24.4 弧长和扇形面积课件（48张ppt）2025-2026学年数学人教版九年级上册

(共48张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
（第一课时）
第四单元
1 理解弧长和扇形面积公式, 会计算弧长、扇形面积.
2 灵活运用弧长及扇形面积公式解决实际问题.
情景引入
探究新知
新知讲解
典例分析
针对训练
探究新知
新知讲解
探究新知
典例分析
直击中考
归纳小结
布置作业
针对训练
【情景一】下图是学校操场的环形跑道，你会计算环形跑道的长度吗？
环形跑道的长度=2条直线跑道长度之和+2个半圆组成的圆的周长
【情景二】运动会200米赛跑比赛中，为什么选手的起跑位置不在同一处？
因为不同的跑道，跑道一圈的长度不一样，要保证这些弯道的“展直长度”是一样的，所以运动员的起跑位置不在同一处，越靠近外侧的运动员所在跑道的长度越长，所以他的起跑位置越靠前.
【问题一】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.
1) 求半径为R的圆的周长.
2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长.
3） 1°的圆心角所对的弧长是：
4） 45°的圆心角所对的弧长是：
5) 90°的圆心角所对的弧长是：
6) n°的圆心角所对的弧长是：
2ΠR
360
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：
【补充】1）n没有单位，弧长和半径单位一致.
2）弧长的大小与圆心角大小和半径的长度有关.
3）弧长公式中R、n、l三个量，已知两个可求另一个.
弧长公式：
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数)
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
解：由弧长公式，可得的长
因此所要求的展直长度
答：管道的展直长度约为2970mm．
1.若扇形的圆心角为90°，半径为6 cm，则该扇形的弧长为__________ cm.
2.若一弧长为10πcm，此弧所对的圆心角为120°，则该弧所在圆的半径为_________ cm．
3.若一条弧的长为6πcm，弧的半径为6cm，则该弧所对的圆心角为__________ .
3π
15
180°
【问题二】观察图形，尝试给出扇形的概念？
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
【练一练】判断下列图片中哪些是扇形？
【问题三】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.
1) 求半径为R的圆的面积.
2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对扇形的面积.
3） 1°的圆心角所对扇形的面积是：
4） 45°的圆心角所对扇形的面积是：
5) 90°的圆心角所对扇形的面积是：
6) n°的圆心角所对扇形的面积是：
360
在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为：
扇形面积公式：
【补充】1）扇形周长公式=2R+l=2R+
【问题三】你觉得扇形的面积与哪些因素有关？
根据扇形公式，可知扇形的面积与圆心角、半径有关.
圆心角大小不变时，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，圆心角越大，面积越大.
【问题四】对比弧长公式（）和扇形面积公式（ ）,
你发现了什么？
例2 一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为_______.
240Π c
1.扇形的圆心角为60°，半径为5 ,则这个扇形的弧长_______, 这个扇形的面积为______.
2.已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形面积为 ．
3．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是_________
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为，
由题意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，又由可得：，
解得：，
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（　　）
A. B. C.π D.2π
【详解】∵∠BCD=30°，∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，故选B．
5. 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．
解 S=S扇形OAB-S扇形OCD，
A
B
C
D
解：如图，连接OA，OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D，
交弧AB于点C，连接AC.
∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-DC=0.3m.
∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线
∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°,∠AOB=120°
有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB= ×0.62 - AB·OD≈0.22(m2).
6.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积？（结果保留小数点后两位）
1．如图，在中，若，，则扇形 (阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
2．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB=120°，OA=15m，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　)
A． B． C． D．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，
∴，，
∴图中阴影部分面积，
故选：B．
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2.简述扇形的概念？
3.简述弧长和扇形面积公式？
P113：练习第2题，第3题
P115：习题24.4 第2题，第6题，第7题
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
（第二课时）
第四单元
1 理解圆锥的相关概念.
2 理解圆锥侧面积的计算公式，并会运用公式解决问题.
探究新知
新知讲解
探究新知
典例分析
归纳小结
探究新知
典例分析
针对训练
直击中考
布置作业
针对训练
【问题一】观察下面几何体，你发现了什么？
它们都是由一个底面和一个侧面围成的几何体
由一个底面和一个侧面围成的几何体.
连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段.
连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
圆锥概念：
母线概念：
圆锥的高的概念：
【问题二】观察下图，你觉得圆锥的高与底面、底面圆心有什么关系？
【问题三】圆锥的母线有多少条？你发现了什么？
圆锥的高通过底面的圆心，并垂直于底面.
圆锥的母线有无数条，它们的长都相等.
【问题四】圆锥的底面圆半径r、高h、母线l三者之间有什么关系呢？
圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆半径r恰好构成一个直角三角形，所以圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所构成的图形，满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
【问题五】将一个扇形纸片的两条半径重合，所围成的几何体、是_____________
【问题六】圆锥体展开后是什么样子的呢？
圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成.
【问题七】展开的扇形弧长和底面圆之间有什么关系呢？
扇形的弧长=底面圆的周长
圆锥体
【问题八】圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
【问题九】如何计算圆锥的侧面积？
扇形的半径与圆锥中的母线相等
S扇形= = l
(r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
例1 已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是___________cm2
65π
1. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.
2. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π cm2 ，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm.
3. 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（　　）
A．5 cm B．10cm C．6cm D．5cm
15π
3
4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【详解】
设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．
故选B．
5. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．30π
【解析】
由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，
∴圆锥的侧面积=lr=×6π×5=15π，故选B
6. 如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A．B． C． D．
【详解】解：扇形弧长为：L= = cm，
设圆锥底面半径为r，则： ，所以r=2cm，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以h2+r2=62，
即：h2=32，，所以圆锥的高为．
故选：A
7.若把一个半径为12cm，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是_______，圆锥的高是__________，侧面积是____________．
【详解】解：如图，这个圆锥的底面周长为，
设半径为r，则有，解得r=4；
圆锥的高是：，
侧面积为，
故答案为：4；；
圆锥的侧面积与圆锥的底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
S表=S扇+S底=πrl+πr2
【问题十】如何计算圆锥的表面积？
r
l
例2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2 m，外围高1.8m的蒙古包,至少需要多少m2的毛毡 (π取3.142，结果取整数).
【解题关键】将实际问题转换为数学模型.
3.2
h1
h2
r
r
l
根据题意,下部圆柱的底面积12m2，高h2为1.8m;
上部圆锥的高hl=3.2－1.8=1.4m;
圆柱底面圆半径r=≈1.954 (m)
S圆柱的侧面积=2πrh2=2π×1.954×1.8 ≈22.10(m2)
圆锥的母线l= ≈2.404 (m)
侧面展开积扇形的弧长为:2π×1.954 ≈12.28(m)
S扇形= l=3.142× 2.404 × 1.954 ≈14.76(m2)
S= 20×(S圆柱的侧面积+ S扇形) ≈728(m2) 答：略
1. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．(30+5)πm2 B．40πm2
C．(30+5)πm2 D．55πm2
【详解】
设底面圆的半径为R，则，解得R=5，
圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积；
圆柱的侧面积，
所以需要毛毡的面积=(30+5) πm2．故选．
2. 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．
（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，
∴，，，
∴有中，
∴圆锥的高为．
（2）圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，∴扇形的弧长为，
∴扇形的面积为，∴所需铁皮的面积为．
3. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m，
圆锥的高为300mm=0.3m，则圆锥的母线长为：＝0.5m．
∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圆柱的高为800mm=0.8m．圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），
∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2），
∵每平方米用锌0.11kg，∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg，
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg．
1．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留）
4．如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
5．如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
【详解】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥，
∵边上的高，
∴底面圆的周长为：，
∵，，
∴几何体的表面积为．
故答案为：．
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2.简述圆锥的相关概念？
3.简述与圆锥面积计算的相关公式？
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl
S圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底＝ πrl+πr2
P114：练习第1题，第2题
P115~116：习题24.4 第5题，第9题