13.3.1 第2课时 直角三角形中两锐角的关系【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

第2课时　直角三角形中两锐角的关系
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
图13-3-21
实际情境　如图13-3-21,将一根旗杆MN竖直固定在地面上,为了安全起见,在旗杆的点A处安装拉线,使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN=58°,为了保证角度准确,在地面固定拉线端点B时,应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少
[教学提示] 直角三角形在日常生活中很常见,此问题情境的设置既体现了几何知识在实际生活中的应用,又能激发学生的学习兴趣,并引出本节课所学知识.
1.对问题情境进行抽象概括,得到直角三角形的基本图形,由“旗杆MN竖直固定在地面上”可知∠ANB=90°,即△ABN是一个直角三角形,则问题转化为:在这个直角三角形中,当∠ABN等于多少度时,可使∠BAN=58°
2.学生可以结合三角形内角和的知识解答,体现了新旧知识之间的联系,应用本节所学知识“直角三角形的两个锐角互余”解答更显简洁,表明了本节所学知识是三角形的内角和定理的“衍生品”(推论),应用推论解某些题时比用原定理更加方便.
类比探究　我们学习几何知识,经常先学习一般图形,再重点学习特殊图形,比如先学习两角和的计算,再重点学习互余、互补;先学习两条直线相交,再重点学习两条直线垂直;先学习任意图形中的“三线八角”,再重点学习平行线中的“三线八角”,学习三角形也是一样的“套路”,先学习一般的三角形,再重点学习特殊的三角形,那么“特殊的三角形”有哪些呢
[教学提示] 通过对教材知识体系的编排,让学生明白学习几何知识的“一般套路”.
1.学生可以说出直角三角形、等腰三角形、等边三角形等“特殊的三角形”,教师要适时地指出:我们今天重点学习直角三角形,同学们提出的其他“特殊的三角形”,今后还要继续学习.
2.教师列举出几个“一般——特殊”的知识体系后,可以让学生仿照说出几个类似的例子.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第14页练习第1题
如图13-3-22,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系 为什么
【模型建立】
直角三角形的两个锐角互余,反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形.
【变式变形】
1.如图13-3-22,条件不变,试找出图中互余的角共有多少对,有哪些锐角相等
[答案:4对,∠A=∠BCD,∠ACD=∠B]
图13-3-22 图13-3-23
2.将一个含30°角的三角尺和一把直尺如图13-3-23放置.若∠α=43°,则∠β的度数是 (B)
A.43° B.47° C.30° D.60°
3.如图13-3-24,在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C,D,∠1=∠2,有下列结论:(1)AC∥DE;(2)∠A=∠3;(3)∠B=∠1;(4)∠B与∠2互余;(5)∠A=∠2.其中正确的有　(1)(2)(3)　(填写所有正确结论的序号).
图13-3-24 图13-3-25
4.如图13-3-25所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC上一点,连接AD.若∠1=∠2,试判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
[答案:AD⊥BC　理由略]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用直角三角形的两个锐角互余计算
方法指引:利用直角三角形的两个锐角互余这一性质解题的前提是在直角三角形中.注意结合“同角或等角的余角相等”找出更多角的关系,从而解决有关角度的问题.
例1　在△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=70°,则∠A的度数为 (A)
A.80° B.70° C.60° D.50°
例2　如图13-3-26,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=36°,∠C=76°,求∠DAF的度数.
图13-3-26
[答案:20°]
【评价角度2】 直角三角形的判定
方法指引:判定一个三角形是直角三角形的方法:(1)根据定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形;(2)根据性质:有两个角互余的三角形是直角三角形.
例　已知:如图13-3-27,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P.求证:△PEF是直角三角形.
图13-3-27
证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.
∵∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P,
∴∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠EFD.
∴∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠EFD)=90°.
∴△PEF是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形).
第2课时　直角三角形中两锐角的关系
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　直角三角形中两锐角的关系 授课人
学 习 目 标 1.掌握直角三角形的性质及判定. 2.通过观察、操作、证明等数学活动,研究直角三角形的特征,发展学生几何直观与演绎推理能力. 3.综合直角三角形的性质及判定解决具体问题,提高学生分析问题和解决问题的能力. 4.在小组学习中培养学生合作交流、互助协作的良好习惯.
学习 重点 直角三角形中两锐角的关系.
学习 难点 识别基本图形,正确应用直角三角形的特征解题.
授课 类型 新授课 课时
教具 量角器、三角板、直角三角形纸片若干(多媒体:PPT课件,几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.三角形的内角和定理的内容是什么 2.我们研究三角形的内角和定理采用了哪些方法 引导学生回顾探索三角形的内角和定理的过程,回忆各个环节所采取的方式方法. 　　为本节课所学内容做知识和方法的准备,为后续学习做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.我们学习几何知识,通常先学习一般图形,再学习特殊图形,上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质,就是三角形的内角和定理,它反映了三角形三个内角之间的关系,今天我们学习有一个特殊内角的三角形——直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图13-3-28所示的直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 图13-3-28 2.直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢 换言之,三角形的内角和定理适用于直角三角形吗 直角三角形的内角之间还有什么独特的性质呢 (导出并板书课题) 3.教师用几何画板演示(度数的测量精确到“度”,保留整数): (1)把一个任意三角形的一个角变为直角,观察三个角的度数有何变化; (2)改变一个直角三角形的两个锐角的度数,观察这两个锐角的度数有何变化. 　　1.通过新旧知识的衔接,沟通知识之间的联系. 2.几何画板的演示能形象、直观、即时地反映三角形各内角的度数变化,吸引学生注意力,并启发学生思考.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】直角三角形的性质 已知:如图13-3-29,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°. 图13-3-29 证明:∵∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角, ∴∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠C=90°, ∴∠A+∠B+90°=180°. ∴∠A+∠B=180°-90°=90°. 结论:直角三角形的两个锐角互余.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】直角三角形的判定 教师提问:把以上推论的题设和结论反过来,即得“有两个角互余的三角形是直角三角形”,这个命题成立吗 请证明. 学生活动:独立画图,写出已知、求证,并证明. 教师点拨:在没有证明三角形是直角三角形之前,不能默认它是直角三角形,比如:不能给三角形标注直角符号. 参考答案: 已知:如图13-3-30,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形. 图13-3-30 证明:∵∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角, ∴∠A+∠B+∠C=180°. ∵∠A+∠B=90°, ∴90°+∠C=180°. ∴∠C=90°. ∴△ABC是直角三角形. 　　渗透逆定理思想,让学生对互逆命题和互逆定理有一个初步的感性认识,暂不出现这两个概念.
【应用举例】 例1　如图13-3-31所示,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 图13-3-31 [答案:∠CAE=∠DBE] 变式一　如图13-3-32,在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,BD⊥AE,交AE的延长线于点D.若∠1=24°,则∠EAB等于 (C) A.66°　　　　　B.33°　　　　　C.24°　　　　　D.12° 图13-3-32 图13-3-33 变式二　如图13-3-33,在△ABC中,CE,BF是两条高.若∠A=70°,∠BCE=30°,则∠EBF的度数是　20°　,∠FBC的度数是　40°　. 变式三　如图13-3-34所示,DH⊥AB于点 H,AC⊥BD于点C,DH与AC相交于点E.仔细观察图形,回答以下问题: (1)图中有几个直角三角形 (2)∠AEH和∠B有什么关系 为什么 (3)若∠B=70°,∠A和∠CED各是多少度 图13-3-34 [答案:(1)4个　(2)∠AEH=∠B　理由略　 (3)∠A=20°　∠CED=70°] 　　1.强化对基本图形的认识,能从比较复杂的图形中分解出基本图形,或者把不完整的图形补充成基本图形. 2.巩固提高应用直角三角形的性质解决具体问题的能力. 3.培养学生推理的严谨性和书写的规范性.
活动 二: 探究 与 应用 例2　如图13-3-35,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AB,AC上,且∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗 为什么 解:△ADE是直角三角形. 图13-3-35 理由:在Rt△ABC中,∵∠C=90°, ∴∠2+∠A=90°. ∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°. ∴△ADE是直角三角形. 学生活动:以学生独立思考解答为主,若遇到困难的可以同桌讨论解决.分别找三名同学板演解题过程,或使用视频展台展示三名同学的解答过程,师生共同订正完善.
【拓展提升】 例3　如图13-3-36,AB,ED均垂直于BD,垂足分别是B,D,点C在BD上,且∠ACB=∠CED.求证:△ACE是直角三角形. 图13-3-36 证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD, ∴∠ABC=∠CDE=90°. ∴∠CED+∠DCE=90°. ∵∠ACB=∠CED,∴∠ACB+∠DCE=90°. 又∵∠ACB+∠DCE+∠ACE=180°, ∴∠ACE=90°. ∴△ACE是直角三角形. 　　1.在小组合作过程中,培养互助精神和团队意识. 2.提高学生对新知识的综合应用能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图13-3-37,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论中错误的是 (B) 图13-3-37 A.图中有三个直角三角形　　　　B.∠1=∠2 C.∠1和∠B都是∠A的余角 D.∠2=∠A 2.如图13-3-38,已知AB⊥BD,AC⊥CD,垂足分别为B,C.若∠A=40°,则∠D的度数为 (A) 图13-3-38 A.40°　　　　　B.50°　　　　　C.60°　　　　　D.70° 3.在△ABC中,有下列条件:①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=90°-∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的有 (C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图13-3-39,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,∠1=50°,则∠B的度数为 (D) 图13-3-39 A.50° B.60° C.30° D.40° 　　选题紧紧围绕课堂中解决的主要问题,当堂训练,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 5.如图13-3-40,点C,B,D在同一条直线上,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,△ABD是直角三角形吗 为什么 图13-3-40 解:△ABD是直角三角形.理由如下: ∵CE⊥AD,∴∠CED=90°, ∴∠C+∠D=90°. ∵∠A=∠C, ∴∠A+∠D=90°. ∴△ABD是直角三角形.
【课堂总结】 本节课上,同学们学到了什么知识 还学到了探索几何知识的哪些方法 本节课的主要学习内容是直角三角形中两个锐角的关系,以及如何利用三角形中两个角的关系判定直角三角形,它们分别反映了直角三角形的性质和判定,即“直角三角形的两个锐角互余”,以及“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 　　1.复习巩固本节课所学知识,及时进行总结反思. 2.通过数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识. 3.教材中题目相对较少,故增设分层作业,适合不同层次的学生,便于进行合理的自我评价.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的学习是建立在三角形的内角和定理基础之上的,所以开始以三角形的内角和定理的内容和学习方法导入新课;通过三角形的内角和定理推导直角三角形中两锐角的关系顺畅自然,适合绝大多数学生.应用举例中的变式训练和基本图形,以及当堂训练,都强化了重点知识的学习,突出了数学学习的本质特征. ②[讲授效果反思] 在选题上,力求精当,特别是变式题组,逐步深化,达到提纲挈领、举一反三的效果,提高了课堂教学的效率.在课堂的组织形式上,自主学习与小组合作按需设置,既锻炼了学生的独立思考能力,又培养了团结共享意识. ③[师生互动反思] 在学生独立思考过程中,教师极少干预,给学生提供安静的思考空间;在小组讨论时,教师实时参与,了解学生的突出问题,发现典型解法,为展示交流做好准备;发表意见与见解的主体是学生,教师在关键处点拨提升,促进对知识理解程度的提高与升华. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.