☆ 问题解决策略：反思
1.理解将立体图形展开为平面图形的原理.
2.掌握利用展开图求解最短路径问题的方法.
3.引导学生经历从特殊到一般的探究过程，学会运用数学建模思想解决问题.
重点：掌握将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理求解最短路径问题.
难点：根据立体图形的特征，合理选择展开方式，构建正确的平面图形模型.
同学们，想象一只蚂蚁在长方体表面寻找最短路线！今天我们将化身“空间侦探”，通过展开立体图形破解这个几何谜题.把三维难题转化为二维平面问题，用“两点之间线段最短”的黄金法则，揭开立体世界隐藏的最短通路.准备好用智慧和空间想象力，开启这场妙趣横生的数学探险吧！
创设情境——见配套课件
探究点一：正方体中的最短路径问题
如图，有一个正方体形状的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，点A，B，C，D是正方形的四个顶点，桌高是h cm.
（1）一只蚂蚁要从正方形桌面ABCD的A点爬行到C点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由： 两点之间线段最短 ；
（2）另有一只蚂蚁要从桌子脚的P点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到C点，怎样爬行路线最短？请在图②中的横线上画出最短路线示意图.（画出一种即可）
解：（1）如图，连接AC，则AC为蚂蚁爬行的最短路线.
（2）如图，PC即为所求最短路线.（答案不唯一）
归纳总结：对于正方体的最短路径问题，先将正方体展开，找到两点在展开图中的位置，再利用勾股定理计算两点间的线段长度.
探究点二：长方体中的最短路径问题
如图，长方体的长为2cm，宽为5cm，高为3cm，已知点B与点C间的距离为2cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为 5 cm .
解析：如图①，因为AC2＝（2＋2）2＋32＝52，如图②，AC2＝（2＋3）2＋22＝29.
因为52＜29，所以需要爬行的最短距离为5cm，故答案为5cm.
归纳总结：长方体最短路径问题的解题关键：要全面考虑长方体的不同展开方式，通过计算比较得出最短路径.
探究点三：圆柱体中的最短路径问题
一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为7cm，底面半径为cm，那么蚂蚁爬行的最短路径AB的长为 25cm .
解析：如下图展开，连接AB，因为圆柱的底面半径为cm，所以AC＝×2·π·＝24（cm），
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋CB2＝576＋49＝625，则AB＝25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为25cm.故答案为25cm.
归纳总结：将圆柱侧面展开成长方形，利用勾股定理求展开图中两点间的线段长度.
1.如图，一只蚂蚁沿棱长为m的正方体侧面从顶点C爬到顶点B，现将正方体侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ A ）
2.如图，长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿长方体表面爬到C处去吃，有无数种走法，则它爬行的最短路程是（ B ）
A.15 B.25 C.35 D.45
解析：如图展开，连接EC，则线段EC的长就是小虫爬的最短路程，在Rt△EBC中，BE＝12＋8＝20，BC＝AB＝15，所以EC2＝202＋152＝252.所以小虫爬的最短路程EC＝25.故选B.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的侧面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ D ）
A.14cm B.15cm C.24cm D.25cm
解析：如下图展开，由题得AC＝24cm，CB'＝7cm，AB'2＝AC2＋CB'2＝242＋72＝252.所以它爬行的最短路程AB'＝25cm.故选D.
4.如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ A ）
A.25cm B.31cm C.24cm D.7cm
解析：已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为BC的长，所以AC＝4×6＝24（cm）.在直角三角形ABC中，BC2＝AB2＋AC2＝72＋242＝252.所以这圈金属丝的长度至少为25cm.故选A.
5.如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程为 30 dm.
解析：如图，因为它的每一级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，所以MN2＝242＋（3×6）2＝302.即蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，故答案为30.
6.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离.
解：如图是其侧面展开图：AD＝×π×＝20（m），AB＝CD＝20（m），DE＝CD－CE＝15（m），在Rt△ADE中，202＋152＝AE2，解得AE＝25（负值舍去），故他滑行的最短距离为25m.
问题解决策略
第1章 勾股定理
问题解决策略：反思
【素养目标】
1. 理解将立体图形展开为平面图形的原理,根据立体图形的特征,合理选择展开方式,构建正确的平面图形模型.(重、难点)
2. 掌握将立体图形展开成平面图形,利用“两点之间, 线段最短”原理求解最短路径问题.(重点)
3. 经历从特殊到一般的探究过程, 学会运用数学建模思想解决问题.
【情境导入】
问题情境:有一只蚂蚁要正方体形状的从桌子脚的 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 点,怎样爬行路线最短
【合作探究】
探究点一、正方体中的最短路径问题
例1 如图,有一个正方体形状的桌子,正方形是它朝上的桌面,点是正方形的四个顶点,桌高是 .
(1) 一只蚂蚁要从正方形桌面 的 点爬行到 点,请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线, 并说明理由:_____________________；
(2) 另有一只蚂蚁要从桌子脚的 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 点,怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.(画出一种即可)
探究点二、长方体的最短路径问题
问题: 看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿, 小明灵光乍现,又拿出了长方体形状的牛奶盒,把小蚂蚁放在了点 处,并在点 处滴了一滴蜂蜜,你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么
解: 由题意知有三种展开方法,
例2 如图,正方体的梭长为 ,已知点 与点 间的距离为 ,一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 爬到点 ,需要爬行的最短距离为__________.
探究点三、圆柱体中的最短路径问题
问题 如图,一个圆柱的高为 ,底面圆的周长为 . 在圆柱下底面的点 处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点 相对的点 处的食物,
那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
理解问题
(1)在这个问题中,已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？
(2)沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
拟定计划
(1)以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
实施计划
(1)如图,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状, 以及与圆柱的对应关系.
(2) 在图中标出点 的位置.
(3) 在图中确定 两点之间最短的路线, 并计算它的长度.
【练一练】1.一只蚂蚁从 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的 点处,如果圆柱高为 ,底面半径为 , 那么蚂蚁爬过的最短路径 的长为_____.
例3 有一个圆柱形油罐,要从 点环绕油罐建梯子, 正好建在点的正上方点 处,问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 ,高 是 ,取3)
【练一练】2. 当小蚂蚁爬到距离上底 的点 时,小明同学拿饮料瓶的手一抖, 一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 的点 处,小蚂蚁到达点 处的最短路程是多少 ( 取 3 )
当堂反馈
1. 如图,一只蚂蚁沿棱长为 的正方体侧面从顶点 爬到顶点 ,现将正方体侧面沿 剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是( )
2. 如图,长方体的长、宽、高分别是 12, 8, 30, 在 中点 处有一滴蜜糖,一只小虫从 处爬到 处去吃,有无数种走法,则它爬行的最短路程是( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图,圆柱的底面周长是 ,圆柱高为 , 一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 爬到与之相对的上底面点 ,那么它爬行的最短路程为 ( )
A. B. C. D.
4. 如图,一个底面为正六边形的直六棱柱,从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝,已知此六棱柱的高 为 ,底面边长为 ,则这圈金属丝的长度至少为( )
A. B. C. D.
5. 如图,学校实验楼前一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 、 、点 和点 是这个台阶上两个相对的端点,点有一只蚂蚁,想到点处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 .
6. 如图,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图,该 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是直径为 m 的半圆, 其边缘 ,点 在 上, ,一滑板爱好者从 点滑到 点,求他滑行的最短距离.
参考答案
探究点一:正方体中的最短路径问题
例1 (1)理由:两点之间线段最短；
(2)如图, 即为所求最短路线. (答案不唯一)
探究点二：长方体的最短路径问题
问题: 解: 由题意知有三种展开方法, 如图. 由勾股定理得
. 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 .
例2 解析: 如图①, .如图②, . , 需要爬行的最短距离为 .
探究点三、圆柱体中的最短路径问题
问题 (1)已知圆柱高 、底面圆周长 及 、 点位置. 条件够, 可确定展开图长和宽求最短路程.
(2)路线有无数条, 如螺旋上升.将侧面展开,根据 “两点之间线段最短”,连接展开图 、 的线段最短.
拟定计划
(1)以前研究平面最短路线,依据 “两点之间线段最短”而本题是在研究圆柱曲面.
(2)需将圆柱曲面展开成平面求解.把圆柱侧面沿母线剪开展开成长方形.
【练一练】1.解析: 连接 ,因为圆柱的底面半径为 ,所以 ,在Rt 中, , ,即蚂蚁爬行的最短路径长为 .
例3 解: 油罐的展开图如图,则 为梯子的最短长度. , 由勾股定理得 , 所以 ,即梯子最短约需 .
【练一练】1. 解: 如图,可知 为直角三角形,由勾股定理,得
当堂反馈
1. A 2. B 3. D 4. A
5.解析:如图所示,因为它的每一级的长、宽、高、分别为 , ,
,所以 (d m).即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路程是 .
6.解: 如图是其侧面展开图: ,
, 在 中, ,解得 (负值舍去),
故他滑行的最短距离约为 25(m)
