13.3.1 第1课时 三角形的内角和定理【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
图13-3-1
置疑探究　用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B,C为定点,A为动点(如图13-3-1所示),请同学们观察点A变化时所形成的一系列的三角形:△A1BC,△A2BC,△A3BC,…,其内角会产生怎样的变化呢 从中你对△ABC三个内角的和有何猜想呢
[教学提示] 创设问题情境,激发学生的学习兴趣,引出本节课要研究的内容.教师进行演示实验,同时引导学生观察,在观察的基础上进行猜测.当点A离BC越来越近时,∠BAC越来越接近180°,而其他两角越来越接近0°;当点A远离BC时,∠BAC越来越接近0°,而AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠ABC,∠ACB逐渐接近为互补的同旁内角,即∠ABC+∠ACB逐渐接近180°.于是猜测:三角形的内角和等于180°.
归纳探究　如图13-3-2①,将△ABC的三个内角剪下,随意将它们拼合在一起,你有几种拼合方法,经过拼合你能发现什么
拼法一:如图②,把三个角的顶点重合,观察、发现:三角形的内角和等于180°.
拼法二:如图③,过点A作一条与BC平行的直线,你能通过推理发现三角形的内角和等于180°吗
图13-3-2
[教学提示] 推理验证,主体探究,探索三角形的内角和等于180°的证明方法,培养学生思维的灵活性和创新能力.教师在引导学生对三角形的三个角进行拼合时,可以出现不同的方法,这样才能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力.在用说理的方法证明三角形的内角和定理时,教师要留给学生足够的时间和空间,充分发挥学生的主体性,让学生自主探索解决方案.若大多数学生感觉困难,可以适当引导,但要掌握一定的“度”;另外,学生可能还有其他推理方法,要及时给予评价和鼓励.证明三角形的内角和定理可以有下列几种解决方案(要求学生掌握图13-3-3中的两种证明方法,其他推理方法给学生做展示即可).
图13-3-3 图13-3-4
其他推理方法如图13-3-4.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第17页习题13.3第9题
如图13-3-5,在△ABC中,∠A=100°,∠1=∠2,∠3=∠4.求x的值.
图13-3-5
【模型建立】
在三角形中求一个角的度数,通常根据三角形的内角和定理,用180°减去另外两个角的度数.当另外两个角的度数不能确定或不便求解时,可采用整体思想,直接求另外两个角的度数之和.
【变式变形】
1.如图13-3-6,若P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,求证:∠BPC=90°+∠A.
图13-3-6
[提示:三角形两条角平分线所夹钝角的度数,等于90°与第三个角度数的一半之和;所夹锐角的度数,等于90°与第三个角度数的一半之差.这个结论在解题时经常用到]
证明:∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A.
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A.
2.应用上题结论直接解答以下题目:
①如图13-3-7,在△ABC中,O是△ABC两条角平分线的交点,∠A=40°,则∠BOC的度数为(A)
A.110° B.120° C.130° D.140°
②如图13-3-8,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB.若∠BOC=110°,则∠A=　40°　.
图13-3-7 图13-3-8 图13-3-9
3.如图13-3-9,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF交于点G.若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A的大小.[答案:∠A=80°]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用三角形的内角和定理解决角度计算问题
方法指引:三角形的内角和定理往往与三角形的高和角平分线相结合,综合互余关系和角的倍分关系,运用等量代换解决问题.
例　如图13-3-10,在△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为 (C)
图13-3-10
A.44° B.40° C.39° D.38°
【评价角度2】 根据三角形各角之间的关系求角的度数或判断三角形的形状
方法指引:此类问题主要是利用三角形的内角和定理构造方程进行计算.具体解法是根据已知条件设出适当的未知数,一般设较小的角的度数为x,其他各角的度数用含x的式子表示,根据三角形的内角和等于180°列方程解答.
例　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C的度数为 (C)
A.45° B.60° C.75° D.90°
【评价角度3】 三角形的内角和定理的证明
方法指引:三角形内角和的计算、验证,其本质就是设法把三个内角集中在一起转化为一个平角,其方法可以用拼合法,也可以用引平行线的方法.所谓引平行线的方法,即适当添加辅助线,利用平行线的性质将三角形的三个内角集中在一起.
例　已知:如图13-3-11,△ABC是任意一个三角形.求证:∠A+∠B+∠C=180°.[答案:略]
图13-3-11
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　三角形的内角和定理 授课人
学 习 目 标 1.理解“三角形的内角和等于180°”. 2.通过测量、猜想、推理等数学活动,探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性,发展合情推理能力和语言表达能力. 3.通过小组学习等活动,经历得出三角形的内角和等于180°的过程,进一步提高学生应用所学知识解决问题的能力.
学习 重点 探索三角形的内角和.
学习 难点 三角形的内角和定理的推导、验证过程.
授课 类型 新授课 课时
教具 量角器、三角板、三角形纸片若干(多媒体:PPT课件、几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 请回顾平角的定义及平行线的性质,并完成下面的填空: 已知:如图13-3-12,点B,A,E在同一直线上,∠1=∠B.求证:∠C=∠2. 图13-3-12 证明:∵∠1=∠B(　　　　), ∴AD∥BC(　　　　　　　　　). ∴∠C=∠2(　　　　　　　). 　　回顾旧知,为讲解本节课的知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 实践出真知,想一想、议一议:如图13-3-13,假如你正站在金字塔下,现有用于测量角的量角器,但为了保护文化遗产,在不允许人攀爬的情况下,你能想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗 说一说你的做法.(课件) 图13-3-13 生:看图读题,并思考怎样做,在小组内交流. 师:需要利用什么知识来解决呢 生:小组汇总意见,推荐代表发言——可以先测出侧面三角形底边上的两个角,再求出塔尖处的侧面角. 师:我们已经知道三角形按角分类,可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,那么三角形三个内角的和有什么关系呢 引入新课. 　　1.创设情境,激发学生的好奇心和求知欲,适当渗透环保知识. 2.培养学生的协作意识. 　　3.通过引导学生对三角形三角关系的探究,从而引入新课.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度 每个三角板的三个内角的和各是多少 2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角的和都相同吗 它是多少度呢 3.动动手,仔细观察: (1)拼拼看:将任意一个三角形的三个内角剪下,拼合在一起会形成什么角 (2)观察:小组内观察比较,会得到什么结论 4.你能行:你能设计一种方案来说明你的结论吗 (课件出示两种基本的说理方法) 教师点拨:三角形的内角和定理的证明方法有很多,但不管哪种方法,其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或利用平行线的性质来解题. 5.你真行:(课件演示) 几种常见的验证方法的辅助线作法. 经过师生的合作交流,归纳出如下的解题方法: 图13-3-14 6.定理　三角形的内角和等于180°. 学生活动:将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起,观察思考可以得出什么结论.分组交流与研讨,并抽一名学生说一说本组的方法. 教师活动:指导拼合形成平角.深入参与活动,指导、倾听学生交流,引导多种方法说明.在测量、拼图等感性活动的基础上,引导学生利用添加辅助线的方法说明. 　　1.进一步增强感性认识,通过动手操作、实验说明,引导学生体会理论说明的过程. 2.培养学生合作学习,降低知识学习难度,培养多元化思维,让学生体验数学活动充满探索. 3.通过对三角形的内角和定理的证明,进一步培养学生的演绎推理能力,使学生能熟练地运用演绎推理法解决问题.
【应用举例】 例1　如图13-3-15所示,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数. 图13-3-15 [答案:85°]
活动 二: 探究 与 应用 变式　在△ABC中,∠A是∠B的3倍,∠C比∠B大15°,求∠A,∠B,∠C的度数. 解:设∠B=x°,则∠A=(3x)°,∠C=(x+15)°. 由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+x+(x+15)=180,解得x=33.∴3x=99,x+15=48. 答:∠A,∠B,∠C的度数分别为99°,33°,48°. 图13-3-16 例2　图13-3-16是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢 教师要帮助学生做如下分析: (1)由C岛在A岛的北偏东50°方向,可知∠DAC=　50　°; 由B岛在A岛的北偏东80°方向,可知∠DAB=　80　°, 从而可得∠CAB=　30　°. (2)由C岛在B岛的北偏西40°方向,可知∠CBE=　40　°. (3)从图形信息,知AD与BE的位置关系是　互相平行　,由此可推出∠DAB+∠ABE=　180　°.又由∠DAB=80°,可得∠ABE=　100　°,所以∠ABC=∠ABE-∠CBE=　60　°. (4)由三角形的内角和定理,在△ABC中,有　∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=90°　. 如果不求∠ABC,能不能求∠ACB呢 ①如图13-3-16,如果过点C作CF∥AD,交AB于点F,那么CF与BE的位置关系是　互相平行　.理由:　如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行　. ②由CF∥AD可以推出∠ACF=　∠DAC　=　50　°; 又由CF∥BE可以推出∠BCF=　∠CBE　=　40　°. 从而可得∠ACB=∠ACF+∠BCF=　90　°. 教师点拨:我们会发现在后面的一种解法中,没有用到“B岛在A岛的北偏东80°方向”(即∠DAB=80°)这个条件,那么仍然采用第一种的基本思路,不添加任何辅助线,能否不用这个“多余”的条件呢 学生按照以下思路思考: (1)如图13-3-16,由AD∥BE,可得　∠BAD　+　∠ABE　=180°,即　∠BAC　+　∠DAC　+　∠ABC　+　∠CBE　=180°. 所以∠BAC+∠ABC=180°-(　∠DAC　+　∠CBE　)=180°-(　50°　+　40°　)=　90°　. (2)在△ABC中,∠ACB=180°-(　∠BAC　+　∠ABC　)=180°-　90°　=　90°　. 答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是　90°　. 教师概括并进一步点拨:这种解法应用了整体思想,是对分别求∠BAC与∠ABC的度数的孤立思维模式的一种突破. 我们不禁还要问:第一种解法明明用到了∠DAB=80°这个条件,那么它为什么没有对结果产生干扰呢 你能看出其中的奥秘吗 提示:只要把第一种解法用一个综合算式来表示,就能看出其中的奥秘. 解析:∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-(∠ABE-∠CBE)- (∠BAD-∠DAC)=180°-(180°-∠BAD-∠CBE)-(∠BAD-∠DAC)=180°-180°+∠BAD+∠CBE-∠BAD+∠DAC=∠CBE+∠DAC. 　　1.通过例题教学,使学生养成说理的思维习惯,培养逻辑论证能力. 2.设计适当的练习,使学生对刚学过的知识进行内化,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间,激发学习的积极性,建立学好数学的自信心. 3.培养学生推理的严谨性及书写的规范性. 4.通过一题多解,培养学生思维的发散性,提高对整体思想的认识.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　如图13-3-17,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,请你探索∠A和∠D的数量关系. 图13-3-17 学生小组合作、分组讨论,探索其中的数量关系. 观察图形可以发现,∠A和∠D分别在两个三角形内,利用三角形的内角和等于180°可以得到: ∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠D+∠1+∠2=180°. 又根据角平分线的定义,得2∠1=∠ABC,2∠2=∠ACB,于是有2(∠1+∠2)=∠ABC+∠ACB,所以∠ABC+∠ACB=2(180°-∠D),将其代入∠A+∠ABC+∠ACB=180°,得∠A+2(180°-∠D)=180°,整理,得∠D=90°+∠A. 变式一　如图13-3-18,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠A=60°,则∠BFC的度数为 (C) A.118°　　　　B.119°　　　　C.120°　　　　D.121° 图13-3-18 图13-3-19 变式二　如图13-3-19,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=115°,则∠A的度数是 (A) A.50° B.57.5° C.60° D.65° 　　1.应用提高,拓展创新,培养学生分析问题、解决问题的能力及创新能力. 2.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列度数的三个角中,属于同一个三角形的是 (A) A.95°,75°,10°　　　　　　　 B.60°,73°,67° C.34°,36°,50° D.25°,160°,15° 2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC是　直角　三角形. 3.在△ABC中,若∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=　60°　,∠B=　50°　,∠C=　70°　. 4.如图13-3-20所示,∠1=　60　°,∠2=　35　°,∠3=　90　°. 图13-3-20 　　当堂训练,及时反馈学习效果.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 通过本节课的学习,你在知识上有哪些收获 你是通过什么方法获得这些知识的 本节课的主要内容有: (1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°. (2)求一个角的度数的方法:将所求角设法转化到三角形中,利用三角形的内角和等于180°来解题. (3)求一个角的度数的技巧:适当地设出未知数,利用方程思想来解题. 　　1.复习巩固本节课的知识,学会总结反思,初步学会自我评价. 2.培养学生对数学知识的归纳能力及对知识点概括的语言表达能力,鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的设计先让学生动手操作以便使学生对三角形的内角和有一定的感性认识,然后再根据拼图说出结论成立的理由,由浅入深,循序渐进,学生易接受.教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合,可以出现不同的方法,这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力. ②[讲授效果反思] 组织学生进行探索或分组讨论,经过讨论找到不同的解决方法.在解决问题的过程中,关注学生在推理过程中语言使用的准确性,引导学生用规范的格式进行书写. ③[师生互动反思] 无论是例题还是习题的教学,均采用“尝试——交流——讨论”的方式,充分发挥学生的主体性,教师起引导、点拨的作用. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.
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