湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末自检数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·安化期末）设集合则( )
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·安化期末）已知，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·安化期末）设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·安化期末）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·安化期末）已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A． B．8 C．7 D．14
6．（2024高二下·安化期末）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（2024高二下·安化期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
8．（2024高二下·安化期末）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·安化期末）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
10．（2024高二下·安化期末）已知函数，则（ ）
A．
B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．有两个零点
11．（2024高二下·安化期末）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·安化期末）已知函数为奇函数，则的值为 .
13．（2024高二下·安化期末）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.
14．（2024高二下·安化期末）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·安化期末）记内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
16．（2024高二下·安化期末）如图，四棱锥的底面是圆柱底面圆的内接矩形，是圆柱的母线，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．（2024高二下·安化期末）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
（1）求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则，，.
18．（2024高二下·安化期末）已知椭圆及直线．
（1）若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
（2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
19．（2024高二下·安化期末）设函数．
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）证明：当时，；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意知，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数（a，），则，
由，可得，
整理可得，即，
则，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设复数（a，），求共轭复数，代入，利用复数相等求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用单位向量的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
5．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，即，
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，由求得，结合等比数列前项和公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：每位同学都有7种选择，利用分步计数原理求解即可.
7．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，，，且，
则交于同一点，
该“刍童”为四棱台，矩形的面积为，
矩形的面积为，且上下底面的高为3，
所以四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】先由四棱台的结构特征判断出该“刍童”为四棱台，再结合矩形的面积公式和四棱台的体积公式，从而得出此“刍童”的体积.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，设左焦点为，
圆：的圆心，半径，
由双曲线得定义可得：，即，
则，
当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】易知点的坐标，再求圆心坐标以及半径，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算即可.
9．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，A符合题意；
对B，二项式系数和为，B不符合题意；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，C符合题意；
对D，令，得所有项的系数和为，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式不存在常数项，再结合二项式的系数的性质和赋值法以及求和法得出说法正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
令，解得，
当或时，；当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，
则，，
所以函数只有一个零点，故B正确、D错误；
因为，
所以关于对称，故C正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数的四则运算法则得出导函数，则判断出选项A；先求导，再令，再利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，则可判断出选项B；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C；利用函数的零点求解方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，易证平面，平面平面，
且两平面间的距离为，的面积，
则三棱锥的体积，故A正确；
B、如图所示：
设的中心为，则，
，故B错误；
C、由上图可知，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半，故C正确；
D，，为在方向上的投影，由图①可知，
当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】点到平面的距离为，再通过三棱锥的体积公式计算即可判断A；设的中心为，则，通过勾股定理计算即可判断B；点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成并计算即可判断C；建立空间直角坐标系，当位于点或的位置时，最小，计算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：在函数中，，
则方程的根为，
由函数是奇函数，
得，
解得，
此时的定义域为，
因为，
则函数为奇函数，
所以的值为.
故答案为：.
【分析】先求出函数的定义域，再由奇函数的性质并验证，从而求出的值.
13．【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在中，，，
在中，，，
在中，，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
则，.
故答案为：.
【分析】设，利用三角函数分别表示，再分别在中利用余弦定理表示，由，可得，求h即可.
14．【答案】；6
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，如图所示：
则，
由双曲线的定义可得：，因为，
所以，，由勾股定理得，
即，则，
设内切圆与x轴相切于点，点横坐标为，
则，则，解得，
由内切圆圆心的横坐标为2，得，
故.
故答案为：，6.
【分析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，由已知条件结合双曲线定义求得关系，即可得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，再求的面积即可.
15．【答案】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
又因为，
所以，
又因为，
由正弦定理可得，
则，
所以为锐角，
又因为，
所以，
所以
，
所以．
（2）解：由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出角的值，再判断出角为锐角，再利用正弦函数的定义和同角三角函数基本关系式，从而求出、的值，再利用三角形内角和定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，从而求出的值，再利用正弦定理得出的值.
（2）依题意可得，将两边平方，再结合和数量积的运算律，从而求出、的值，再由三角形的面积公式可得的值.
（1）因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
（2）由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
16．【答案】（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，所以是直径，，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由题意平面，，
因为平面，平面，所以，所以两两互相垂直，
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设为平面的法向量，则，
令，可得，即，
设为平面的法向量，则，
令，可得，即，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
而平面，所以.
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，
所以是直径，从而，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由题意平面，，
注意到平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解： 随机抽查了100个购物群
即，解得
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：
（2）解：易知
则
故
则级群约有个
特级群约有个
则需要资金为元
即该脐橙基地大约需要准备95700元.
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征；正态密度曲线的特点；概率的应用；用频率估计概率
【解析】【分析】本题围绕统计与正态分布展开，综合考查频数计算，组中值估计总体平均，以及正态分布概率应用与统计决策.
(1)求m与平均销售额：利用频数之和等于样本总数求m，再通过组中值×频数的加权平均法，结合组中值估计总体平均，体现用样本估计总体思想
(2)正态分布与奖励计算：先确定正态分布参数，，依据正态分布对称性与原则，计算A级群，特规群的概率，结合总购物群数量估算两类群数量，进而计算奖励总金额，体现正态分布概率应用与统计决策的结合.
（1）由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
（2）由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18．【答案】（1）解： 若直线与椭圆没有公共点，
联立
整理得
则
解得或，
故实数t的取值范围为
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，将直线平移，使直线与椭圆相切时两直线间的距离为点到直线的距离
由(1)中，，
解得或
则直线或直线与椭圆相切
当与之间的距离为时，可得，解得
当与之间的距离为时，可得，解得
综上可得，直线的方程为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离；与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)直线与椭圆无公共点：联立直线与椭圆方程，转化为一元二次方程，利用无公共点方程无实根判别式"的逻辑，通过解不等式确定参数t的范围。
(2)点到直线距离最大值：利用平行直线间距离与直线和椭圆相切的性质，先找与已知直线平行且与椭圆相切的直线(联立方程，判别式确定切线)，再依据点到直线的最大距离等于平行线间距离，结合距离公式列方程求解直线参数，体现几何直观(距离最值)与代数运算(方程求解)的结合.
（1）解：联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线的方程为或.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，则，
则在点处的切线方程为，即；
（2）证明：，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，所以为单调递增函数，
又因为，且，所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，由，可得，即，
则，
当且仅当时取等号，所以当时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）代入，求定义域，再求导，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
（2）先证明在上存在唯一零点，设为，再由导数求出最小值结合基本不等式和对数的运算证明即可.
（1）当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，，
1 / 1湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末自检数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·安化期末）设集合则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意知，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高二下·安化期末）已知，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数（a，），则，
由，可得，
整理可得，即，
则，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设复数（a，），求共轭复数，代入，利用复数相等求解即可.
3．（2024高二下·安化期末）设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用单位向量的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
4．（2024高二下·安化期末）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意得，， ， ，，
.
故答案为：D
【分析】结合二倍角公式化简求解。
5．（2024高二下·安化期末）已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A． B．8 C．7 D．14
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，所以，即，
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，由求得，结合等比数列前项和公式求解即可.
6．（2024高二下·安化期末）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：每位同学都有7种选择，利用分步计数原理求解即可.
7．（2024高二下·安化期末）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由，，，，且，
则交于同一点，
该“刍童”为四棱台，矩形的面积为，
矩形的面积为，且上下底面的高为3，
所以四棱台的体积.
故答案为：C.
【分析】先由四棱台的结构特征判断出该“刍童”为四棱台，再结合矩形的面积公式和四棱台的体积公式，从而得出此“刍童”的体积.
8．（2024高二下·安化期末）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，设左焦点为，
圆：的圆心，半径，
由双曲线得定义可得：，即，
则，
当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】易知点的坐标，再求圆心坐标以及半径，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·安化期末）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为展开式的通项公式为，
对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，A符合题意；
对B，二项式系数和为，B不符合题意；
对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，C符合题意；
对D，令，得所有项的系数和为，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出展开式不存在常数项，再结合二项式的系数的性质和赋值法以及求和法得出说法正确的选项。
10．（2024高二下·安化期末）已知函数，则（ ）
A．
B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．有两个零点
【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
令，解得，
当或时，；当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，
则，，
所以函数只有一个零点，故B正确、D错误；
因为，
所以关于对称，故C正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数的四则运算法则得出导函数，则判断出选项A；先求导，再令，再利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，则可判断出选项B；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C；利用函数的零点求解方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·安化期末）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，易证平面，平面平面，
且两平面间的距离为，的面积，
则三棱锥的体积，故A正确；
B、如图所示：
设的中心为，则，
，故B错误；
C、由上图可知，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半，故C正确；
D，，为在方向上的投影，由图①可知，
当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】点到平面的距离为，再通过三棱锥的体积公式计算即可判断A；设的中心为，则，通过勾股定理计算即可判断B；点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成并计算即可判断C；建立空间直角坐标系，当位于点或的位置时，最小，计算即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·安化期末）已知函数为奇函数，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：在函数中，，
则方程的根为，
由函数是奇函数，
得，
解得，
此时的定义域为，
因为，
则函数为奇函数，
所以的值为.
故答案为：.
【分析】先求出函数的定义域，再由奇函数的性质并验证，从而求出的值.
13．（2024高二下·安化期末）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.
【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在中，，，
在中，，，
在中，，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
则，.
故答案为：.
【分析】设，利用三角函数分别表示，再分别在中利用余弦定理表示，由，可得，求h即可.
14．（2024高二下·安化期末）设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
【答案】；6
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，如图所示：
则，
由双曲线的定义可得：，因为，
所以，，由勾股定理得，
即，则，
设内切圆与x轴相切于点，点横坐标为，
则，则，解得，
由内切圆圆心的横坐标为2，得，
故.
故答案为：，6.
【分析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，由已知条件结合双曲线定义求得关系，即可得双曲线C的离心率；利用题给条件求得的值，再求的面积即可.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·安化期末）记内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
又因为，
所以，
又因为，
由正弦定理可得，
则，
所以为锐角，
又因为，
所以，
所以
，
所以．
（2）解：由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出角的值，再判断出角为锐角，再利用正弦函数的定义和同角三角函数基本关系式，从而求出、的值，再利用三角形内角和定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，从而求出的值，再利用正弦定理得出的值.
（2）依题意可得，将两边平方，再结合和数量积的运算律，从而求出、的值，再由三角形的面积公式可得的值.
（1）因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
（2）由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
16．（2024高二下·安化期末）如图，四棱锥的底面是圆柱底面圆的内接矩形，是圆柱的母线，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，所以是直径，，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：由题意平面，，
因为平面，平面，所以，所以两两互相垂直，
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设为平面的法向量，则，
令，可得，即，
设为平面的法向量，则，
令，可得，即，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
而平面，所以.
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，
所以是直径，从而，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由题意平面，，
注意到平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．（2024高二下·安化期末）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
（1）求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则，，.
【答案】（1）解： 随机抽查了100个购物群
即，解得
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：
（2）解：易知
则
故
则级群约有个
特级群约有个
则需要资金为元
即该脐橙基地大约需要准备95700元.
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征；正态密度曲线的特点；概率的应用；用频率估计概率
【解析】【分析】本题围绕统计与正态分布展开，综合考查频数计算，组中值估计总体平均，以及正态分布概率应用与统计决策.
(1)求m与平均销售额：利用频数之和等于样本总数求m，再通过组中值×频数的加权平均法，结合组中值估计总体平均，体现用样本估计总体思想
(2)正态分布与奖励计算：先确定正态分布参数，，依据正态分布对称性与原则，计算A级群，特规群的概率，结合总购物群数量估算两类群数量，进而计算奖励总金额，体现正态分布概率应用与统计决策的结合.
（1）由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
（2）由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18．（2024高二下·安化期末）已知椭圆及直线．
（1）若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
（2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
【答案】（1）解： 若直线与椭圆没有公共点，
联立
整理得
则
解得或，
故实数t的取值范围为
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，将直线平移，使直线与椭圆相切时两直线间的距离为点到直线的距离
由(1)中，，
解得或
则直线或直线与椭圆相切
当与之间的距离为时，可得，解得
当与之间的距离为时，可得，解得
综上可得，直线的方程为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离；与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)直线与椭圆无公共点：联立直线与椭圆方程，转化为一元二次方程，利用无公共点方程无实根判别式"的逻辑，通过解不等式确定参数t的范围。
(2)点到直线距离最大值：利用平行直线间距离与直线和椭圆相切的性质，先找与已知直线平行且与椭圆相切的直线(联立方程，判别式确定切线)，再依据点到直线的最大距离等于平行线间距离，结合距离公式列方程求解直线参数，体现几何直观(距离最值)与代数运算(方程求解)的结合.
（1）解：联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线的方程为或.
19．（2024高二下·安化期末）设函数．
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）证明：当时，；
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，则，
则在点处的切线方程为，即；
（2）证明：，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，所以为单调递增函数，
又因为，且，所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，由，可得，即，
则，
当且仅当时取等号，所以当时，.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）代入，求定义域，再求导，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
（2）先证明在上存在唯一零点，设为，再由导数求出最小值结合基本不等式和对数的运算证明即可.
（1）当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，，
1 / 1
