1.3 勾股定理的应用
1.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题的能力.
重点：能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.
知识链接
回顾前面学过的内容，回答问题：
1.勾股定理的内容是什么？直角三角形→a2＋b2＝c2.
2.勾股定理的逆定理是什么？a2＋b2＝c2→直角三角形.
创设情境——见配套课件
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
活动1：动手折一折
用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.
如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，你能求出CD的长吗？
问：（1）本题已知什么？求的是什么？
（2）本题将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，可得到什么？依据是什么？
（3）观察CD在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边长吗？
分析：
1.标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2.折叠后出现的相等的线段有哪些？
3.将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来.
4.利用勾股定理，列方程，解方程，得解.
解：设CD＝x cm，则DB＝（10－x）cm.
由题意，根据折叠的性质，可得AD＝BD＝（10－x）cm，且AC＝5cm.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即（10－x）2＝52＋x2.
解得x＝ .所以CD＝ cm.
问题1：阅读教材P13，利用以上探究过程中的方程思想，解决尝试·思考问题.
如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？
解：因为点E是边AD的中点，所以DE＝AD＝4cm.
设DF＝xcm，则CF＝EF＝（8－x）cm.
在Rt△DEF中，DE2＋DF2＝EF2，
则42＋x2＝（8－x）2.解得x＝3.
所以DF的长为3cm.
问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？
要点归纳：利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：①标已知，设未知；②利用折叠，找相等；③利用勾股定理，列方程；④解方程，得解.
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
活动2：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度.
借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度.以下是小丽设计的测量方案：
项目背景 测量实物图： 如图①，小丽制定了如下测量方案，并进行实地测量.
项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图②，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE.用皮尺测出NE的长度. 步骤二：如图③，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处.用皮尺测出点A与点B之间的距离.
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出部分的长度 0.5m
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 7m
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题.
问题：（1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系.
AM＝MN＋0.5.
（2）根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高度.
解：如图，过A作AC⊥MN于C，则AB＝CN，AC＝BN.根据题意，得AB＝CN＝1.5m，AC＝BN＝7m，AM＝MN＋0.5，所以CM＝MN－CN＝MN－1.5.因为AM2＝AC2＋CM2，所以（MN＋0.5）2＝72＋（MN－1.5）2.解得MN＝12.75m.
答：学校旗杆MN的高度为12.75m.
要点归纳：在运用勾股定理解决实际应用问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，应用方程思想解答实际问题.
教材P13例题，课件出示，学生独立思考，老师总结.
如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A，C两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
解：如图，过点B作BE∥AD，所以∠DAB＝∠ABE＝53°.因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，所以∠CBA＝90°.所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002.所以AC＝500m，即A，C两点间的距离为500m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
1.强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ D ）
A.12m B.13m
C.17m D.18m
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径是（ D ）
A.9cm B .8cm C.7cm D.6cm
3.如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是 64 cm2.
4.如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆线（按线段计算），则至少需要光缆线 10 m.
第4题图 第5题图
5.如图，这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣架，其中腰长为26cm，底边上的高为10cm，则底边BC的长为 48 cm.
6.[方程思想]图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺.求AC的长.
解：设AC的长为x尺，则AB'＝AB＝（x＋0.5）尺.
在Rt△AB'C中，由勾股定理得AC2＋B'C2＝AB'2，
即x2＋22＝（x＋0.5）2，解得x＝3.75.故AC的长为3.75尺.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
勾股定理的应用
第1章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
【素养目标】
1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系,发展抽象能力,培养用数学眼光观察世界的习惯.
2. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题,培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.(重点)
3. 能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.(难点)
【复习导入】
回顾前面学过的内容,回答问题:
1. 勾股定理的内容是什么
2. 勾股定理的逆定理是什么
【合作探究】
探究点一:勾股定理与其他几何知识的综合运用
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边 和边 是否分别垂直于底边 .
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗
(2)李叔叔测得边 长 ,边 长 , 点 之间的距离是 . 边 垂直于边 吗？
(3)如果李叔叔随身只带了一个长 度为 的刻度尺,那么他能检验边 是否垂直于边 吗
【活动1】:动手折一折
用一张直角三角形纸片折叠,你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗 说明理由.如图,一张直角三角形纸片,两直角边 , ,将 折叠,使得 与 重合,折痕为 ,你能求出 的长吗
分析:(1) 本题已知什么 求的是什么
(2)本题将 折叠,使得与 重合,
折痕为 ,可得到什么 依据是什么
(3)观察 在哪一个三角形中？ 你能表示出这个三角形的每一条边吗 你能求出 的长吗
如图,正方形纸片 的边长为 ,点 是边 的中点,将这个正方形纸片翻折,使点 落到点 处,折痕交边 于点 ,交边 于点 .你能求出 的长吗
问题2: 试一试, 你能利用以下折叠图形, 借助勾股定理,设计一个有关折叠的计算问题么
【练一练】1. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边 ,将 折叠,使点 与点 重合,折痕为 ,则 的长为( )
A. B. C. D.
要点归纳:
利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤:
①标已知,设未知；②利用折叠,找相等；③利用勾股定理,列方程;④解方程, 得解.
【活动2】:小组合作,设计方案,测量学校旗杆的高度. 借助勾股定理,请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方
图2 图3
请根据表格所给信息, 完成下列问题.
问题: (1)直接写出线段 与 之间的数量关系.
(2)根据小丽的测量方案和数据,求出学校旗杆 的高.
例1 今有池方一丈, 葭生其中央, 出水一尺.引葭赴岸, 适与岸齐. 问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇, 它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
例2 如图,在一次夏令营活动中,小明从营地 出发, 沿北偏东 方向走了 到达点 ,然后再沿北偏西 37° 方向走了 到达目的地 . 求 两点之间的距离.
当堂反馈
1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆12m处,旗杆折断之前的高度是( )
A. B. C. D.
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图,某同学在做物理实验时,将一支细玻璃棒斜放入一只盛满水的烧杯中,已知烧杯高8cm,玻璃棒被水淹没部分长 ,则这只烧杯的底面直径是( )
A. 9cm B. 8cm C. D.
3. 如图,阴影部分是一个正方形,它的面积是 ______ cm2 .
4. 如图,要在两幢楼房的房顶 , 间拉一根光缆线(按线段计算),
则至少需要光缆线_____m.
第4题图 第5题图
5. 如图,这是可近似看作一个等腰三角形 的衣架,其中腰长为 ,底边上的高为 ,则底边 的长为_____ .
6. [方程思想]图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②所示,其中 , 于点 , 尺, 尺. 求 的长.
.
参考答案
情境导入
问题: 1. 直角三角形 2. 直角三角形
探究点一:勾股定理与其他几何知识的综合运用
(1)用卷尺分别测量 , 的长,若 ,则 ,
即 .
(2) , , ,
即 .所以边 垂直于边
(3)能检验. 在 上从 点量取 得点 ,在 上从 点量取 得点 .因为 ,用刻度尺测 长度,若 ,
根据勾股定理逆定理, ;若 ,则 不垂直 .
【活动1】(2)依据: 折叠的性质.
(3)解: 设 ,则 ,由题意, 根据折叠的性质,
可得 ,且 . 在Rt 中,
由勾股定理得, ,
解得 . 则 .
2.解: 点 是边 的中点, . 设 ,
则 ,在Rt 中, ,
则 ,解得 . 的长为 .
问题2: 合理即可，答案不唯一
【练一练】1. B
探究点二:勾股定理在实际生活中的应用
问题: (1)
(2)解: 过 作 于 ,则 ,
根据题意得, .
, ,
,
解得 ,答: 学校旗杆 的高 12.75 米.
例1 解: 设水池的水深 为 尺,则芦苇的长度 为 尺. 由于芦苇位于水池中央,所以 为 5 尺. 在Rt 中,由勾股定理,可得 即 . 解得 . (尺)
因此,水池的深度是 12 尺,芦苇的长度是 13 尺.
例2 解: 过点 作 . .
, .
. ,
即 、 两点间的距离为 .
当堂反馈
1. D 2. D 3. 64 4. 10 5.
6. 解: 设 的长为 尺,则 尺.
在 Rt 中,由勾股定理得 ,
即 ,解得 . 故 的长为3.75尺.
