《第一章 推理与证明 单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B D A B D D
1．D
本题考查了真假命题的判定，掌握对顶角、两点之间线段最短，内错角，余角的相关概念及计算是解题的关键．
根据对顶角、两点之间线段最短，内错角，余角的相关概念及计算判定即可．
解：A、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等，
∴相等的角不一定是对顶角，故原选项是假命题，不符合题意；
B、两点之间线段最短，故原选项是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原选项是假命题，不符合题意；
D、同角的余角相等，是真命题，符合题意；
故选：D ．
2．A
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得．
解：，，
，
，
，
故选：A．
3．C
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4．A
本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
解：A、根据内错角相等，两直线平行，得到；符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，得到；不符合题意；
C、，，则：，故，不符合题意；
D、，不能得到，不符合题意；
故选A．
5．B
本题考查平行线的判定定理，熟练运用平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补时两直线平行），对每个条件逐一分析是否能推出．解题时需注意区分不同直线被截形成的角，避免混淆平行关系．
解：（1）不能判定；
（2），
，
不能判定；
（3），
；
（4），
．
综上，能判定的条件是（3）、（4），共个．
故选：B．
6．D
此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平行线的性质，邻补角的定义，余角的性质，对顶角的性质逐项分析即可．
解：A．两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B．邻补角互补，不一定相等，故原命题是假命题；
C．等角的余角相等，故原命题是假命题；
D．对顶角相等，是假命题；
故选D．
7．A
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理；
三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理．
故选：A．
8．B
本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解．
解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意；
B．，则，，是反例，故B符合题意．
C．，则，，不是反例，故C不符合题意；
D．，则，，不是反例，故D不符合题意．
故选：B．
9．D
分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．
解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”，
则选项A、B、C正确，不符合题意，
不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题．
故选：D．
本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键．
10．D
本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键．
解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误；
B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误；
C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确．
故选：D．
11．30
本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，，
∵是的外角，
∴，
故答案为：30．
12．/90度
本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数．
解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．6
本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
解：过A作于H，过E作于F，如图所示：
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积为：，
解得：，（负值舍去）．
故答案为：6．
14．16
本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
解：在上截取，
在中，
，
，
是高，
，
，
，
在与中，
，
，
若，，，
；
．
故答案为：16．
15． 两个角是同一个角的补角 这两个角相等
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．
解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
16．2
本题考查了命题真假的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定与性质可判定①，②的真假，根据对顶角的性质可判断③的真假，根据立方根的定义可判断④的真假．
解：一般情况下，同旁内角不一定互补，命题①是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，命题②是真命题；
相等的角不一定是对顶角，命题③是假命题；
正数的立方根是正数，命题④是真命题．
∴是真命题的有2个．
故答案为：2．
17．（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立，
本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数．
（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数；
（2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系；
（3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：；；．
（2）与的关系为：，
理由如下：
由（1）得：，
∵，
∴，
∴
．
∴．
（3）不成立，存在，
理由如下：
在中，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴（2）中的结论不成立．
18．(1)，理由见解析
(2)
（）证明即可求证；
（）由得，，即得，再根据三角形外角性质解答即可求解；
本题考查了邻补角的性质，平行线的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）解： ，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，，
，
，
，
．
19．
本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．
本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解；
解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)8
本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先根据余角的性质证明，根据即可证明；
（2）由全等三角形的性质得，由是的中点求出，进而可求的长．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：，
∴．
∵是的中点，，
∴，即的长为8．
21．见详解
延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质得，再结合等边对等角以及角的等量代换得到，即可作答．本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键．
解：延长至点，使得，连接，
∵，，
，
在和中，
，
，
∴
∴，
平分．
22．(1)见解析
(2)见解析
本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键．
（1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论；
（2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论．
（1）证明： 平分，平分，
，，
，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
，
．
23．(1)②③，①（答案不唯一）
(2)证明见解析
考查了命题与定理的知识，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解题关键．
（1）根据条件，选择两个条件推出结论的真命题，即可；
（2）根据等角对等边得到，结合题意得到，利用可证明，即可得到．
（1）解：条件：②③，结论：①，
故答案为：②③，①；（答案不唯一）
（2）证明：，
，
点E、F分别为、的中点，
，
在与中，
，
，
．
24．（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明见解析
本题主要考查了代数式求值，证明命题的真假：
（1）直接代值计算即可；
（2）利用完全平方公式得到，，再根据的非负数求解即可．
解：（1）当时，，；
当时，，；
当时，，；
（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下：
∵，
∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题；
∵，
∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题．(共7张PPT)
青岛版2024 八年级上册
第一章 推理与证明
单元测试·巩固卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 0
较易 10
适中 14
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 两直线平行内错角相等；判断命题真假；两点之间线段最短；同(等)角的余(补)角相等的应用
2 0.85 根据平行线的性质求角的度数；直角三角形的两个锐角互余
3 0.85 三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质
4 0.85 内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；同位角相等两直线平行
5 0.85 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行
6 0.85 两直线平行同位角相等；判断命题真假；同(等)角的余(补)角相等的应用；对顶角相等
7 0.85 判断命题真假；定理与证明
8 0.85 判断命题真假；举例说明假（真）命题
9 0.85 判断命题真假；写出命题的题设与结论；举例说明假（真）命题
10 0.85 判断是否是命题
三、知识点分布
二、填空题
11 0.65 角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质
12 0.65 三角形的外角的定义及性质；角平分线的有关计算
13 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三线合一；同(等)角的余(补)角相等的应用
14 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；同(等)角的余(补)角相等的应用；三角形内角和定理的应用
15 0.65 写出命题的题设与结论
16 0.65 判断命题真假
三、知识点分布
三、解答题
17 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
18 0.65 同位角相等两直线平行；三角形的外角的定义及性质；利用邻补角互补求角度
19 0.65 三角形内角和定理的应用；直角三角形的两个锐角互余
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；同(等)角的余(补)角相等的应用
21 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形角平分线的定义；同(等)角的余(补)角相等的应用；等边对等角
22 0.65 垂线的定义理解；内错角相等两直线平行；角平分线的有关计算；同(等)角的余(补)角相等的应用
23 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；写出命题的题设与结论；对顶角相等；根据等角对等边证明边相等
24 0.65 判断命题真假；举例说明假（真）命题；已知字母的值 ，求代数式的值2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第一章 推理与证明单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两点之间直线最短
C．内错角相等 D．同角的余角相等
2．如图，将三角板与直尺叠在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上， 其中， ，若， 则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下列条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列能判定的条件的个数（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等 B．邻补角相等
C．等角的余角互余 D．对顶角相等
7．下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
9．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（ ）
A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等”
C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题
10．下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °．
12．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ．
13．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点且，垂足为C，连接，若的面积为9，则的长为 ．
14．如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积为 ．
15．将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ．
16．已知下列命题：①同旁内角互补；②平行于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④正数的立方根是正数．其中是真命题的有 个．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．
【特例探究】
（1）若，则，，；
【类比探究】
（2）请猜想与的关系，并进行证明；
【类比延伸】
（3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论．
18．如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若为上一点，连接，，且，，求的度数．
19．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数．
20．如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是．
(1)求证：；
(2)已知是的中点．当时，求的长．
21．如图，，，求证：平分；
22．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结．
(1)求证：
(2)若，求证：
23．如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明．
(1)条件：______，结论：______；（填序号）
(2)写出你的证明过程．
24．（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值；
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．
命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数；
命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数．
