期末重组复习卷（一）（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 期末重组复习卷（一）（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 957.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-20 17:08:29 | ||
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文档简介
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期末重组复习卷（一）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
2．（2024秋 米东区校级期末）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
3．（2025春 抚松县校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．（2023秋 广丰区校级期末）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3
5．（2012秋 景洪市期末）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（ ）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
6．（2024秋 楚雄州期末）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，直线l'：0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l'的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 江阴市校级期末）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ）
A． B．52 C． D．
8．（2024秋 江阴市校级期末）如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为3π时，直线PF2的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知向量，，，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．
D．向量共面
（多选）11．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（ ）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点 ．
13．（2025春 栖霞区校级期末）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为 ．
14．（2024秋 鹰潭期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 龙岗区校级期末）已知圆C的圆心M在直线y＝﹣2x上，并且经过点P（0，﹣1），与直线x﹣y﹣1＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点（2，1）的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
16．（2024秋 东城区期末）已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
17．（2024秋 山西期末）如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．
18．（2024秋 长春校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；
（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|﹣|AB|的最大值．
19．（2024秋 仁寿县期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，，DC1⊥D1B
（1）求证：DA⊥DB；
（2）求三棱锥C﹣A1C1D的体积；
（3）线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
期末重组复习卷（一）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D A B B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为α，
直线2x+y+3＝0，其斜率k＝﹣2，则有tanα＝﹣2，α∈[0，π），
又由，故α＝π+arctan（﹣2）．
故选：C．
2．（2024秋 米东区校级期末）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
【解答】解：由x2+y2﹣8x+12＝0，得（x﹣4）2+y2＝4，
画出圆x2+y2＝1与（x﹣4）2+y2＝4的图象如图，
设圆P的半径为r，
∵圆P与圆O和圆M都外切，
∴|PM|＝r+2，|PO|＝r+1，
则|PM|﹣|PO|＝1＜4，
∴P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，
故选：D．
3．（2025春 抚松县校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），
∴（1，1，2），（﹣2，0，﹣2），
∴cos，
∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为
∴异面直线DE与B1C所成角的大小为：30°
故选：B．
4．（2023秋 广丰区校级期末）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3
【解答】解：∵l1⊥l2
∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）＝0，即（a﹣1）（a+3）＝0
解得a＝1或a＝﹣3
故选：D．
5．（2012秋 景洪市期末）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（ ）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
∴圆心C的坐标为（1，﹣2），半径R＝2
故选：A．
6．（2024秋 楚雄州期末）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，直线l'：0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l'的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设抛物线C的焦点为F（1，0），
由抛物线的定义可知d1＝|MF|，
设MN⊥l′于点N，
此时d1+d2＝|MF|+|MN|，
当M，N，F三点共线，且M在N，F中间时，d1+d2取得最小值，
因为F（1，0），
所以d1+d2的最小值为．
故选：B．
7．（2024秋 江阴市校级期末）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ）
A． B．52 C． D．
【解答】解：根据题意可知，正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，
侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，
如图，将正三棱台ABC﹣A1B1C1补成正三棱锥P﹣ABC，
则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，
设点P在平面ABC上的射影为O，在平面A1B1C1上的射影为O1，
则O为△ABC的中心，O1为△A1B1C1的中心，
则∠PAO即为棱A1A与底面ABC所成的角，而tan∠PAO＝3，
设△A1B1C1的高为h，由等面积公式得，
解得，由等边三角形的性质得，
同理可得，故，
故，
所以棱台的高，因为正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，
下底面边长AB＝6，所以，
同理可得，
则上，下底面的面积分别为和，
则棱台的体积，故B正确．
故选：B．
8．（2024秋 江阴市校级期末）如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为3π时，直线PF2的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，
圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，
可知|PD|＝|PE|，|F1D|＝|F1A|，|F2A|＝|F2E|，
∴|PF1|﹣|PF2|＝（|PD|+|DF1|）﹣（|PE|+|EF2|）＝|DF1|﹣|EF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，
设A（x0，0），
则（x0+c）﹣（c﹣x0）＝2a x0＝a，
即A（2，0），
设圆C的半径为r（r＞0），∵圆C的面积为3π，则，
∵CA⊥F1F2，∴，
于是，
∵CF2是∠PF2F1的角平分线，
∴，
∴，即直线PF2的斜率为．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0整理可得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣λ，
可得2﹣λ＞0，解得λ＜2，
A中，λ的范围为（﹣∞，2），所以A不正确；
B中，由圆的方程可得圆心C坐标（1，﹣1），显然满足x+y＝0，
所以圆关于直线x+y＝0对称，所以B正确；
C中，圆心C（1，﹣1）到直线的距离d，
所以弦长为22，解得λ＝1，所以C正确；
D中，λ＝1时，可得圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即圆心C（1，﹣1），半径r＝1，
因为|AC|，所以切线长|AB|2，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知向量，，，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．
D．向量共面
【解答】解：对于A，，，∴，A正确；
对于B，∵，
∴在上的投影向量为，B正确；
对于C，∵，∴与不垂直，C错误；
对于D，∵，∴共面，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（ ）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
【解答】解：由题可得，a＝4，，，
如图，P是椭圆上的点，
则|PF1|+|PF2|＝2a＝8，又|PF1|﹣|PF2|＝2，
对于A，|PF1|＝5，|PF2|＝3，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于C，因为，
所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，
则，故C错误；
对于D，由选项C知，△PF1F2的外接圆直径为线段PF1，
则该圆半径为，面积为，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点 （﹣1，﹣1） ．
【解答】解：直线a（x+1）+（y+1）＝0，
由于a∈R，故，因此，
即无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
13．（2025春 栖霞区校级期末）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为 ．
【解答】解：在正四面体ABCD中，连接DE，
因为F，G分别为CD，AC的中点，所以FG∥AD，
所以异面直线AE，FG所成角为∠EAD或其补角，
设正四面体ABCD的棱长为a，
则AD＝a，，
由余弦定理，，
则异面直线AE，FG所成角的余弦值为．
故答案为：．
14．（2024秋 鹰潭期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为 ．
【解答】解：延长QF2与双曲线交于点P′，因为F1P∥F2P′，
根据对称性知|F1P|＝|F2P′|，四边形F1PF2P′为平行四边形，
设|F1P|＝t，则|F2Q|＝3t，|F2P|＝3t，可得|F2P|﹣|F1P|＝2t＝2a，即t＝a，
所以|P′Q|＝4a，则|QF1|＝|QF2|+2a＝5a，|F2P|＝3a，
即，可知∠F1P′Q＝∠F1PF2＝90°，
在△P′F1F2中，由勾股定理得，
即（a）2+（3a）2＝4c2，可得，即．
解得e．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 龙岗区校级期末）已知圆C的圆心M在直线y＝﹣2x上，并且经过点P（0，﹣1），与直线x﹣y﹣1＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点（2，1）的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
由已知得，解得a＝1，b＝﹣2，，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2，即x2+y2﹣2x+4y+3＝0；
（2）①若直线l存在斜率，可设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）＝0，
由已知圆心M（1，﹣2）到直线l的距离，解得，
此时，直线l的方程为，即4x﹣3y﹣5＝0；
②若直线l斜率不存在，则l的方程为x＝2，将其代入（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
可得y＝﹣1或y＝﹣3，即得A（2，﹣1），B（2，﹣3），满足条件|AB|＝2，
综上所述，直线l的方程为4x﹣3y﹣5＝0或x＝2．
16．（2024秋 东城区期末）已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0），化为x2+（y+2）2＝a，圆C的圆心坐标（0，﹣2），半径为．圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．可得a＝4．半径为2．
（Ⅱ）圆的圆心到直线l：2x+y﹣2＝0的距离为：，
线段AB的长为：2．
17．（2024秋 山西期末）如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为DE⊥CD，平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，DE 平面CDEF，
所以DE⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，
所以AC⊥DE．因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又DE∩BD＝D，DE，BD 平面BDE，
所以AC⊥平面BDE，又BE 平面BDE，
所以AC⊥BE；
（2）由（1）知DE⊥平面ABCD，
又AD 平面ABCD，所以DE⊥AD，
又四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，
所以AD，CD，ED两两垂直．
以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设CD＝6，则D（0，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），F（0，2，3），
所以，
设平面DBF的法向量为，
则，则
令x＝1，得，
所以平面DBF的一个法向量为，
设平面CBF的法向量为，
则，则，
令b＝3，得a＝0，c＝4，
所以平面CBF的一个法向量为，
设平面DBF与平面CBF的夹角为θ，
则，
即平面DBF与平面CBF的夹角的余弦值为．
18．（2024秋 长春校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；
（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|﹣|AB|的最大值．
【解答】解：（1）由题意知2c＝2，所以c＝1，
又△F1AB的周长为，所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆C的方程为；
（2）易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
所以，
所以，
所以，解得m＝±1，
所以l1的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0；
（3）由（2）可知，
因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，
所以，
所以，
当且仅当m＝±1时，等号成立，
所以|MN|﹣|AB|的最大值为．
19．（2024秋 仁寿县期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，，DC1⊥D1B
（1）求证：DA⊥DB；
（2）求三棱锥C﹣A1C1D的体积；
（3）线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由题，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），，C（0，4，0），，
设B（a，b，0）（a＞0），则A（a，b﹣4，0），
所以，，
由DC1⊥D1B得，所以b＝3，
又因为DA＝2，所以，解得，
所以，，
则，，
所以，
所以DA⊥DB；
（2）因为DC＝2DA＝4，由（1）知∠ADB＝90°，所以∠ADC＝120°，
如图，过作AH⊥CD于H，
则，
在直棱柱中平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，AH 平面ABCD，
所以AH⊥平面CC1D1D，
所以
；
（3）由（1）得平面ABB1A1的一个法向量为，
假设存在E点满足条件，设D1E＝λD1C1（0≤λ≤1），
则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，则x2＝﹣3，z2＝﹣2λ，所以，
所以，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为，
所以，解得，
又因为0≤λ≤1，所以舍去，
所以线段C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为．
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期末重组复习卷（一）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
2．（2024秋 米东区校级期末）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
3．（2025春 抚松县校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．（2023秋 广丰区校级期末）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3
5．（2012秋 景洪市期末）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（ ）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
6．（2024秋 楚雄州期末）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，直线l'：0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l'的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 江阴市校级期末）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ）
A． B．52 C． D．
8．（2024秋 江阴市校级期末）如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为3π时，直线PF2的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知向量，，，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．
D．向量共面
（多选）11．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（ ）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点 ．
13．（2025春 栖霞区校级期末）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为 ．
14．（2024秋 鹰潭期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 龙岗区校级期末）已知圆C的圆心M在直线y＝﹣2x上，并且经过点P（0，﹣1），与直线x﹣y﹣1＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点（2，1）的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
16．（2024秋 东城区期末）已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
17．（2024秋 山西期末）如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．
18．（2024秋 长春校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；
（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|﹣|AB|的最大值．
19．（2024秋 仁寿县期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，，DC1⊥D1B
（1）求证：DA⊥DB；
（2）求三棱锥C﹣A1C1D的体积；
（3）线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
期末重组复习卷（一）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D A B B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浦东新区校级期末）直线2x+y+3＝0的倾斜角等于（ ）
A．arctan2 B．arctan（﹣2）
C．π+arctan（﹣2） D．π﹣arctan（﹣2）
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为α，
直线2x+y+3＝0，其斜率k＝﹣2，则有tanα＝﹣2，α∈[0，π），
又由，故α＝π+arctan（﹣2）．
故选：C．
2．（2024秋 米东区校级期末）与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上
【解答】解：由x2+y2﹣8x+12＝0，得（x﹣4）2+y2＝4，
画出圆x2+y2＝1与（x﹣4）2+y2＝4的图象如图，
设圆P的半径为r，
∵圆P与圆O和圆M都外切，
∴|PM|＝r+2，|PO|＝r+1，
则|PM|﹣|PO|＝1＜4，
∴P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，
故选：D．
3．（2025春 抚松县校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），
∴（1，1，2），（﹣2，0，﹣2），
∴cos，
∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为
∴异面直线DE与B1C所成角的大小为：30°
故选：B．
4．（2023秋 广丰区校级期末）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣3
【解答】解：∵l1⊥l2
∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）＝0，即（a﹣1）（a+3）＝0
解得a＝1或a＝﹣3
故选：D．
5．（2012秋 景洪市期末）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（ ）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
∴圆心C的坐标为（1，﹣2），半径R＝2
故选：A．
6．（2024秋 楚雄州期末）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，直线l'：0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l'的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设抛物线C的焦点为F（1，0），
由抛物线的定义可知d1＝|MF|，
设MN⊥l′于点N，
此时d1+d2＝|MF|+|MN|，
当M，N，F三点共线，且M在N，F中间时，d1+d2取得最小值，
因为F（1，0），
所以d1+d2的最小值为．
故选：B．
7．（2024秋 江阴市校级期末）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ）
A． B．52 C． D．
【解答】解：根据题意可知，正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，下底面边长AB＝6，
侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，
如图，将正三棱台ABC﹣A1B1C1补成正三棱锥P﹣ABC，
则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，
设点P在平面ABC上的射影为O，在平面A1B1C1上的射影为O1，
则O为△ABC的中心，O1为△A1B1C1的中心，
则∠PAO即为棱A1A与底面ABC所成的角，而tan∠PAO＝3，
设△A1B1C1的高为h，由等面积公式得，
解得，由等边三角形的性质得，
同理可得，故，
故，
所以棱台的高，因为正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面边长A1B1＝2，
下底面边长AB＝6，所以，
同理可得，
则上，下底面的面积分别为和，
则棱台的体积，故B正确．
故选：B．
8．（2024秋 江阴市校级期末）如图所示，P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为3π时，直线PF2的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，
圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，
可知|PD|＝|PE|，|F1D|＝|F1A|，|F2A|＝|F2E|，
∴|PF1|﹣|PF2|＝（|PD|+|DF1|）﹣（|PE|+|EF2|）＝|DF1|﹣|EF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，
设A（x0，0），
则（x0+c）﹣（c﹣x0）＝2a x0＝a，
即A（2，0），
设圆C的半径为r（r＞0），∵圆C的面积为3π，则，
∵CA⊥F1F2，∴，
于是，
∵CF2是∠PF2F1的角平分线，
∴，
∴，即直线PF2的斜率为．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0整理可得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣λ，
可得2﹣λ＞0，解得λ＜2，
A中，λ的范围为（﹣∞，2），所以A不正确；
B中，由圆的方程可得圆心C坐标（1，﹣1），显然满足x+y＝0，
所以圆关于直线x+y＝0对称，所以B正确；
C中，圆心C（1，﹣1）到直线的距离d，
所以弦长为22，解得λ＝1，所以C正确；
D中，λ＝1时，可得圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即圆心C（1，﹣1），半径r＝1，
因为|AC|，所以切线长|AB|2，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 呼和浩特期末）已知向量，，，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．
D．向量共面
【解答】解：对于A，，，∴，A正确；
对于B，∵，
∴在上的投影向量为，B正确；
对于C，∵，∴与不垂直，C错误；
对于D，∵，∴共面，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2024秋 衡阳校级期末）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝2．则下列说法中正确的是（ ）
A．|PF1|＝5，|PF2|＝3
B．离心率为
C．△PF1F2的面积为12
D．△PF1F2的外接圆面积为
【解答】解：由题可得，a＝4，，，
如图，P是椭圆上的点，
则|PF1|+|PF2|＝2a＝8，又|PF1|﹣|PF2|＝2，
对于A，|PF1|＝5，|PF2|＝3，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于C，因为，
所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，
则，故C错误；
对于D，由选项C知，△PF1F2的外接圆直径为线段PF1，
则该圆半径为，面积为，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点 （﹣1，﹣1） ．
【解答】解：直线a（x+1）+（y+1）＝0，
由于a∈R，故，因此，
即无论a取何实数，直线ax+y+a+1＝0都经过定点（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
13．（2025春 栖霞区校级期末）在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为 ．
【解答】解：在正四面体ABCD中，连接DE，
因为F，G分别为CD，AC的中点，所以FG∥AD，
所以异面直线AE，FG所成角为∠EAD或其补角，
设正四面体ABCD的棱长为a，
则AD＝a，，
由余弦定理，，
则异面直线AE，FG所成角的余弦值为．
故答案为：．
14．（2024秋 鹰潭期末）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且|F2Q|＝|F2P|，则双曲线C的离心率为 ．
【解答】解：延长QF2与双曲线交于点P′，因为F1P∥F2P′，
根据对称性知|F1P|＝|F2P′|，四边形F1PF2P′为平行四边形，
设|F1P|＝t，则|F2Q|＝3t，|F2P|＝3t，可得|F2P|﹣|F1P|＝2t＝2a，即t＝a，
所以|P′Q|＝4a，则|QF1|＝|QF2|+2a＝5a，|F2P|＝3a，
即，可知∠F1P′Q＝∠F1PF2＝90°，
在△P′F1F2中，由勾股定理得，
即（a）2+（3a）2＝4c2，可得，即．
解得e．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 龙岗区校级期末）已知圆C的圆心M在直线y＝﹣2x上，并且经过点P（0，﹣1），与直线x﹣y﹣1＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点（2，1）的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
由已知得，解得a＝1，b＝﹣2，，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2，即x2+y2﹣2x+4y+3＝0；
（2）①若直线l存在斜率，可设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）＝0，
由已知圆心M（1，﹣2）到直线l的距离，解得，
此时，直线l的方程为，即4x﹣3y﹣5＝0；
②若直线l斜率不存在，则l的方程为x＝2，将其代入（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
可得y＝﹣1或y＝﹣3，即得A（2，﹣1），B（2，﹣3），满足条件|AB|＝2，
综上所述，直线l的方程为4x﹣3y﹣5＝0或x＝2．
16．（2024秋 东城区期末）已知圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）直线l：2x+y﹣2＝0与圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0），化为x2+（y+2）2＝a，圆C的圆心坐标（0，﹣2），半径为．圆C：x2+y2+4y+4﹣a＝0（a＞0）与x轴相切．可得a＝4．半径为2．
（Ⅱ）圆的圆心到直线l：2x+y﹣2＝0的距离为：，
线段AB的长为：2．
17．（2024秋 山西期末）如图，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是正方形，DE⊥CD，CD∥EF，CD＝3EF，CD＝2DE．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为DE⊥CD，平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，DE 平面CDEF，
所以DE⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，
所以AC⊥DE．因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又DE∩BD＝D，DE，BD 平面BDE，
所以AC⊥平面BDE，又BE 平面BDE，
所以AC⊥BE；
（2）由（1）知DE⊥平面ABCD，
又AD 平面ABCD，所以DE⊥AD，
又四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，
所以AD，CD，ED两两垂直．
以AD，CD，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设CD＝6，则D（0，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），F（0，2，3），
所以，
设平面DBF的法向量为，
则，则
令x＝1，得，
所以平面DBF的一个法向量为，
设平面CBF的法向量为，
则，则，
令b＝3，得a＝0，c＝4，
所以平面CBF的一个法向量为，
设平面DBF与平面CBF的夹角为θ，
则，
即平面DBF与平面CBF的夹角的余弦值为．
18．（2024秋 长春校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；
（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|﹣|AB|的最大值．
【解答】解：（1）由题意知2c＝2，所以c＝1，
又△F1AB的周长为，所以，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆C的方程为；
（2）易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
所以，
所以，
所以，解得m＝±1，
所以l1的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0；
（3）由（2）可知，
因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，
所以，
所以，
当且仅当m＝±1时，等号成立，
所以|MN|﹣|AB|的最大值为．
19．（2024秋 仁寿县期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，，DC1⊥D1B
（1）求证：DA⊥DB；
（2）求三棱锥C﹣A1C1D的体积；
（3）线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由题，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），，C（0，4，0），，
设B（a，b，0）（a＞0），则A（a，b﹣4，0），
所以，，
由DC1⊥D1B得，所以b＝3，
又因为DA＝2，所以，解得，
所以，，
则，，
所以，
所以DA⊥DB；
（2）因为DC＝2DA＝4，由（1）知∠ADB＝90°，所以∠ADC＝120°，
如图，过作AH⊥CD于H，
则，
在直棱柱中平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，AH 平面ABCD，
所以AH⊥平面CC1D1D，
所以
；
（3）由（1）得平面ABB1A1的一个法向量为，
假设存在E点满足条件，设D1E＝λD1C1（0≤λ≤1），
则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，则x2＝﹣3，z2＝﹣2λ，所以，
所以，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为，
所以，解得，
又因为0≤λ≤1，所以舍去，
所以线段C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为．
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