四川省资阳市天立学校2024-2025学年高一下学期第二次调研考试数学试题
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2025高一下·资阳月考）以下说法中正确的是（ ）
A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量
B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小
C．单位向量都是共线向量
D．向量与向量的长度相等
2．（2025高一下·资阳月考）如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·资阳月考）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·资阳月考）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2025高一下·资阳月考）已知向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2025高一下·资阳月考）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·资阳月考）如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2
8．（2025高一下·资阳月考）已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:每小题不止一个正确答案，全部选对得的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9．（2025高一下·资阳月考）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．是，共线的充要条件
C．若，，，则与的方向相同或者相反
D．若，是两个单位向量，且，则
10．（2025高一下·资阳月考）若，则的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·资阳月考）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．为定值
C．的最大值是10 D．的最小值是8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高一下·资阳月考） ．
13．（2025高一下·资阳月考）已知向量，满足，且，则 .
14．（2025高一下·资阳月考）已知是平面向量，其中是单位向量，若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2025高一下·资阳月考）已知，，与的夹角是.
（1）计算；
（2）当k为何值时，
16．（2025高一下·资阳月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
17．（2025高一下·资阳月考）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
18．（2025高一下·资阳月考）在直角坐标系中，已知点，，，其中．
（1）若，求的值；
（2）设点，求的取值范围．
19．（2025高一下·资阳月考）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对 叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”. 证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，求证：的充要条件是.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误；
因为向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，
又因为它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误；
因为单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误；
因为向量与向量的长度相等，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为平行四边形，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，从而找出正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图：以为基底，
则，，，
且，，
所以.
故答案为：D.
【分析】以为基底，表示，，再结合数量积的概念和运算律，从而得出的值.
5．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，，
，，
若，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标列式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：在中，由，可得
则
设，
则
因为，，三点共线，所以
则
当且仅当，即，时等号成立
则的最小值为.
故选：D.
【分析】利用，将用表示，结合，，转化表达式，因M，O，N共线，根据向量共线定理，得出，将与结合，构造1的代换，利用基本不等式 求最小值，体现条件约束下的最值求解思路.
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由平行四边形法则得，
故，，且，方向相反，
设，
则．
因为，
所以，当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：B．
【分析】由向量的线性运算得出，再利用数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，利用二次函数图象的开口方向、单调性，从而求出二次函数的最小值即得.
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心，半径为，
又因为圆上至少存在一点，使得，则，
所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，
所以可得，
又因为，
所以，
则.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，再利用圆心距和两圆半径之间的关系式，从而得出的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；共线（平行）向量；相反向量
【解析】【解答】解：对于A，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；
对于B，若，同向共线时，，，
则，不相等，
所以不是，共线的充要条件，故B不正确；
对于C，因为，，，
所以与共线，
则与的方向相同或者相反，故C正确；
对于D，若，是两个单位向量，且，
则，
则，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据相反向量的定义、向量共线定理、充要条件判断方法、单位向量的定义、向量的模的求解公式，从而逐项判断找出正确的命题的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，解得，.
则的一个可能的值是，.
故答案为：AB.
【分析】由题意，利用辅助角公式化简求得，，根据选项判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：对于A选项，
因为，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
又因为点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确；
对于B选项，因为三点在圆上，
所以圆是的外接圆，
又因为，
所以是圆的直径，
所以，
则是定值，故B正确；
对于选项C、D，
因为
，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
则的最大值是10，最小值是6，故C正确、D错误.
故答案为：ABC.
【分析】结合点和点的轨迹和三点共线求最值的方法，从而得出的最小值，则可以判断选项A；利用向量的线性表示结合，从而可以计算出的值，则判断出选项B；利用向量的线性表示得到，再结合向量夹角的取值范围得到的取值范围，从而得出的最大值和最小值，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的加法与减法运算求解即可.
13．【答案】0
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
解得，所以.
故答案为：0.
【分析】利用向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示，从而列方程得出m，n的值，进而得出m-n的值.
14．【答案】
【知识点】向量的几何表示；单位向量；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由，可得
则
设
则当的起点在坐标原点时，的终点在以为圆心，以为半径的圆上
如图所示：
因为非零向量与的夹角是
所以当的起点在坐标原点时，终点在不含端点的两条射线上
不妨取取
则的最小值是点到直线的距离减
即.
故答案为：.
【分析】本题通过向量变形构建几何模型，将向量问题转化为几何中的点与直线，点与圆的位置关系问题.先对向量条件变形得到，设定后，的终点轨迹为圆，的终点轨迹为射线，利用点到直线距离公式结合圆的性质求的最小值.
15．【答案】（1）解： ，，与的夹角是，
则，
即有；
（2）解： 由
可得，即，
即，解得.
则当k为时，；
综上，（1），（2）.
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】本题考查平面向量的模长公式，平面向量垂直的转化.
(1)先利用平面向量的数量积求出，再根据复数的模长公式可得：，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
(2)根据平面向量垂直的转化可列出方程，解方程可求出的值.
16．【答案】（1）解：由题意知，，
，
.
（2）解：由（1）知，，，
则
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理和三角函数的定义，从而得出，的值.
（2）由（1）知，，，再利用诱导公式化简得出的值.
（1）由题意知，，
，
，
（2）由（1）知，，.
∴.
17．【答案】（1）解：
，
则的最小正周期为；
（2）解：由（1）可得：函数，
令，可得，
则函数的单调增区间为；
（3）解：当时，，，则，
故函数在区间上的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角拱墅化简函数的解析式，再根据最小正周期的公式计算即可；
（2）由正弦函数的单调递增区间求解正弦型函数的单调区间即可；
（3）先由，求出，再求解值域即可.
（1），
所以的最小正周期为.
（2）由得：
，
故函数的单调增区间为.
（3）因为，所以，
所以，故，
所以函数在区间上的值域为.
18．【答案】（1）解：依题意，，，
由，得，
所以．
（2）解：依题意，得，点，
则，，
因此，
当时，则，
因此当时，即当时，取得最大值，
此时；
当时，即当时，取得最小值，
此时，
所以的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和共线向量的坐标表示，从而列式得出，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值．
（2）利用已知条件得出点B和点D的坐标，从而得出向量的坐标，结合数量积的坐标表示和辅助角公式，将转化为余弦型函数，再结合和不等式的基本性质以及余弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）依题意，，，
由，得，所以．
（2）依题意，，点，
则，，
因此，
当时，则，
因此当，即时，取得最大值，
此时
当，即时，取得最小值，
此时
所以的取值范围是．
19．【答案】（1）解：因为的 “完美坐标” 为，
所以，又因为分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，且，
所以
（2）证明： .
（3）证明：若，则显然成立，
若，则的充要条件为存在，使得，
则，
所以，
消去得：，
综上所述，的充要条件是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用“完美坐标”的定义得出，利用单位向量的定义和数量积的定义，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（2）利用“完美坐标”的定义和平面向量基本定理得出，，再利用数量积的运算律化简证出.
（3）利用已知条件和充要条件判断方法，当时，显然成立；当时，利用向量共线定理，则，从而证出的充要条件是.
（1）因为的 “完美坐标” 为，则，
又因为分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，且，
所以.
（2）
（3）若，则显然成立，
若，则的充要条件为存在，使得，
即，即
消去得：，
综上，的充要条件是.
1 / 1四川省资阳市天立学校2024-2025学年高一下学期第二次调研考试数学试题
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2025高一下·资阳月考）以下说法中正确的是（ ）
A．两个具有公共起点的向量，一定是共线向量
B．两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小
C．单位向量都是共线向量
D．向量与向量的长度相等
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误；
因为向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，
又因为它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误；
因为单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误；
因为向量与向量的长度相等，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
2．（2025高一下·资阳月考）如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为平行四边形，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，从而找出正确的选项.
3．（2025高一下·资阳月考）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
4．（2025高一下·资阳月考）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图：以为基底，
则，，，
且，，
所以.
故答案为：D.
【分析】以为基底，表示，，再结合数量积的概念和运算律，从而得出的值.
5．（2025高一下·资阳月考）已知向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，，
，，
若，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标列式求解即可.
6．（2025高一下·资阳月考）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：在中，由，可得
则
设，
则
因为，，三点共线，所以
则
当且仅当，即，时等号成立
则的最小值为.
故选：D.
【分析】利用，将用表示，结合，，转化表达式，因M，O，N共线，根据向量共线定理，得出，将与结合，构造1的代换，利用基本不等式 求最小值，体现条件约束下的最值求解思路.
7．（2025高一下·资阳月考）如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由平行四边形法则得，
故，，且，方向相反，
设，
则．
因为，
所以，当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：B．
【分析】由向量的线性运算得出，再利用数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，利用二次函数图象的开口方向、单调性，从而求出二次函数的最小值即得.
8．（2025高一下·资阳月考）已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心，半径为，
又因为圆上至少存在一点，使得，则，
所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，
所以可得，
又因为，
所以，
则.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，再利用圆心距和两圆半径之间的关系式，从而得出的取值范围.
二、多选题:每小题不止一个正确答案，全部选对得的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9．（2025高一下·资阳月考）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．是，共线的充要条件
C．若，，，则与的方向相同或者相反
D．若，是两个单位向量，且，则
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；共线（平行）向量；相反向量
【解析】【解答】解：对于A，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；
对于B，若，同向共线时，，，
则，不相等，
所以不是，共线的充要条件，故B不正确；
对于C，因为，，，
所以与共线，
则与的方向相同或者相反，故C正确；
对于D，若，是两个单位向量，且，
则，
则，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据相反向量的定义、向量共线定理、充要条件判断方法、单位向量的定义、向量的模的求解公式，从而逐项判断找出正确的命题的选项.
10．（2025高一下·资阳月考）若，则的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，解得，.
则的一个可能的值是，.
故答案为：AB.
【分析】由题意，利用辅助角公式化简求得，，根据选项判断即可.
11．（2025高一下·资阳月考）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．为定值
C．的最大值是10 D．的最小值是8
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：对于A选项，
因为，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
又因为点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确；
对于B选项，因为三点在圆上，
所以圆是的外接圆，
又因为，
所以是圆的直径，
所以，
则是定值，故B正确；
对于选项C、D，
因为
，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
则的最大值是10，最小值是6，故C正确、D错误.
故答案为：ABC.
【分析】结合点和点的轨迹和三点共线求最值的方法，从而得出的最小值，则可以判断选项A；利用向量的线性表示结合，从而可以计算出的值，则判断出选项B；利用向量的线性表示得到，再结合向量夹角的取值范围得到的取值范围，从而得出的最大值和最小值，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高一下·资阳月考） ．
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据平面向量的加法与减法运算求解即可.
13．（2025高一下·资阳月考）已知向量，满足，且，则 .
【答案】0
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
解得，所以.
故答案为：0.
【分析】利用向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示，从而列方程得出m，n的值，进而得出m-n的值.
14．（2025高一下·资阳月考）已知是平面向量，其中是单位向量，若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】向量的几何表示；单位向量；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由，可得
则
设
则当的起点在坐标原点时，的终点在以为圆心，以为半径的圆上
如图所示：
因为非零向量与的夹角是
所以当的起点在坐标原点时，终点在不含端点的两条射线上
不妨取取
则的最小值是点到直线的距离减
即.
故答案为：.
【分析】本题通过向量变形构建几何模型，将向量问题转化为几何中的点与直线，点与圆的位置关系问题.先对向量条件变形得到，设定后，的终点轨迹为圆，的终点轨迹为射线，利用点到直线距离公式结合圆的性质求的最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2025高一下·资阳月考）已知，，与的夹角是.
（1）计算；
（2）当k为何值时，
【答案】（1）解： ，，与的夹角是，
则，
即有；
（2）解： 由
可得，即，
即，解得.
则当k为时，；
综上，（1），（2）.
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】本题考查平面向量的模长公式，平面向量垂直的转化.
(1)先利用平面向量的数量积求出，再根据复数的模长公式可得：，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
(2)根据平面向量垂直的转化可列出方程，解方程可求出的值.
16．（2025高一下·资阳月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题意知，，
，
.
（2）解：由（1）知，，，
则
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理和三角函数的定义，从而得出，的值.
（2）由（1）知，，，再利用诱导公式化简得出的值.
（1）由题意知，，
，
，
（2）由（1）知，，.
∴.
17．（2025高一下·资阳月考）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）解：
，
则的最小正周期为；
（2）解：由（1）可得：函数，
令，可得，
则函数的单调增区间为；
（3）解：当时，，，则，
故函数在区间上的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角拱墅化简函数的解析式，再根据最小正周期的公式计算即可；
（2）由正弦函数的单调递增区间求解正弦型函数的单调区间即可；
（3）先由，求出，再求解值域即可.
（1），
所以的最小正周期为.
（2）由得：
，
故函数的单调增区间为.
（3）因为，所以，
所以，故，
所以函数在区间上的值域为.
18．（2025高一下·资阳月考）在直角坐标系中，已知点，，，其中．
（1）若，求的值；
（2）设点，求的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，，，
由，得，
所以．
（2）解：依题意，得，点，
则，，
因此，
当时，则，
因此当时，即当时，取得最大值，
此时；
当时，即当时，取得最小值，
此时，
所以的取值范围是．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和共线向量的坐标表示，从而列式得出，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值．
（2）利用已知条件得出点B和点D的坐标，从而得出向量的坐标，结合数量积的坐标表示和辅助角公式，将转化为余弦型函数，再结合和不等式的基本性质以及余弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围．
（1）依题意，，，
由，得，所以．
（2）依题意，，点，
则，，
因此，
当时，则，
因此当，即时，取得最大值，
此时
当，即时，取得最小值，
此时
所以的取值范围是．
19．（2025高一下·资阳月考）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对 叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”. 证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，求证：的充要条件是.
【答案】（1）解：因为的 “完美坐标” 为，
所以，又因为分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，且，
所以
（2）证明： .
（3）证明：若，则显然成立，
若，则的充要条件为存在，使得，
则，
所以，
消去得：，
综上所述，的充要条件是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用“完美坐标”的定义得出，利用单位向量的定义和数量积的定义，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（2）利用“完美坐标”的定义和平面向量基本定理得出，，再利用数量积的运算律化简证出.
（3）利用已知条件和充要条件判断方法，当时，显然成立；当时，利用向量共线定理，则，从而证出的充要条件是.
（1）因为的 “完美坐标” 为，则，
又因为分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，且，
所以.
（2）
（3）若，则显然成立，
若，则的充要条件为存在，使得，
即，即
消去得：，
综上，的充要条件是.
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