13.2.2 三角形的中线、角平分线、高【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
复习探究　1.过直线外一点,画已知直线的垂线,能画几条 怎样画
2.已知在△ABC中,BC=5 cm,高AD=4 cm,求△ABC的面积.
3.请自学三角形的中线、角平分线、高的概念,你能将它们画出来吗
学生自主学习教材的内容,弄清下面的问题:
(1)什么叫三角形的中线 连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系
(2)什么叫三角形的角平分线 三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系
(3)什么叫三角形的高 三角形的高与垂线有何区别与联系
(4)三角形的中线、角平分线、高分别是线段、射线、直线中的哪一种
师生共同完成(做一做):
(1)画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线分别在哪里),观察这三条中线的位置有何关系;
(2)画三角形,并在这个三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系.
(3)画三角形,并在这个三角形中画出它的三条高(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高分别在哪里),观察这三条高所在的直线的位置有何关系.
[教学提示] 通过学生的动手操作、交流、讨论,掌握三角形的中线、角平分线、高的画法.学生画出后,教师可进一步让学生观察、归纳得到中线、角平分线、高的相关性质,以此培养学生的观察与概括能力.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 三角形高所在直线的画法
例1　三角形的三条高所在直线的交点在 (D)
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D.三角形的内部、外部或边上
例2　如图13-2-5,已知△ABC和△EFD,在图中分别画出这两个三角形的三条高.
图13-2-5 图13-2-6
解:如图13-2-6所示.
　　【评价角度2】 利用三角形的中线解决倍数关系问题
　　方法指引:利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题,还可以解决面积的相等或倍数关系问题.在做题时注意观察倍数关系.
例　如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和15 cm两部分,那么它的底边长为　7或11　cm.
【评价角度3】 利用三角形的高解决三角形的面积问题
方法指引:当三角形中高较多时,常考虑面积法.
例　已知:如图13-2-7所示,AB⊥BD于点B,AC⊥CD于点C,且AC与BD交于点E.
图13-2-7
(1)△ADE的边DE上的高为　AB　,边AE上的高为　DC　;
(2)若AE=5,DE=2,CD=,则AB= 　.
【评价角度4】 三角形的中线、角平分线、高的综合应用
方法指引:(1)关于角度的计算,如果有三角形的高这一条件,要联想到90°的角;见到角平分线这一条件时,要联想到角相等这一结论.(2)关于线段、周长或面积比值的问题,要注意三角形的中线或高的运用.(3)要注意方程思想、分类讨论思想的运用.
例　如图13-2-8所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:
图13-2-8
(1)AD的长;
(2)△ABE的面积;
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
[答案:(1)4.8 cm　(2)12 cm2　(3)2 cm]
13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 授课人
学习 目标 1.理解三角形的中线、角平分线、高的概念. 2.会画出任意三角形的中线、角平分线、高. 3.会运用三角形的中线、角平分线、高的概念解决简单的问题.
学习 重点 三角形的中线、角平分线、高的特征.
学习 难点 探究三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线都交于一点的过程.
授课 类型 新授课 课时
教具 圆规、量角器、直尺(多媒体:PPT课件、几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】　如图13-2-9所示,在△ABC中,有一条线段,一端点在顶点A处,另一端点从点B沿着BC边移动到点C,移动过程中形成的无数条线段(AD,AE,…)中,有没有特殊位置的线段 你认为有哪些特殊位置 图13-2-9 (1)在这些线段中,有一条线段经过边BC的中点; (2)有一条线段平分∠BAC; (3)还有一条线段垂直于边BC. 同学们通过观察、思考,找到了具有特殊位置的线段:三角形的中线、角平分线、高.这三条线段是三角形的重要线段. 　　让学生直观地感知特殊线段生成的过程,有助于学生对知识的理解,加深学生对三种特殊线段的认识,激发学生对知识的探究欲望,提高学生学习数学的积极性.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 三角形的中线的定义及性质 1.三角形的中线的定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线. 图13-2-10 表示法:如图13-2-10,∵AE是△ABC的BC边上的中线, ∴BE=EC=BC. 思考:①一个三角形有几条中线 ②△ABE,△ACE的面积有怎样的关系 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线,并观察所作的图形,你有什么发现 三角形的三条中线的特性三角形的分类锐角三角形直角三角形钝角三角形中线的数量333中线在三角形内部的数量333中线之间是否相交相交相交相交中线交点的位置三角形的 内部三角形的 内部三角形的 内部
3.一个三角形有三条中线,这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 【探究2】 三角形的角平分线的定义及性质 1.三角形的角平分线的定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 表示法:如图13-2-11,∵AM是△ABC的角平分线, 图13-2-11 ∴∠1=∠2=∠BAC. 思考:三角形的角平分线在三角形的什么位置 它们有交点吗 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线,并观察所作的图形,你有什么发现 三角形角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点
【探究3】 三角形的高的定义及性质 1.三角形的高的定义:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形这边上的高线.三角形的高线简称三角形的高.表示法:如图13-2-12, 图13-2-12 ∵AD是△ABC的边BC上的高, ∴AD⊥BC于点D. ∴∠ADB=∠ADC=90°. 　　1.学生通过自主探究,动手实践,探究新知.教师点拨、及时鼓励.教师可适当提出重心的概念,并提醒学生重心的位置. 2.类比三角形的中线、角平分线的探究方法,学生可独立完成三角形的高的探究过程,教师在必要时进行适当提示.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高,并观察所作的图形,你有什么发现 三角形的三条高的特性三角形的分类锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量311高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形的内部直角顶点三角形的外部
　　
【应用举例】 例1　在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分,求△ABC的各边长. 解:设AB=AC=x cm,则AD=CD=x cm. (1)若AB+AD=12 cm,则x+x=12,解得x=8, 即AB=AC=8 cm,则CD=4 cm. 故BC=15-4=11(cm). 此时AB+AC>BC,三角形存在, 所以△ABC的三边长分别为8 cm,8 cm,11 cm. (2)若AB+AD=15 cm,则x+x=15,解得x=10, 即AB=AC=10 cm,则CD=5 cm. 故BC=12-5=7(cm). 此时AB+BC>AC,三角形存在, 所以△ABC的三边长分别为10 cm,10 cm,7 cm. 综上所述,△ABC的三边长分别为8 cm,8 cm,11 cm或10 cm,10 cm,7 cm. 例2　如图13-2-13,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数. 图13-2-13 解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°, ∴∠DAC=∠BAD=30°. ∵CE是△ABC的高, ∴∠BEC=90°. ∵∠BCE=40°, ∴∠B=180°-∠BEC-∠BCE=50°. ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°. 例3　画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是 (D) 图13-2-14 　　通过三角形的角平分线性质的探究及应用,使学生进一步了解数学的应用价值,深刻领悟到学数学、用数学的必要性.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例4　如图13-2-15,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN. 图13-2-15 证明:∵BE,CF均是△ABC的中线, ∴S△ACF=S△ABE=S△ABC. ∵AM⊥CF,AN⊥BE, ∴S△ACF=CF·AM,S△ABE=BE·AN. ∴CF·AM=BE·AN. 又∵BE=CF, ∴AM=AN. 例5　一块三角形纸片,要把它分成面积相等的四块,你有几种不同的分法 教师帮助学生抽象成如下问题:如图13-2-16,已知△ABC,如何将它分成四个面积相等的三角形 图13-2-16 解:答案不唯一,现提供以下三种方法,如图13-2-17所示: 图13-2-17 　　应用“三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分”来解决实际问题,体会数学的应用价值.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列各图中,AD是△ABC的边BC上的高的是 (D) 图13-2-18 2.三角形一边上的中线把原三角形分成两个 (B) A.形状相同的三角形　　　　 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 3.填空: (1)如图13-2-19①,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则AB=2　AF　=2　BF　,BD=　DC　,AE=　AC　. 图13-2-19 (2)如图②,AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则∠1=　∠2　,∠3=　∠ABC　,∠ACB=2　∠4　=2　∠5　. 4.如图13-2-20,在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长. 图13-2-20 解:∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD. ∵△DBC的周长=BC+BD+CD=25 cm,∴BD+CD=25-BC. ∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=25-BC+AC=25-(BC-AC)=25-5=20(cm). 5.画一画: 如图13-2-21,在△ABC中, (1)过点C画出角平分线CD; (2)过点A画出中线AE; (3)过点B画出高BF. 图13-2-21 图13-2-22 解:如图13-2-22.(1)线段CD即为所求. (2)线段AE即为所求. (3)线段BF即为所求. 　　当堂训练,及时反馈学习效果,进一步巩固对所学知识的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.
【课堂总结】 本节课的主要内容有: (1)三角形的中线及重心 三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分,三角形的三条中线相交于一点,交点叫三角形的重心. (2)三角形的角平分线 三角形的三条角平分线相交于一点. (3)三角形的高 三角形的三条高(或高所在的直线)相交于一点,三角形的高可以在三角形的外部、内部或边上. 与三角形的高有关的问题,有时可以借助于面积法来解决. 获得这些知识,我们采用了哪些方法 　　引导学生回顾知识产生和发展的过程,加强对于用观察、操作、测量等方法获得几何直观和几何知识的认识,对今后的学习形成一定的引领作用.
活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 画直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点,教师要多鼓励学生动手操作,交流探讨,使学生掌握高的画法,尤其是钝角三角形的高的画法. ②[讲授效果反思] 对平分三角形的面积这个探究问题体现了不同的人得到不同的分法的思想,有些同学可以得到多种分法,有利于培养学生的创新能力. ③[师生互动反思] 掌握画法后教师要进一步鼓励学生观察、归纳得到中线、角平分线、高的相关性质,培养学生的观察与概括能力,体验学习数学的过程. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.
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