1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1.通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
2.掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养学生运算能力和数学的语言表达能力，让学生欣赏数学语言的优美与简洁.
重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
难点：勾股定理的探索与推理.
知识链接
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗？
创设情境——见配套课件
探究点一：勾股定理的初步认识
活动1：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形.
问题1：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：分别以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积.
思考：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
活动2：（1）观察下面两幅图，图中正方形网格中每个小正方形边长都是1.
（2）填表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
左图 4 9 13
右图 16 9 25
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：
结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
要点归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
几何语言描述：在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2.
探究点二：勾股定理的简单应用
问题2：利用前面学过的勾股定理，同桌互相讨论：
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
学生讨论完成后，由学生总结发言，教师点评并板书规范地解答过程.
解：由勾股定理，可得AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，即AB＝10.
答：需要10m的钢索.
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
解：左边位置正方形的面积为325，右边x＝8.
如图，长13m的梯子AC靠在墙上，梯子的底部C离墙角B的距离BC为5m（AB⊥BC），求梯子的顶端A离地面BC的距离AB.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
所以AB2＋52＝132，解得AB＝12（m）.
答：梯子的顶端A离地面BC的距离AB为12m.
1.在△ABC中，∠B＝90°.若BC＝9，AB＝40，则AC的长为（ D ）
A.50 B.43 C.42 D.41
2.如图，已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，∠C＝90°.
（1）若a＝8，b＝6，则c＝ 10 ；（2）若c＝13，b＝5，则a＝ 12 .
第2题图 第3题图 第4题图
3.[教材变式]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝ 2 .
4.如图，某农户准备建一个蔬菜大棚，棚宽6m，高8m，长30m，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为 300 m2.
5.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.
（1）求BC的长；
（2）[方程思想]求AD的长.
解：（1）在Rt△BDC中，BC2＝BD2＋CD2＝32＋42＝25，所以BC＝5 cm.
（2）设AD＝ x cm，则AB＝AC＝（x＋3）cm.
因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°.
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得x2＋42＝（x＋3）2，
解得x＝，即AD的长为 cm.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
认识勾股定理第1章 勾股定理
1.1 认识勾股定理
【素养目标】
1. 通过古代数学文化的简述, 了解我国古代在勾股定理研究方面的成就.
2. 掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题,培养运算能力和数学的语言表达能力,欣赏数学语言的优美与简洁. (重点)
3. 勾股定理的探索与推理. (难点)
【情境导入】
观看配套课件毕达哥拉斯树动图，图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一, 但形状一致, 结构奇巧. 你能说说其中的奥秘吗
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话,商高对周公姬旦说:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五”. 在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为 “股” ,斜边称为 按照商高的说法,如果勾十股长为四, 弦长必定是五. “你知道为为什么吗
【合作探究】
探究点一、勾股定理的初步认识
我们一起穿越回到 2500 年前, 跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面 (如图): 观察右边地面的图形,猜想毕达哥拉斯发现了什么
问题1 图中正方形 、 、 的面积之间有何关系吗？
问题2 在网格中一般的直角三角形, 以它的三边为边长的三个正方形 、 、 是否也有类似的面积关系 观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 ):
这两幅图中 , 的面积都好求, 该怎样求 的面积呢？
方法一:割分割为四个直角三角形和一个小正方形.
方法二: 补补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
方法三:拼将几个小块拼成若干个小正方形,图中两块红色 (或绿色) 可拼成一个小正方形.
根据前面求出的 的面积直接填出下表:
的面积 的面积 的面积
左图
右图
结论:_________________________________________________.
问题3 正方形 、、所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 .
几何语言描述:
在Rt 中, ,
公式变形:
( 为正数)
探究点二: 勾股定理的简单应用
如图,从电线杆离地面 处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部,那么需要多长的钢索
例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
例2 如图,长 的梯子 靠在墙上,梯子的底部 离墙角 的距离 为 ,求梯子的顶端 离地面 的距离 .
练一练 1.已知 . 求的长.
当堂反馈
1. 在 中, . 若 , 则 的长为 ( )
A. 50 B. 43 C. 42 D. 41
2. 如图,已知Rt 的三边分别为 , , , .
(1)若 , ,则 _______；
(2)若 ,则 _______.
第2题图 第3题图 第4题图
3. [教材变式]如图,在 中, , 分别以 为边向外作正方形,面积分别记为 . 若 ,则 _______.
4. 如图,某农户准备建一个蔬菜大棚,棚宽6m, 高8m,长30m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,则阳光透过的最大面积为_____ .
5. 如图,等腰三角形 中, , ,且 ,
. ( 1 )求 的长；( 2 ) [方程思想] 求 的长.
参考答案
探究点一:勾股定理的初步认识
问题1 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和,等于以斜边为边的正方形的面积.
根据前面求出的 的面积直接填出下表:
的面积 的面积 的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
探究点二: 勾股定理的简单应用
解: 由勾股定理可得
即 .答: 需要 的钢索.
例1解: (1) 正方形的面积为 325 .(2) .
例2 解: 在Rt 中,由勾股定理得, ,
所以 ,解得 . 答: 梯子的顶端 离地面 的距离 为 .
练一练 1.解: 由勾股定理可得 即 .
根据三角形面积公式,得 . .
当堂反馈 1. ( D )
2. (1) ； (2) 12 . 3. 2 4. 300.
5. 解:(1)在Rt 中, ,
.
( 2 ) 解:(2)设 , 则 . , .在Rt 中,根据勾股定理得 , 解得 , 即 的长为 .
