14.3.1 角的平分线的画法及性质【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的画法及性质
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　如图14-3-1是小明制作的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用测量就知道AC是∠DAB的平分线,你知道其中的道理吗
图14-3-1
[教学提示] 以生活中的实例引入,充分调动学生的学习兴趣,也体现了数学来源于生活.教师注意引导学生从三角形全等的角度说明,教师要充分利用此例揭示角平分线的作法.
置疑探究　用折纸的方法作角平分线时,将∠AOB对折,再折出直角三角形,然后展开(如图14-3-2所示),观察两个直角三角形,它们全等吗 两条直角边PD,PE与该角的两边有什么关系 你能归纳角平分线的性质吗 你能证明这个性质吗 请用数学语言描述此性质.
图14-3-2
[教学提示] 动手折纸使学生从实践中发现角平分线的作图方法及性质,培养学生分析问题、解决问题的能力.通过问题的设计培养学生的概括能力.首先激发兴趣,运用教具(或动画)直观地进行讲述,提出探究的问题.学生小组讨论后得出:根据三角形全等的判定方法“边边边”,可以说明角的平分线上的点到角两边的距离相等.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 角的平分线的作图
方法指引:根据题目要求,利用尺规作图的方法作一个角的平分线,其依据是全等三角形的判定方法“SSS”.尺规作图要注意保留作图痕迹,并能根据作图痕迹判断所作图形为角的平分线.
例1　如图14-3-3,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.则∠ADC的度数为 (C)
图14-3-3
A.40° B.55° C.65° D.75°
例2　如图14-3-4,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径作弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=1.5,AC=5,则△ACD的面积是　3.75　.
图14-3-4 图14-3-5
例3　如图14-3-5,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径作弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为　2a+b=-1　.
【评价角度2】 利用角的平分线的性质解决有关问题
方法指引:角的平分线的性质的应用一定要同时满足两个条件:①有角的平分线上的点,②有点到角两边的距离(垂线段)时,才有结论:距离相等.利用角的平分线的性质解决问题的关键:寻找角的平分线上的一点到角两边的垂线段.
若已知条件存在这两条垂线段——直接考虑垂线段相等;
若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段;
若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段.
例1　如图14-3-6所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积为 (C)
A.30 B.24 C.15 D.10
变式　如图14-3-7,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　4∶5∶6　.
图14-3-6 图14-3-7
例2　如图14-3-8,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,点E,G分别在AB,AC上,且DE=DG.若△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为　6.5　.
图14-3-8
例3　如图14-3-9,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.[提示:先利用“SAS”证明△ABD≌△CBD,得到∠ADB=∠CDB,再由角的平分线的性质定理得到PM=PN]
图14-3-9 图14-3-10
变式　如图14-3-10,在Rt△ABC中,I为△ABC各内角平分线的交点,过点I作BC的垂线,垂足为H.若BC=6,AC=8,AB=10,求IH的长.[答案:2]
14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的画法及性质
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　角的平分线的画法及性质 授课人
学 习 目 标 1.掌握利用逻辑推理的方法证明角的平分线的性质. 2.掌握作已知角的平分线的方法. 3.了解证明几何命题的一般步骤和格式. 4.使学生能够利用角的平分线的性质解决相应的问题. 5.能进行简单的推理.
学习 重点 探究角的平分线的性质,能够利用其解决相关实际问题.
学习 难点 角的平分线的性质的推导过程.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图14-3-11是一个简易平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么 图14-3-11 　　1.创设情境,通过实践探究角的平分线的作法,引起学生的探究兴趣,引出本节课的内容. 2.培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(“SSS”)解决问题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 角的平分线的画法 思考:从利用平分角的仪器画角的平分线中,找找灵感,如何利用直尺和圆规作一个角的平分线 1.如图14-3-12,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的任意一点,M,N分别是OA,OB上的点,当OM与ON满足什么关系时,PM=PN 图14-3-12 分析:容易发现在△OPM和△OPN中,OP=OP,∠POM=∠PON.如果OM=ON,那么△OPM≌△OPN(SAS),就有PM=PN.
活动 二: 探究 与 应用 2.如图14-3-13,M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点,OM=ON,点P在∠AOB的内部,PM=PN.过点P作射线OC,可以得到OC平分∠AOB吗 理由是什么 图14-3-13 分析:①利用所给条件,我们直接能得到什么结论 理由是什么 ②∠POM与∠PON有什么关系 3.根据上述结论,你能想到如何作一个角的平分线吗 学生分组讨论、探究,教师巡视,必要时做适当提示. 师生共同归纳作角的平分线的步骤: ①先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点; ②再在角的内部作出与这两点距离相等的点; ③以角的顶点为端点,作过这个点的射线,即为这个角的平分线. 4.教师出示作图过程. 师生探究,说明其中的原理(利用“边边边”),进而得到利用尺规作角的平分线的方法.教师出示作图过程: 已知:∠AOB(如图14-3-14). 图14-3-14 图14-3-15 求作:∠AOB的平分线. 作法:如图14-3-15,(1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线. 教师提出问题:角的平分线有哪些性质呢 请同学们与我一同来探究一下吧! 【探究2】 角的平分线的性质 如图14-3-16,OC是∠AOB的平分线,点P1,P2,P3,…在OC上,过点P1,P2,P3,…分别画OA与OB的垂线,垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…….分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……,你有什么发现 图14-3-16 教师活动: 组织学生独立操作、思考,在此基础上分组进行讨论,鼓励学生大胆发言,并对自己的看法作出判断. 最后引导学生归纳角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 下面我们来证明这个性质. 已知:如图14-3-17,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE. 图14-3-17 证明:∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE. 　　1.以问题串的形式,层层设问,逐步解答,使学生理解数学知识的形成和发展过程,体会数学知识之间的相互关系. 2.培养学生的数学抽象能力及概括能力. 3.通过小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论,从实践中学习知识. 4.运用三角形全等的有关知识,归纳、证明角的平分线的性质. 5.通过规范化的解题训练,提高学生数学思考与表述的条理性和逻辑性.
活动 二: 探究 与 应用 师生共同概括文字证明题的一般步骤: ①明确命题中的已知和求证; ②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; ③经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
【应用举例】 例1　已知:平角∠AOB(如图14-3-18). 求作:平角∠AOB的平分线. 图14-3-18 解:如图14-3-19. 图14-3-19 结论:作平角的平分线的方法就是过平角的顶点作这个角的两边所在的直线的垂线. 例2　如图14-3-20,AD是△ABC的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC. 图14-3-20 证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC. 　　1.教师注意提醒学生:在几何中,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细的证明过程. 2.通过例题,加深对角的平分线的性质的理解,得到一般性结论,熟悉与之相关的常见题型.
【拓展提升】 例3　如图14-3-21,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC. 求证:M为BC的中点. 图14-3-21 证明:如图14-3-22,过点M作MN⊥AD于点N. 图14-3-22 ∵∠B=90°,AB∥CD,∴∠C=90°. 又∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM. ∴BM=CM,即M为BC的中点. 　　1.提高学生数学思考与表述的条理性和逻辑性. 2.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力. 3.培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-3-23,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=　60　°,BE=　BF　. 图14-3-23 2.如图14-3-24,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是　3　. 图14-3-24
活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图14-3-25,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,PD⊥AB,垂足为D,PC=a,AB=b. (1)求△APB的面积; 图14-3-25 (2)求△PDB的周长. 解:(1)∵AP平分∠BAC,∠C=90°,PD⊥AB, ∴PD=PC=a, ∴S△APB=AB·PD=ab. (2)由(1)得PC=PD. 在Rt△PAD和Rt△PAC中, ∴Rt△PAD≌Rt△PAC. ∴AD=AC=BC. ∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=b. 　　通过学生对角的平分线知识进行独立练习,自我评价学习效果,及时发现问题、解决知识盲点,培养学生的抽象思维能力和实践能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处:少数学生在尺规作图上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练. ②[讲授效果反思] 教师教学中注意:学生对定理的图形语言认识不足.角的平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度,而不是过此点与角的平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度.学生往往出现如下错误:∵点P在∠AOB的平分线上,∴PD=PE. ③[师生互动反思] 通过师生互动得到结论,教学中教师要重视知识的发生、发展过程. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师的教学能力.
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