些条件？怎么利用两个一次函数的表达式求出B，C的坐标？
总结：解此类题要先求得三角形顶点的坐标，即两个一次函数图象的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标.
如图，已知直线l1的解析式为y1＝－x＋b，直线l2的解析式为y2＝kx＋4，l1与x轴交于点C，l2与x轴交于点B，l1与l2交于点A（－1，2）.
（1）求k，b的值；（2）求△ABC的面积.
解：（1）因为l1与l2交于点A（－1，2），所以2＝－k＋4，2＝1＋b.解得k＝2，b＝1.
（2）当y＝0时，2x＋4＝0.解得x＝－2.则B（－2，0）.当y＝0时，－x＋1＝0.解得x＝1，则C（1，0）.故S△ABC＝×（2＋1）×2＝3.
【针对练习】
已知直线l1：y1＝2x＋4与y轴交于点A，并与直线l2：y2＝－2x＋b相交于点B（1，6）.
（1）求直线l2的解析式；
（2）直线l2与x轴交于点C，求四边形OABC的面积.
解：（1）因为点B（1，6）在直线l2：y2＝－2x＋b上，所以－2＋b＝6，解得b＝8.所以直线l2的解析式为y2＝－2x＋8.
（2）设直线l1与x轴交于点D，因为0＝2x＋4，解得x＝－2.所以D（－2，0）.因为点A是直线l1：y1＝2x＋4的图象与y轴的交点，所以点A（0，4）.因为直线l2：y2＝－2x＋8与x轴交于点C，所以C（4，0）.所以S四边形OABC＝S△DBC－S△OAD＝×（2＋4）×6－×2×4＝14.
1.已知在弹性限度内，甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，图象如图所示.当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为（ A ）
A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.不能确定
第1题图 第2题图
2.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ C ）
A.乙前4s行驶的路程为48m
B.在0到8s内甲的速度每秒增加4m/s
C.两车到第3s时行驶的路程相等
D.在4至8s内甲的速度都大于乙的速度
3.如图，l1，l2分别表示某工厂甲、乙两车间的总产量y（t）与所用时间x（天）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：
（1）乙车间生产200t时，甲车间生产了 400 t；
（2）甲车间每天生产 10 t，乙车间每天生产 20 t；
（3）第几天结束时，两车间的总产量相同？
解：（3）第20天结束时，两车间的总产量相同.
4.周末，张华和李明相约去公园运动，张华家、李明家及公园大门顺次在一条直线上，两人分别同时从家骑自行车出发，均保持匀速骑行.如图，l1，l2分别表示李明、张华两人离张华家的距离s（m）与两人的骑行时间t（min）之间的关系.
（1）张华家和李明家之间的距离为800m，李明每分钟骑行100m；
（2）出发几分钟后，张华超过李明？
解：张华骑行的速度为400÷2＝200（m/min），当张华追上李明时，得200t＝800＋100t，解得t＝8.
答：出发8min后，张华超过李明.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
两个一次函数的应用
