14.3.2 角的平分线的判定【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

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第2课时　角的平分线的判定
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
复习探究　(1)复习旧知:角的平分线的性质定理是什么
(2)转化命题:我们学过很多定理,比如平行线的性质定理和判定定理,它们的题设和结论是互换的,你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗
(3)探索新知:你觉得这个新命题正确吗 如果正确,请给予证明;如果不正确,请举出反例,并画图说明.
[教学提示] 通过对已知定理转化命题的题设和结论的方式,得到新命题,是探索新知识的一种重要手段.在教学过程中,让学生经历“探索——猜想——验证——证明”的学习历程,获得学习新知识的具体方法,以知识为载体感受逆向思维与类比思想的重要意义.
悬念激趣　某考古队为了进行研究,寻找一座古城遗址,根据史料记载,该古城在森林附近,到两条河岸的距离相等,到古塔的距离是3000 m,如图14-3-26所示(比例尺为1∶200000).根据这些资料,考古队很快找到了这座古城的遗址.你能在图中合理地标出古城遗址的位置吗
图14-3-26
[教学提示] 通过探秘古城遗址的方式,激发学生的学习兴趣,体现数学知识的实际应用.
根据图示抽象出简单的几何图形,用直线表示河流,用点表示古塔,把实际问题转化为几何问题;要确定一个点的位置,通常利用两条线(直线或弧线)的交点来确定,引导学生分析,由“到古塔的距离是3000 m”可知这个点一定在以古塔为圆心、3000 m(图上距离是1.5 cm)为半径的圆(弧)上;另外一个条件“到两条河岸的距离相等”如何确定呢 这就是我们本节课要学习的内容.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第59页复习题14第8题
如图14-3-27,为了促进旅游业的发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
图14-3-27
【模型建立】
通过尺规作图的方式标记出到两条相交直线距离相等的点,一般依据角的平分线的判定解答.由于到两条相交直线距离相等的点在这两条直线夹角的平分线上,故先根据题意作出角的平分线,再结合其他条件作弧(或直线)与之相交,进而确定所求位置.
【变式变形】
1.校园一角的形状如图14-3-28所示,其中AB,BC,CD表示围墙,请你利用尺规在校园内部找到一点P,使得点P到三面墙的距离相等.(保留作图痕迹,不必写作法)[答案:作∠ABC,∠BCD的平分线相交于一点,此点即为所求的点P(图略)]
图14-3-28
2.如图14-3-29,OA,OB表示两条道路,在OB上有一个车站(用点P表示),现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭,要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站的距离最短.请在图中作出报亭的位置.(保留作图痕迹,不必写作法)
图14-3-29
[答案:作∠AOB的平分线OC,过点P作PD⊥OC,垂足D即为报亭的位置(图略)]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用角的平分线的判定定理解决有关问题
方法指引:题目中如果要证明一条射线是角的平分线,一般要用角的平分线的判定定理来证明,必要时要作出到角两边的垂线段.注意:凡是可以利用角的平分线的判定和性质定理来解的题,就不必证明全等,以克服证明全等的惯性,提高我们的思维能力.
例1　如图14-3-30,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数为 (B)
A.30° B.35° C.45° D.60°
图14-3-30 图14-3-31
　　例2　如图14-3-31,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,且OB=OC.
求证:∠1=∠2.[提示:先利用“AAS”证明△BOD≌△COE,得到OD=OE,再由角的平分线的判定定理得到AO平分∠BAC]
【评价角度2】 综合运用角的平分线的性质定理和判定定理解决实际问题
方法指引:(1)在实际问题中,确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题,常用角的平分线的判定来解决,尤其是涉及作图探究的题目.(2)运用角的平分线的性质和判定解决实际问题时,一定要把实际问题中的道路、河流等抽象成数学图形中的直线,并且要求的点是到两线的距离相等,常常确定两线夹角的平分线上的点,这个过程就是建立数学模型的过程.
例　如图14-3-32所示,三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地址有几处 你能在图中找出来吗
图14-3-32
[答案:可供选择的地址有4处　图略]
第2课时　角的平分线的判定
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　角的平分线的判定 授课人
学 习 目 标 1.掌握角的平分线的判定定理,进一步了解证明几何问题的一般格式与步骤. 2.在探索角的平分线的判定定理的过程中,发展学生合情推理和演绎推理的能力. 3.学习用数学的方法探索新知识,应用新知识解决数学问题和实际问题. 4.通过数学证明的严谨性和逻辑性,培养学生严肃认真的科学态度和一丝不苟的学习品质.
学习 重点 探索并掌握角的平分线的判定定理.
学习 难点 综合运用角的平分线的性质定理和判定定理解决具体问题.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规、多媒体(PPT与几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.角的平分线的性质定理是什么 2.回忆这个定理的证明过程,说一下文字证明题的一般步骤. 学生独立思考教师提出的问题,并作出回答. 　　复习已学知识和解题步骤,为学习新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在我们已经学过的定理中,有一些题设和结论是可以互换的,比如平行线的性质定理和判定定理,你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗 你觉得这个新命题正确吗 　　快速引入正题,节省时间,也减少了不必要的思维负担.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 探索角的平分线的判定定理 对于上面得到的新命题,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举出反例,并画图说明. (1)根据题意画图,标注字母,写出已知. 已知:如图14-3-33,P是∠AOB内部的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,PE=PF. 图14-3-33 (2)观察图形,由几何直观猜想命题正确,写出求证. 求证:点P在∠AOB的平分线上. (3)分析问题,写出证明过程. 证明:在Rt△POE和Rt△POF中, ∴Rt△POE≌Rt△POF(HL). ∴∠EOP=∠FOP. ∴点P在∠AOB的平分线上. 　　经历角的平分线的判定定理的探索过程,让学生感受知识的产生可以来自数学自身(不一定完全是生活实践).结合推理证明,进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.
活动 二: 探究 与 应用 学生活动:以独立思考为主进行自主探索,利用三角形全等的知识进行证明. 教师活动:引导学生从以上几方面思考问题,对所得出的结论进行证明,在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性,最后归纳得到结论:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 指出:可以用这个定理判定角的平分线,即由两条垂线段相等得到两个角相等. 【探究2】 三角形的内角平分线 动手操作:(1)分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么 图14-3-34 (2)分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量每条垂线段的长度,你发现了什么 结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等. 接下来,我们一起证明这个结论. 已知:如图14-3-35,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证:(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等; (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 图14-3-35 分析:(1)由已知可得点P到边AB,BC的距离相等,点P到边BC,CA的距离相等,由此可得点P到三边的距离相等; (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点,只要证点P也在∠A的平分线上. 证明:(1)如图14-3-36,过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,重足分别为D,E,F. 图14-3-36 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE. 同理PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. (2)由(1)得,点P到边AB,CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点.
【应用举例】 例1　如图14-3-37,要在S区建立一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,且离公路与铁路的交叉处500米.这个集贸市场应建在何处 (比例尺为1∶20000) 图14-3-37 [答案:集贸市场应建在S区公路与铁路相交所成钝角的平分线上,且距公路与铁路的交叉处2.5 cm(图上距离)处(图略)] 学生活动: 学生小组合作,在独立思考的基础上小组交流,发现若到公路、铁路的距离相等,则集贸市场一定在公路、铁路所在直线形成的夹角的平分线上,于是可以利用尺规作出角平分线,然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可. 教师活动: 组织学生思考、讨论、交流,引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论. 　　1.利用所学的数学知识解决生活中的问题,加强数学与生活的联系,体验数学是描述现实世界的重要手段.
活动 二: 探究 与 应用 例2　如图14-3-38所示,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,BF,CE交于点D,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC. 图14-3-38 证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 例3　如图14-3-39,在Rt△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,BD平分∠ABC,交AC于点D,AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC于点M,已知OM=4. (1)求点O到△ABC三边的距离和; (2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积. [答案:(1)12　(2)64] 图14-3-39 图14-3-40 变式　如图14-3-40,在△ABC中,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为 (A) A.110°　　　　B.120°　　　　C.130°　　　　D.140° 学生活动:在独立思考的基础上,小组合作完成解答,并进行展示交流. 教师活动:在学生解题的过程中,参与讨论,发现问题;在学生展示交流阶段,强调解题思路表达的准确性、简洁性和规范性. 　　2.解题过程中用到了角的平分线的尺规作图、性质定理和判定定理,具有较强的综合性,既是对本节课所学知识的巩固,又是对上节课所学知识的复习,能很好地体现知识之间的联系,并锻炼学生在应用中对以上知识加以甄别与区分的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-3-41,AD⊥DC,AB⊥BC,垂足分别为D,B.若AB=AD,∠BCD=60°,则∠DAC的度数为 (A) A.60°　　　　B.30°　　　　C.120°　　　　　D.90° 图14-3-41 图14-3-42 2.如图14-3-42,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是 (C) A.线段CD的中点 B.过点O作CD的垂线所得垂足 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对
活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图14-3-43,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,连接AO并延长,交BC于点D,OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°,OH=5 cm,则∠BAD=　30　°,点O到AB的距离为　5　 cm. 图14-3-43 图14-3-44 4.如图14-3-44,要在河流与公路围成的I区建一个工厂,使工厂的位置A到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉点B处的距离为1 cm(指图上的距离),在图中作出点A的位置.(不写作法,保留作图痕迹) [答案:在I区作河流与公路所夹角的平分线,以点B为圆心,1 cm为半径作弧与所作角平分线交于点A,点A即为所求(图略)] 　　通过解答与角的平分线判定定理相关的问题,巩固新知,进行自我评价,发现问题及时弥补,消除知识盲区.
【课堂总结】 (1)角的平分线的判定定理是什么 性质定理是什么 它们有什么联系和区别 (2)通过本节课的学习你还记得哪些关于角的平分线的结论 三角形的三条角平分线相交于一点. 　　课堂总结,回顾所学知识.
【知识网络】 　　1.框架图式总结,更容易形成知识网络. 2.知识结构图把本小节的知识进行了概括与整合,有利于形成相对完整的知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 由定理的互逆关系导入新课,让学生认识到数学知识产生途径的多样性.教学过程仿照上一节课的流程设置,且题目也多有相关之处,消除学生对新知识的陌生感.应用举例、变式训练、与当堂训练环环相扣,梯度适当,使学生的思维张弛有度. ②[讲授效果反思] 整个教学流程中,把角的平分线的性质定理与判定定理进行联系和比较,使学生对二者之间的区别与联系有了更清晰的认识.强调解题格式的规范性,使学生能更加科学准确地运用数学语言、数学符号和数学方式进行表达. ③[师生互动反思] 在学生独立思考时,教师给学生充分的时间,遇到困难把问题细化,帮助学生找出关键点.在小组合作时,教师参与小组讨论,及时点拨指导.在整个教学中,学生充分表达自己的观点与主张,进行展示交流,树立自信心,培养合作意识. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.
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