14.1　全等三角形及其性质【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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第十四章　全等三角形
备单元
【教学提示】
　　图形的性质的教学.需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果.要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.
【内容要求】
1.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.
5.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
6.理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【学业要求】
在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,经历得到和验证数学结论的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,形成几何直观和推理能力.
14.1　全等三角形及其性质
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
置疑探究　1.师生各自展示课前收集到的形状、大小相同的实物图形及自制的三角形模型.
2.教师演示课件(动态展示下面四组图案),提出问题,学生观察思考、相互交流.
(1)图14-1-1①中两张照片的形状、大小相同吗 放在一起能完全重合吗
(2)图②中两张照片的形状、大小相同吗 放在一起能完全重合吗
(3)图③中球门框上相对的两个四边形形状、大小相同吗 放在一起能完全重合吗
(4)图④中同种颜色的三角形形状、大小相同吗 放在一起能完全重合吗
图14-1-1
[教学提示] 本环节意在说明现实生活中存在着大量形状、大小相同的图形.在选材上选择贴近学生生活的图片激发学生探究的兴趣,为全等形的学习做铺垫.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第31页习题14.1第4题
如图14-1-2,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG是最长边.在△NMH中,MH是最长边,且EF=2.1,EH=1.1,NH=3.3.
图14-1-2
(1)写出其他对应边及对应角;
(2)求线段NM及线段HG的长度.
【模型建立】
解决此类问题要知道全等三角形的对应角、对应边相等,同时要发挥空间想象能力,准确找出全等的两个三角形是解决这类问题的关键.
【变式变形】
1.如图14-1-3,△ABC≌△DEF,点A和点D,点C和点F是对应顶点,若BE=4,AE=1,则DE的长是 (A)
A.5 B.4 C.3 D.2
图14-1-3 图14-1-4
2.如图14-1-4所示,△ABC≌△EBD,AB和EB,BC和BD是对应边,若∠ABE=60°,则∠CBD=　60°　.
3.如图14-1-5,△ACE≌△DBF,点A和点D,点B和点C是对应顶点,AD=10,BC=4.
(1)求AC,AB的长;
(2)求证:AE∥DF.
[答案:(1)AC=7,AB=3　(2)略]
图14-1-5 图14-1-6
4.如图14-1-6所示,已知△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角.
(1)写出其他对应角和对应边;
(2)请说明∠1=∠2的理由.
[答案:(1)其他对应角是∠1和∠2,∠ABC和∠DCB;其他对应边是AC和DB,BC和CB　(2)略]
5.如图14-1-7,△ABC≌△CDA,求证:AD∥BC,AB∥DC.
图14-1-7
[答案:略]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用全等形的概念进行全等图形的识别
方法指引:两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关,与图形所在的位置无关,只要把它们叠放在一起,看是否重合,重合即为全等形.
例　如图14-1-8所示,各组的两个图形属于全等形的是 (D)
图14-1-8
【评价角度2】 利用全等三角形的定义找全等三角形的对应元素
方法指引:找对应边、对应角的方法:(1)在两个全等三角形中最长边对最长边,最短边对最短边,最大角对最大角,最小角对最小角;(2)对应角的对边为对应边,对应边的对角为对应角;(3)重合的边(角)是对应边(角),公共边(角)是对应边(角),对顶角是对应角.
注意:对应边与对边,对应角与对角不同,对应边和对应角是相对两个全等三角形而言的,是两条边、两个角的关系;而对边与对角则是指一个三角形中的边与角的位置关系.
例　如图14-1-9所示,△ABC≌△DEF,点A和点D,点B和点E是对应顶点,AC和DE相交于点O,说出两个三角形中的对应边和对应角,除此之外还有其他相等的线段和角吗
图14-1-9
解:对应边:AC和DF,BC和EF,AB和DE.
对应角:∠B和∠DEF,∠ACB和∠F,∠A和∠D.
其他相等的线段:BE=CF.
其他相等的角:∠AOE=∠DOC,∠A=∠EOC,∠D=∠EOC,∠AOD=∠EOC,∠A=∠AOD,∠D=∠AOD.
【评价角度3】 利用全等三角形的性质解决线段或角的问题
方法指引:全等三角形的性质:对应角、对应边相等,周长相等、面积相等.全等三角形的性质的用途:(1)求角的度数;(2)说明两个角相等;(3)求线段的长度;(4)说明两条线段相等;(5)判断两条直线的位置关系.
例　已知△ABC≌△DEF,且∠A=48°,∠B=32°,DE=5 cm,试求∠F的度数与AB的长.
[答案:∠F=100°　AB=5 cm]
　　【评价角度4】 利用全等变换解决问题
方法指引:一个图形经过平移、翻折、旋转后,其形状、大小没有改变,所以变换前后的图形是全等的.一个三角形经过一次或几次、一种或几种图形变换后,得到的另一个三角形位置情况比较多,如图14-1-10中列举的几种常见情况,找出对应边和对应角,即可结合全等三角形的性质解决问题.
图14-1-10
例　如图14-1-11所示,△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE,且∠ABC=90°.
(1)△ABC和△DBE是否全等 若全等,指出对应边和对应角;
(2)直线AC,DE有怎样的位置关系
图14-1-11
[答案:(1)△ABC≌△DBE
对应边:AB与DB,BC与BE,AC与DE
对应角:∠A与∠D,∠ABC与∠DBE,∠ACB与∠E
(2)直线AC与DE互相垂直]
　　【评价角度5】 全等三角形中的操作问题
方法指引:解决全等三角形中的操作问题,要亲自动手去做一做,把实际问题抽象成数学图形.图形经过翻折、平移、旋转,然后根据全等三角形的性质,得到重合的角相等、重合的边相等.
例　两块大小一样的含30°角的三角板放在桌面上,可以拼出各种不同的图形,如图14-1-12所示的四个图形都满足条件:
(1)每两个三角形的三个顶点至少有一个重合;
(2)每两个三角形的三条边中至少有一条边重合或部分重合.
请你拼出更多的图形,并画出这些图形(画2个即可).
图14-1-12
解:答案不唯一,如图14-1-13所示.
图14-1-13
14.1　全等三角形及其性质
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 14.1　全等三角形及其性质 授课人
学 习 目 标 1.理解全等三角形及相关概念,能够从图形中寻找全等三角形. 2.了解并体会图形变换的思想,培养动态地研究几何图形的意识. 3.探索并掌握全等三角形的性质,能够利用性质解决简单的问题. 4.培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识.
学习 重点 　　全等三角形的有关概念和性质.
学习 难点 　　理解全等三角形边、角之间的对应关系.
授课 类型 新授课 课时
教具 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀(多媒体课件)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 观察这些图片,你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗 图14-1-14 操作并交流:将两张纸重叠在一起,剪出两个三角形,观察它们的特征,你有何发现 学生活动:先进行剪纸操作活动,然后观察思考,再与同学合作交流. 讨论交流:同学们,像上述这样“一模一样”的例子,生活中还有许多,你能再举出一些例子吗 学生活动:分组讨论交流. 教师点拨:像这种“一模一样”的两个图形称为全等形,本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识. 　　1.创设情境,激发学生兴趣,引出本节要讨论的内容.丰富的图形和问题容易引起学生的注意,使他们能很快地投入到学习的情境中. 2.观察出示的图形,寻找形状、大小相同的图形,归纳全等形的概念,进而得出全等三角形的概念.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 全等形与全等三角形 问题1:观察思考:每组中的两个图形有什么特点 图14-1-15 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 练一练:下面哪些图形是全等形 图14-1-16 问题2:同学们能够根据全等形的定义给全等三角形也下一个定义吗 如图14-1-17,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF. 图14-1-17 如图14-1-18,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC. 图14-1-18 　　1.本活动主要是加深学生对全等三角形概念的理解,以及动手操作能力的培养.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 如图14-1-19,把△ABC绕点A旋转,得到△ADE. 图14-1-19 思考:各图中的两个三角形全等吗 结论:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 如图14-1-20,把两个全等的三角形重合到一起,点A与点D重合,点B与点E重合,我们把这样互相重合的顶点叫作对应顶点;AB边与DE边重合,我们把这样互相重合的边叫作对应边;∠A与∠D重合,我们把这样互相重合的角叫作对应角.△ABC与△DEF全等,我们把它记作“△ABC≌△DEF”,读作“△ABC全等于△DEF”. 图14-1-20 注意:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 问题3:你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗 点C与点F是对应顶点;BC边与EF边是对应边,CA边与FD边也是对应边;∠B与∠E是对应角,∠C与∠F也是对应角. 总结归纳:确定全等三角形对应元素的“三种方法”: (1)根据书写规范,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,故可按照对应顶点的位置确定对应元素. 如:△ABC≌△DEF,则AB和DE,AC和DF,BC和EF是对应边,∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角. (2)图形位置法:①公共边一定是对应边;②公共角一定是对应角;③对顶角一定是对应角. (3)图形大小法:最大边与最大边(最小边与最小边)为对应边;最大角与最大角(最小角与最小角)为对应角;对应角的对边为对应边;对应边的对角为对应角. 探究归纳:寻找对应边、对应角有什么规律 请利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角的图形.试用全等符号表示它们,分析每个图形,找出对应边、对应角. 1.有公共边 图14-1-21 2.有公共顶点 图14-1-22 　　2.经过观察、操作可以发现,全等三角形可以经过平移、翻折、旋转得到.
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 全等三角形的性质 学生观察两个全等三角形,教师引导学生利用全等三角形的定义可得到下列性质: 1.全等三角形的对应边相等; 2.全等三角形的对应角相等; 3.全等三角形的周长、面积分别相等; 4.全等于同一个三角形的两个三角形全等. 教师引导学生口述它们的推理格式. 几何语言: ∵△ABC≌△FDE, ∴AB=FD,AC=FE,BC=DE(全等三角形的对应边相等), ∠A=∠F,∠B=∠D,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等). 　　3.教师要组织学生观察、归纳,引导学生归纳全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
【应用举例】 例1　如图14-1-23,△ABC≌△BDE,∠A和∠EBD,∠C和∠E是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组对应角. 图14-1-23 解:对应边是AC与BE,AB与BD,BC与DE;另一组对应角是∠ABC与∠D. 教师点拨:对应边可由对应角来确定,对应角可由对应边来确定. 学生活动:在教师的点拨和引导下,学生自主探究出答案. 变式　如图14-1-24,△ABN≌△ACM,AB和AC是对应边,∠B和∠C是对应角.写出其他对应边和对应角. 图14-1-24 解:其他对应边是AN与AM,BN与CM;其他对应角是∠NAB与∠MAC,∠BNA与∠CMA. 例2　如图14-1-25,△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,∠BAC=65°,∠ABC=26°,AC,BD的延长线相交于点E.求∠CBD,∠E的度数. 图14-1-25 解:∵△ABC≌△BAD, ∴∠ABD=∠BAC=65°. ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°. 在△AEB中,∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°, ∴∠E=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50°. 注意事项: 1.上面的题目考查全等三角形的性质,向学生渗透了将未知转化为已知的转化思想. 2.在合作探究环节中,教师要关注学生在展示过程中出现的问题,并及时予以点拨. 3.找全等三角形的对应元素的方法,注意挖掘图中隐含的条件, 如公共元素、对顶角等,要注意公共顶点有时不一定是对应顶点,在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式. 　　1.通过例题及变式,提高学生对全等三角形对应关系的理解及应用能力,提高学生观察图形的能力. 2.使学生明确:计算一条边的长度或一个角的度数时,可以借助全等三角形将其转化为它的等边或等角来计算. 3.学生分组合作探究,每个小组讨论完成后,给出答案并进行展示,让学生上台说明,培养学生的总结能力以及大胆发言的良好习惯.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　如图14-1-26,△ABC≌△DEC,CA和CD,CB和CE是对应边.∠ACD和∠BCE相等吗 为什么 图14-1-26 解:相等.理由如下: ∵△ABC≌△DEC, ∴∠ACB=∠DCE. ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE, 即∠ACD=∠BCE. 　　检验学生对全等三角形性质的应用能力,感悟全等三角形性质应用的广泛性.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列图形中,是全等形的是 (B) 图14-1-27 2.如图14-1-28所示,△ABC≌△CDA,AB与CD是对应边,则下列说法错误的是 (C) A.∠1与∠2是对应角　　 　　B.∠B与∠D是对应角 C.BC与AC是对应边 D.AC与CA是对应边 图14-1-28 图14-1-29 3.如图14-1-29,△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=5 cm,BD=4 cm,AD=6 cm,那么BC的长是 (A) A.6 cm　　　　B.5 cm　　　　C.4 cm　　　　D.无法确定 4.如图14-1-30,△ABC≌△ADE,若∠D=∠B,∠C=∠E,则∠DAE=　∠BAC　,∠DAB=　∠EAC　. 图14-1-30 图14-1-31 5.如图14-1-31,△ABC≌△DEF,点A和点D,点B和点E是对应顶点,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长. 解:∵△ABC≌△DEF,∠B=50°,EF=7, ∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7. ∴CF=BC-BF=7-4=3. 　　当堂训练,及时反馈学习效果,巩固全等形的概念和性质.分层设计课堂练习,体现了对学生的因材施教,让不同层次的学生各有所得.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 1.同学们想一想,今天学习了哪些知识 2.为什么全等三角形的对应边相等、对应角相等 引导学生回顾自己的学习过程,畅所欲言,进一步进行反思、提炼、归纳知识,并纳入自己的知识结构中.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课由于采用了图片展示、直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处:少数学生在分组活动时的积极性不高,有滥竽充数的现象,今后的教学中有待进一步改进和完善学生的分组活动.教师要充分利用重合说明全等三角形的对应边相等、对应角相等. ②[讲授效果反思] 通过具体练习,让学生总结,并带领学生快速寻找对应元素,练习的设计采用由易到难的方法,符合学生的思维发展,突破了本节课的重点和难点.真正做到以生为本,突出效率教学.而在练习中,让学生使用数学推理的格式,使学生熟悉这种推理方法. ③[师生互动反思] 教师要帮助学生总结:由于两个三角形的位置关系不同,在找对应边、对应角时,可以针对两个三角形不同的位置关系,寻找对应边、对应角的规律.学生回顾本节知识时,教师要注意组织学生谈个人收获,师生要共同交流. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,进一步提升教师教学能力.
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