14.2.2 三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
悬念激趣　创设情境:
图14-2-34
一天,小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块,为了换一块完全一样的玻璃,他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店,小明的想法可行吗 若可行,你认为小明应该带哪块玻璃去玻璃店呢 为什么 请同学们讨论一下.(思考后请同学们回答)
[教学提示] 创设学生所熟悉的、鲜活的生活情境,从学生已有的生活经验和知识体验开始导入新课,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生回答后,教师应给予鼓励,对回答的正确与否不做解释与评价,留一个悬念而后展开新课.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第45页习题14.2第15题
如图14-2-35,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证:AB=DE,AC=DF.
【模型建立】
(1)证明两条线段相等,可证它们所在的两个三角形全等;(2)由两直线平行可得同位角相等或者内错角相等或者同旁内角互补;(3)若能证明两个三角形的两组角分别相等,则证明两个三角形全等时,应选择判定方法“ASA”或“AAS”.
图14-2-35 图14-2-36
【变式变形】
1.如图14-2-36,已知AE=CF,∠A=∠C,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是 (C)
A.∠D=∠B B.AD=CB C.BE=DF D.∠AFD=∠CEB
2.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.
求证:FB=CE.[提示:利用“AAS”证明△ABC≌△DEF]
3.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,FB=CE,AB∥DE.
求证:AC∥DF.[提示:利用“SAS”证明△ABC≌△DEF]
图14-2-37 图14-2-38
4.如图14-2-38,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
求证:△ABC≌△DEF.[提示:利用“ASA”证明△ABC≌△DEF]
5.如图14-2-39,已知点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE.
(1)写出图中所有全等的三角形;
(2)选择其中一对进行证明.
图14-2-39
[答案:(1)△AFD≌△CEB,△ABC≌△CDA,△ABE≌△CDF　(2)略]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用“角边角”或“角角边”证明两个三角形全等
方法指引:(1)已知两个三角形的两组角分别相等,要证明这两个三角形全等,应选择判定方法“ASA”或“AAS”;(2)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,要注意题目的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等;(3)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,经常与平行线结合,利用平行线的性质得到两角相等或互补,再证明全等.
　　例　如图14-2-40,在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.求证:△ABC≌△DEC.
图14-2-40
证明:如图14-2-41,∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠3+∠4=∠4+∠5.∴∠3=∠5.
在△ACD中,∵∠ACD=90°,∴∠2+∠D=90°.
图14-2-41
∵∠BAE=∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠D.
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(AAS).
【评价角度2】 利用三角形全等证明线段(或角)相等
方法指引:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.证三角形全等时,缺少的条件有时需要另一对全等三角形来提供.证线段(或角)相等往往转化为证线段(或角)所在的两个三角形全等,当需要证的两个三角形不满足全等的条件时,还需要添加辅助线,构造出全等三角形.
例　已知:如图14-2-42所示,∠ACB=∠CBD=90°,点E在BC边上,过点C作CF⊥AE于点F,延长CF交BD于点D,且CD=AE.
图14-2-42
求证:AC=BC.
[答案:略]
【评价角度3】 利用全等三角形的判定与性质求线段长或角度
方法指引:通常先判定两个三角形全等,再利用全等三角形的性质确定线段(或角)之间的相等关系,最后将所求线段(或角)转化为已知量进行计算,解题步骤中体现了转化思想的具体应用.
例　如图14-2-43,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8,CF=5,求BD的长.
图14-2-43
[答案:3]
【评价角度4】 利用全等三角形证明线段的和差问题
方法指引:当一个图形中有多个垂直关系时,常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等.证明线段的和差问题通常采用的方法有等量代换法和截长补短法.
例　如图14-2-44所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点A任作一条直线AN,分别过点B,C作BD⊥AN于点D,CE⊥AN于点E.求证:DE=BD-CE.
图14-2-44
证明:∵∠BAC=90°,BD⊥AN,
∴∠BAD+∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=90°.
∴∠CAE=∠ABD.
∵BD⊥AN,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°.
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,AD=CE(全等三角形的对应边相等).
∵DE=AE-AD,∴DE=BD-CE.
三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”) 授课人
学 习 目 标 1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等. 2.使学生经历探究三角形全等的条件的过程;体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 3.会用“角边角”“角角边”解决具体问题;能利用全等解决角相等和线段相等的问题. 4.培养学生严谨的推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
学习 重点 应用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.
学习 难点 把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角板、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图14-2-45,一个教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了,你能制作一张和原来一样的三角形硬纸板吗 图14-2-45 　　1.创造性的问题设计使学生快速集中精力,调整听课状态. 2.知识的呈现过程与学生的生活密切联系起来,学有用的数学,激发学生的学习兴趣.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 利用“ASA”判定两个三角形全等 思考: 1.在△ABC中,如果AB,∠A,∠B的大小确定了,那么△ABC的形状、大小确定了吗 (确定了) 2.如图14-2-46,在△A'B'C'和△ABC中,如果A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C'≌△ABC,这个判断正确吗 图14-2-46 学生活动:动手操作,感知问题的规律. 作法:(1)如图14-2-47,由A'B'=AB可知,如果使点A与点A'重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合. 图14-2-47 (2)由∠A'=∠A,∠B'=∠B,可知射线A'C'与射线AC,射线B'C'与射线BC重合. (3)射线A'C',B'C'的交点C'与射线AC,BC的交点C重合. 结论:△A'B'C'≌△ABC成立. 3.再换两个三角形试一下,结论是否仍然成立呢 4.你能用语言描述上面的基本事实吗 探究规律:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言: 如图14-2-48,在△ABC和△A'B'C'中, 图14-2-48 ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 【探究2】 利用“AAS”判定两个三角形全等 思考:如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等,那么这两个三角形全等吗 我们发现:已知两个三角形的两角分别相等,那么它们的第三个角也相等.如图14-2-49,在△A'B'C'和△ABC中,如果∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么∠C'=∠C,你知道为什么吗 图14-2-49 学生回答: 根据三角形的内角和定理,得∠C'=180°-∠A'-∠B', ∠C=180°-∠A-∠B. 又∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴∠C'=∠C. 教师提问:如图14-2-50,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C',△ABC与△A'B'C'全等吗 图14-2-50 　　让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析问题、探究问题的能力,合作和竞争的意识,体会合作交流的重要性.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 学生活动:运用三角形的内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△A'B'C',并且归纳如下: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言: 如图14-2-51,在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS). 图14-2-51
【应用举例】 例1　如图14-2-52,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.[答案:略] 图14-2-52 教师活动:引导学生,分析例题.关键是寻找和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE. 师生互动:先让学生独立思考,再互相讨论、交流,然后引导学生分析已知条件,以及判定两个三角形全等还需要的条件,写出判定两个三角形全等的过程. 例2　如图14-2-53,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,且∠1=∠2.求证:AB=AD. 图14-2-53 证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°. 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(AAS).∴AB=AD. 变式　如图14-2-54,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.求证:△BOD≌△COE. 图14-2-54 [答案:略] 教师点拨:由已知条件容易得到:∠BOD=∠COE,∠BDO=∠CEO,因此,要证明△BOD≌△COE还差一组边相等,由于AB=AC,所以可考虑证明BD=CE. 学生活动:在教师的点拨和引导下,学生自主探究答案. 　　1.培养学生的逻辑推理能力和独立思考的能力,会利用 “ASA”“AAS”判定两个三角形全等,规范书写证明过程. 2.培养学生的符号感,体会数学知识的严谨性.
【拓展提升】 例3　如图14-2-55,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,求BE的长. 图14-2-55 [答案:BE=0.8 cm] 注意事项: 在合作探究环节中,教师要关注学生在展示过程中出现的问题,并及时予以点拨. 　　巩固本节课所学知识,提升学生综合应用所学知识解决问题的能力.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-56,甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是(D) 图14-2-56 A.只有乙　　　B.只有丙　　　C.甲和乙　　　D.乙和丙 2.如图14-2-57,已知∠1=∠2,BE=CD,根据“　AAS　”可知△ABE≌△ACD.若AB=5,AE=2,则CE=　3　. 图14-2-57 图14-2-58 3.如图14-2-58,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,求证:△ABC≌△DCB. 证明:在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(ASA). 图14-2-59 4.如图14-2-59,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使CD=BC,再画出BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线上,这时测得DE的长度就是AB的长.为什么 [提示:证明△EDC≌△ABC] 　　当堂训练,及时反馈学习效果.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入要注意培养学生的逻辑推理能力、语言表达能力,规范书写证明过程.课堂总结中,对学过的全等三角形的判定方法进行总结,形成知识结构示意图,沟通知识联系,构建知识体系. ②[讲授效果反思] 教学中应使学生正确地理解全等三角形的判定方法,并能用它来解决实际问题.教师应注意及时了解学生掌握全等三角形判定方法的情况. ③[师生互动反思] 本节课通过生活情境引入问题,让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件.整个探索过程,不仅是教师引导学生的过程,同时也是教师从学生的角度考虑问题、顾及全面、充分准备好自己的心理提升. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　通过反思,更进一步提升教师的教学能力.
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