1.1 探索勾股定理
第2课时 验证勾股定理
1.经历画图实验引发探索，以及利用拼图验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力.
2.掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
重点：利用勾股定理解决简单的实际问题.
难点：经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.
知识链接
回顾一下，上一节课我们学过的勾股定理的内容是什么？
上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？
创设情境——见配套课件
探究点一：勾股定理的验证
活动1：小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以直角三角形斜边为边长的正方形（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论）.
思考：你有几种不同的拼图方法？你能表示大正方形的面积吗？
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
思考：你还有其他的证明方法吗？阅读教材P4－7，课件展示“勾股圆方图”和“青朱出入图”.了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，体验中国古代数学文化对世界数学文化的伟大贡献.
作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形.
试说明：a2＋b2＝c2.
解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.
解：由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，所以它们的面积相等.左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋ab×4.因为a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4，所以a2＋b2＝c2.
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理.
探究点二：勾股定理的简单运用
活动2：分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长4m，宽2.4m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52.所以AC＝2.5m.
因为AC大于木板的宽2.4m，所以木板能从门框内通过.
教材P5例题，课件出示，学生独立思考，老师总结.
1.如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长为20m，BC长为16m，则A点和B点之间的距离为（ B ）
A.25m B.12m C.13m D.14m
第1题图 第3题图
2.两只小鼹鼠在地下同一处打洞，一只朝下挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，则10 min后两只小鼹鼠相距（ B ）
A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm
3.如图，小明在荡秋千时发现当秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.5m，当秋千荡到AC位置时，下端C距静止时的水平距离CD为4m，距地面2.5m，则秋千AB的长为 5 m.
4.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理.若已知直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，图①、图②的面积相等，请你根据下面两个图来验证勾股定理.
解：图①的面积为S1＝ab×3＋a2＋b2，
图②的面积为S2＝ab×3＋c2.
因为图①、图②的面积相等，
所以ab×3＋a2＋b2＝ab×3＋c2.
所以a2＋b2＝c2.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
验证勾股定理
第1章 勾股定理
1.1 认识勾股定理
第2课时 验证勾股定理
【素养目标】
1. 经历画图实验引发探索,以及利用拼图验证勾股定理的过程, 体会数形结合的思想, 发展合情推理的能力. (难点)
2. 掌握勾股定理的简单应用, 培养数学语言表达能力, 发展学生分析问题、解决实际问题的能力. (重、难点)
【情境导入】
问题: 上节课我们认识了勾股定理, 你还记得它的内容吗 那么如何验证勾股定理呢 若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗
【合作探究】
探究点一: 勾股定理的验证
【活动1】
1. 准备四个全等的直角三角形(设直角边分别为 , 斜边为 ).
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗 小组合作试一试吧!
证明:
方法一: 毕达哥拉斯证法
方法二:赵爽弦图
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积证明了这一命题,表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的骄傲！因此,这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”
其他方法： 欧几里得法 刘徽证法
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形,那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 说说你的判断和理由, 并与同伴进行交流.
①在钝角三角形中,三边长分别为 , 其中 为最大边长, 则 _________________ ；
②在锐角三角形中, 三边长分别为 , 其中 为最大边长, 则 _________________ .
探究点二: 勾股定理的简单运用
【活动2】分小组讨论:一个门框的尺寸如图所示,一块长 ,宽 2.4 的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
例1 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 ；过了 ,测得汽车与他相距 . 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？
练一练1.如图,学校教学楼前有一块长为 4 米,宽为 3 米的长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“径路”,却踩伤了花草.
(1)求这条“径路”的长；
(2)他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？
当堂反馈
1. 如图,为了测得湖两岸 点和 点之间的距离, 一个观测者在 点设桩,使 ,并测得 长为 长为 ,则 点和 点之间的距离为( )
A. B. C. D.
2. 两只小鼹鼠在地下同一处打洞,一只朝下挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,则 10min后两只小鼹鼠相距( )
A. B. C. D.
第1题图 第3题图
3. 如图,小明在荡秋千时发现当秋千 在静止位置时,下端 离地面 ,当秋千荡到 位置时,下端 距静止时的水平距离为 ,距地面 2. ,则秋千 的长为_________m.
4. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称之为 “无字证明”,它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理. 若已知直角三角形两直角边长分别为 ,斜边长为 ,图①、图②的面积相等,请你根据下面两个图来验证勾股定理.
图① 图②
参考答案
探究点一: 勾股定理的验证
证明:方法一、毕达哥拉斯证法
所以 ,所以 .
方法二:赵爽弦图
证明: 因为 ,所以
证法三 证明: ,
① ； ② .
探究点二: 勾股定理的简单运用
活动2、解: 连接 ,在 Rt 中,根据勾股定理,
.所以 .
因为大于木板的宽2.4m,所以木板能从门框内通过.
例1 解: 根据题意,可以画出图,其中点 表示王叔叔所在位置,点 、点 表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路 ,因此是直角. 由勾股定理,可得 ,也就是 ,所以 .
蓝方汽车 行驶了 , 那么它 行驶的距离为 , 即蓝方汽车这 的平均速度为 .
练一练 1. 解:(1) 在Rt 中, 根据勾股定理得 , (米)
这条“径路”的长为 5 米. (2) 他们仅仅少走了 (步).
1. B 2. B 3. 5
4. 解: 图①的面积为 ,
图②的面积为 . 图①、图②的面积相等,
. .
