1.2 一定是直角三角形吗
1.能够灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题，培养学生的综合应用能力，发展数学语言表达能力.
2.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，发展合情推理能力.
3.理解勾股数的定义，探索常用勾股数的规律.
重点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
知识链接
同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你知道为什么吗？
创设情境——见配套课件
探究点：利用三边数量关系判定直角三角形
活动1：做一做
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果.
（1）让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3cm，7cm，12cm处做标记，得到长度分别为3cm，4cm，5cm的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
答：是直角三角形.
（2）类似（1）的操作，以2.5 cm，6cm，6.5 cm和4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形.
答：是直角三角形.
活动2：画一画
下面四组数分别是一个三角形的三边a，b，c的长：
（1）5，12，13；（2）7，24，25；
（3）8，15，17；（4）5，6，7.
问题：这四组数都满足a2＋b2＝c2吗？分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？（学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.）
分析：（1）52＋122＝169＝132；（2）72＋242＝625＝252；
（3）82＋152＝289＝172；（4）52＋62＝61≠72.
这四组数，前三组满足a2＋b2＝c2，而最后一组不满足.
学生们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2＋b2＝c2，作出的三角形都是直角三角形；而最后一组数不满足a2＋b2＝c2，作出的三角形不是直角三角形.
要点归纳：
判定直角三角形的条件：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④8，15，17；⑤9，12，15；⑥9，40，41.
完成教材P10例题，课件出示，学生独立思考，老师总结.
分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.
（1）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；
（2）在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；
（3）△ABC的三边长a，b，c满足（a＋b）（a－b）＝c2.
解析：（1）已知两角可以求出另外一个角；（2）使用勾股定理的逆定理验证；（3）将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.
解：（1）在△ABC中，因为∠A＝20°，∠B＝70°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
即△ABC是直角三角形.
（2）因为AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，所以AC2＋AB2＝BC2.
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形.
（3）因为（a＋b）（a－b）＝c2，所以a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形.
方法总结：在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和.
1.以下列长度的三条线段为边，能围成一个直角三角形的是（ C ）
A.4，3，6 B.5，6，12
C.6，8，10 D.7，20，25
2.若某三角形的三边长为a，b，c，且满足（a＋b）（a－b）＝c2，则下列说法正确的是（ A ）
A.边a所对的角是直角
B.边b所对的角是直角
C.边c所对的角是直角
D.此三角形不是直角三角形
3.[教材变式]如图，在正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的三条线段是（ B ）
A.CD，EF，GH
B.AB，EF，GH
C.AB，CD，EF
D.GH，AB，CD
4.给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24.以每组数据为三边长，可构成三角形的有 ①③④⑥⑦ ，可构成直角三角形的有 ①④⑥⑦ .（填写序号）
5.如图，已知△ABC的三条边AC＝20cm，BC＝15cm，AB＝25cm，过点C作CD⊥AB，则CD＝ 12 cm.
6.如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.试说明：AC⊥CD.
解：在△ABC中，因为AB⊥BC，
所以根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，
所以AC2＋CD2＝AD2.
所以△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD＝90°.
所以AC⊥CD.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
一定是直角三角形吗
第1章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
【素养目标】
1. 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形,发展合情推理能力.(重点)
2. 能够灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题,培养学生的综合应用能力,发展数学语言表达能力. (难点)
3. 理解勾股数的定义, 探索常用勾股数的规律.
【复习导入】
思考: 如何判定一个三角形是直角三角形
除了根据角的关系判定,还能根据其他的关系判定吗 同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？（观看同步教学课件视频）
【合作探究】
探究点: 利用三边数量关系判定直角三角形
【活动1】:做一做，类似古埃及人画直角的故事,我们准备三根绳子来模仿操作,看看能否得到和古埃及人相同的结果.
(1)让一根绳子的一端与 0 刻度线重合,分别在 , , 处做标记,得到长度分别为 , , 的三段,然后以这三段为边围成一个三角形,量量看是不是直角三角形.
(2)类似(1)的操作,以 , , 和 , , 的三段为边分别围成一个三角形, 量量看是不是直角三角形.
【活动2】:画一画，下面有四组数,分别是一个三角形的三边长 :
① 5,12,13； ② 7, 24, 25; ③ 8,15,17 ④ 5,6,7
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形, 用量角器量一量,它们都是直角三角形吗
问题2 哪几组数在数量关系上有什么相同点
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 满足
那么这个三角形是直角三角形.
特别说明:
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理, 即已知三角形的三边长, 且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判定此三角形为直角三角形,最长边所对的角为直角.
勾股数
如果三角形的三边长 满足 ,那么这个三角形是直角三角形.满足 的三个正整数,称为勾股数.
常见勾股数: 8, 15, 17; 9, 40, 41;
10, 24, 26 等等.
勾股数拓展性质:
一组勾股数,都乘相同倍数 为正整数),得到一组新数, 这组数同样是勾股数. 如将 3, 4, 5 都乘 2 和 3, 得到的 6, 8, 10 和 9, 12, 15 也是勾股数.
例1.一个零件的形状如图 1 所示, 按规定这个零件中 和 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示, 这个零件符合要求吗
例2 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.
(1) 在 中, ；
(2) 在 中, ；
(3) 的三边长 满足 .
例3 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6,8,10 B.7,8,9 C. 0.3,0.4,0.5 D.
当堂反馈
1. 以下列长度的三条线段为边,能围成一个直角三角形的是( )
A. 4,3,6 B. 5,6,12 C. 6,8,10 D. 7,20,25
2. 若某三角形的三边长为 ,且满足 ,则下列说法正确的是( )
A. 边 所对的角是直角 B. 边 所对的角是直角
C. 边 所对的角是直角 D. 此三角形不是直角三角形
3. [教材变式]如图,在正方形组成的网格图中标有 的四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的三条线段是( )
A. CD, EF, GH B. AB, EF, GH
C. AB, CD, EF D.
4. 给出下列几组数据:① 3, 4, 5; ② 1, 3, 4; ③ 4, 4, 6; ④ 6, 8, 10; ⑤ 5, 7, 2; ⑥ 13, 5, 12; ⑦ 7, 25, 24. 以每组数据为三边长,可构成三角形的有___________,可构成直角三角形的有____________.(填写序号)
5.如图,已知 的三条边 , , ,过点 作 , 则 .
6. 如图,在四边形 中, , ,且 . 试说明: .
参考答案
复习导入
思考:如果 ,那么 就是一个直角三角形, 为直角.
即有如下的直角三角形的判定方法: 两个角互余的三角形是直角三角形.
探究点: 利用三边数量关系判定直角三角形
【活动1】:做一做 (1) 答: 是直角三角形.(2) 答: 是直角三角形.
新知探究 探究点: 利用三边数量关系判定直角三角形
【活动2】:画一画 ①②③是,④不是
问题2 ① 5,12,13满足 ,② 7,24,25满足 ,
③ 8,15,17满足 .
例1 解: 在 中, ,
所以 是直角三角形, 是直角.在 中,
,所以 是直角三角形, 是直角.因此,这个零件符合要求.
例2解:(1) 在 中, , , 即 是直角三角形.
(2) , , .
根据勾股定理的逆定理可知, 是直角三角形.
(3) , , 即 .
例3 A 方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数, 先排除小数,再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
当堂反馈
1. C 2. A 3.B
4. ①③④⑥⑦ , ①④⑥⑦ . 5. .
6. 解: 在 中, ,
根据勾股定理得 = .
在 中, , .
是以 为斜边的直角三角形, .
