期末重组复习卷（二）（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
期末重组复习卷（二）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 英吉沙县期末）直线y＝2x﹣1与y＝ax+1平行，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2024秋 天津期末）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2经过点P（2，2），则圆在点P处的切线方程为（　　）
A．x+y﹣4＝0 B．x+y＝0 C．x﹣y＝0 D．x﹣y﹣4＝0
3．（2024秋 长宁区校级期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则x+y＝（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
4．（2024秋 黑龙江期末）已知直线x﹣y＝0是双曲线的一条渐近线，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．16
5．（2024秋 长沙校级期末）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P是圆（x﹣2）2+y2＝2上任意一点，则△PAB面积的最小值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
6．（2024秋 衡水期末）已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　）
A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0
C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0
7．（2024秋 自贡期末）设F1，F2为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2024秋 牡丹江期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
（多选）10．（2024秋 柳州期末）已知直线l的方向向量（1，0，﹣1），A（2，1，﹣3）为直线l上一点，若点P（﹣1，0，﹣2）为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为（　　）
A．2 B． C． D．1
（多选）11．（2024秋 榆林期末）已知F1，F2是双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交C的右支于A，B两点，若|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则（　　）
A．C的离心率为2 B．|AB|＝8
C．△AF1F2的面积为4 D．△BF1F2的周长为18
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 　 　 ．
13．（2024秋 上饶期末）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝BC＝4，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为　 　 ．
14．（2024秋 上饶期末）如图所示，用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO＝1，底面圆的半径为2，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 EF⊥AB，则该双曲线的两条渐近线所成角的正弦值为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 河池期末）已知三角形三顶点A（3，1），B（0，﹣2），C（﹣1，0），求：
（1）直线AB的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
16．（2024秋 河池期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若AB＝2，求的值．
17．（2024秋 郸城县校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（q，p）到焦点的距离为4．
（1）求p+q的值；
（2）过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝10，求直线l的方程．
18．（2024秋 茅箭区期末）如图，在多面体ABCFED中，平面ADFC⊥平面DEF，四边形ADFC为直角梯形，AC∥DF，AD⊥DF，AC＝AD＝1，DF＝DE＝EF＝2．
（1）证明：CD⊥AE．
（2）求平面ACE与平面BCFE夹角的余弦值．
19．（2024秋 许昌期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点在椭圆C上，且△A1PA2的面积为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过点P且与椭圆C交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，作PH⊥l于H点．
①求证：直线l过定点，并求出定点的坐标；
②问是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，请求出该定值，若不存在，请说明理由．
期末重组复习卷（二）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B C B B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AB ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 英吉沙县期末）直线y＝2x﹣1与y＝ax+1平行，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵直线y＝2x﹣1与y＝ax+1平行，且y＝2x﹣1的斜率为2，
∴它们在y轴上的截距不相等，且直线y＝ax+1的斜率也是2，即a＝2．
故选：D．
2．（2024秋 天津期末）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2经过点P（2，2），则圆在点P处的切线方程为（　　）
A．x+y﹣4＝0 B．x+y＝0 C．x﹣y＝0 D．x﹣y﹣4＝0
【解答】解：已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2经过点P（2，2），
将点P（2，2）代入圆的方程可得r2＝2，
则圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
对于圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，其圆心坐标为（a，b），所以此圆的圆心C（1，1），
根据斜率公式，这里C（1，1），P（2，2），则，
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为k1和k2，则k1k2＝﹣1，
已知kCP＝1，所以切线的斜率k＝﹣1，
又因为切线过点P（2，2），根据点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）（这里x0＝2，y0＝2，k＝﹣1），
可得切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），整理得x+y﹣4＝0，
则圆在点P处的切线方程为x+y﹣4＝0．
故选：A．
3．（2024秋 长宁区校级期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则x+y＝（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【解答】解：因为，，，
所以，解得x＝2，
由可知，，解得y＝﹣4，所以x+y＝﹣2．
故选：B．
4．（2024秋 黑龙江期末）已知直线x﹣y＝0是双曲线的一条渐近线，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．16
【解答】解：由双曲线可知，渐近线方程为，
又直线x﹣y＝0是双曲线的其中一条渐近线，
所以，即a＝2．
故选：B．
5．（2024秋 长沙校级期末）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P是圆（x﹣2）2+y2＝2上任意一点，则△PAB面积的最小值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：因为A（﹣1，0），B（0，1），所以|AB|，
且直线AB的方程为x﹣y+1＝0，
圆心（2，0）到直线AB的距离d，
所以圆上点P到直线AB的最小距离d'＝d﹣r，
所以（S△PAB）min|AB| d'．
故选：C．
6．（2024秋 衡水期末）已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　）
A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0
C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0
【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则由点P（﹣1，1）为线段AB的中点，得x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2①，
又 ②， ③，
由②﹣③，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
将①代入上式，化简得kl，
所以直线l的方程为：，
即9x﹣4y+13＝0．
故选：B．
7．（2024秋 自贡期末）设F1，F2为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：不妨设点P在第一象限，
由，两边平方可得22+2 22﹣2 ，
得，
即PF1⊥PO，
又P为C的一条渐近线上一点，
所以|PF1|＝b，|PO|＝a，|F1O|＝c，
因为成等差数列，
所以2|PO|＝|PF1|+|F1O|，即2a＝b+c，
可得2a﹣c＝b，两边平方可得4a2+c2﹣4ac＝b2＝c2﹣a2，
即4ac＝5a2，
所以．
故选：B．
8．（2024秋 牡丹江期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：GN＝2MG，M，N分别是对边OA，BC的中点，
则，
，
则，故C正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 赤峰校级期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．λ的取值范围为（﹣∞，1]
B．圆C关于直线x+y＝0对称
C．若直线x+y+1＝0被圆C截得的弦长为，则λ＝1
D．若λ＝1，过点A（0，1）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝2
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+2y+λ＝0整理可得（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣λ，
可得2﹣λ＞0，解得λ＜2，
A中，λ的范围为（﹣∞，2），所以A不正确；
B中，由圆的方程可得圆心C坐标（1，﹣1），显然满足x+y＝0，
所以圆关于直线x+y＝0对称，所以B正确；
C中，圆心C（1，﹣1）到直线的距离d，
所以弦长为22，解得λ＝1，所以C正确；
D中，λ＝1时，可得圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即圆心C（1，﹣1），半径r＝1，
因为|AC|，所以切线长|AB|2，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2024秋 柳州期末）已知直线l的方向向量（1，0，﹣1），A（2，1，﹣3）为直线l上一点，若点P（﹣1，0，﹣2）为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为（　　）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：因为，
所以cos，，
则sin，
所以点P到直线l的距离dsin，
所以点P到直线l上任意一点Q的距离大于或等于．
故选：AB．
（多选）11．（2024秋 榆林期末）已知F1，F2是双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交C的右支于A，B两点，若|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则（　　）
A．C的离心率为2 B．|AB|＝8
C．△AF1F2的面积为4 D．△BF1F2的周长为18
【解答】解：如图所示，不妨设A在第一象限，
由双曲线C：，可得a＝1，
则|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，由于|AF1|＝2|AF2|，得|AF1|＝4，|AF2|＝2，
由于∠AF1F2＝∠F1BF2，所以△AF1F2∽△ABF1，
故，可得|AB|＝2|AF1|＝8，故|BF2|＝6，
而|BF1|﹣|BF2|＝2，故|BF1|＝8，
根据，得|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2，
所以C的离心率e2；
由以上分析可知|AB|＝8，
在△AF1F2中，|AF1|＝4，|AF2|＝2，|F1F2|＝4，
所以，
△BF1F2的周长为|BF1|+|BF2|+|F1F2|＝18．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 天津期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，直线l过点P（4，3），若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 　x＝4或3x﹣4y＝0　 ．
【解答】解：已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，
则圆心坐标为（3，1），半径为1，
又直线l过点P（4，3），且与圆C相切，
当直线的斜率不存在时，显然x＝4满足题意，
当直线的斜率存在时，不妨设直线方程为y﹣3＝k（x﹣4），
由题意可得：，
即，
即直线方程为y﹣3（x﹣4），
即3x﹣4y＝0．
故答案为：x＝4或3x﹣4y＝0．
13．（2024秋 上饶期末）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝BC＝4，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为　　 ．
【解答】解：如图，
在 ABCD中，∠ABC＝60°，SA＝AB＝BC＝4，
则 ABCD为菱形，且三角形ABC为正三角形，∠BAC＝120°，AC＝AB＝4，
由E为SA的中点，得，
，
在四棱锥S﹣ABCD中，由SA⊥平面ABCD，AB，AD，AC 平面ABCD，
得SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥AC，，
所以
，因此，
所以异面直线SC与DE所成的角的余弦值为．
故答案为：．
14．（2024秋 上饶期末）如图所示，用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO＝1，底面圆的半径为2，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 EF⊥AB，则该双曲线的两条渐近线所成角的正弦值为　　 ．
【解答】解：设EF交OB于N，以过点M且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，
平行于圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∵圆锥的高|PO|＝|O′N|＝1，M是PB中点，且截面垂直于底面，
∴，∴，
又∵底面圆半径|OB|＝2，
∴，，∴，
设双曲线的标准方程方程为，a＞0，b＞0，
将点M，E的坐标代入双曲线方程可得，解得，
则双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
设双曲线两渐近线所夹锐角为θ，则，解得．
∴双曲线两渐近线所夹锐角的正弦值为．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 河池期末）已知三角形三顶点A（3，1），B（0，﹣2），C（﹣1，0），求：
（1）直线AB的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（0，﹣2），
∴由两点式方程可得，直线AB的方程为，化简得x﹣y﹣2＝0；
（2）∵直线AB的斜率为，
∴AB边上的高所在直线的斜率为，
又∵点C（﹣1，0），
∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣0＝﹣1（x+1），化简整理可得，x+y+1＝0．
16．（2024秋 河池期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若AB＝2，求的值．
【解答】解：（1）在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，，，
因为点D为BC的中点，
所以，
因为，所以，
则，
所以；
（2）由（1）得，
，
由正四面体OABC可知∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝OC＝AB＝2，
根据平面向量数量积公式，
可得
＝﹣1，
所以可得的值为﹣1．
17．（2024秋 郸城县校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（q，p）到焦点的距离为4．
（1）求p+q的值；
（2）过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝10，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题知：y2＝2px（p＞0）上的点P（q，p）到焦点的距离为4，
p2＝2pq，p＞0，所以．
因为点P（q，p）到焦点的距离为4，所以4，所以，即p＝4，
所以q＝2，所以p+q＝6．
（2）由（1）知，抛物线C的方程为y2＝8x，其焦点坐标为（2，0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知l的斜率不为 0，设直线l的方程为x＝ty+2．
由得y2﹣8ty﹣16＝0，Δ＝64（t2+1）＞0，
所以y1+y2＝8t，所以．
因为|AB|＝10，所以x1+x2+p＝10，即8t2+4+4＝10，解得，
所以直线l的方程为，即2x±y﹣4＝0．
18．（2024秋 茅箭区期末）如图，在多面体ABCFED中，平面ADFC⊥平面DEF，四边形ADFC为直角梯形，AC∥DF，AD⊥DF，AC＝AD＝1，DF＝DE＝EF＝2．
（1）证明：CD⊥AE．
（2）求平面ACE与平面BCFE夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取DF的中点O，连接OE，OA，OC，则OE⊥DF，
因为平面ADFC⊥平面DEF，平面ADFC∩平面DEF＝DF，OE 平面DEF，
所以OE⊥平面ADFC，
因为CD 平面ADFC，所以OE⊥CD，
在直角梯形ADFC中，因为AC∥DF，AD⊥DF，AC＝AD＝1，DF＝2，
所以ADOC为正方形，所以CD⊥OA，
因为OA∩OE＝O，且OA，OE 平面OAE，所以CD⊥平面OAE，
因为AE 平面OAE，所以CD⊥AE．
（2）如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（1，0，1），C（0，0，1），，F（﹣1，0，0），
所以，，，
设平面ACE的法向量为，
所以令y1＝1，得，
设平面BCFE的法向量为，
所以令y2＝1，得，
因为，
所以平面ACE与平面BCFE夹角的余弦值为．
19．（2024秋 许昌期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点在椭圆C上，且△A1PA2的面积为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过点P且与椭圆C交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，作PH⊥l于H点．
①求证：直线l过定点，并求出定点的坐标；
②问是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，请求出该定值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为△A1PA2的面积为3，
所以，
解得a＝2，
因为点在椭圆上，
所以，
得到，
则椭圆C的方程为；
（2）①证明：当直线斜率不存在时，
不妨设直线l：x＝x1（﹣2＜x1＜2，x1≠1），A（x1，y1），B（x1，﹣y1）
易知，③
因为，
整理得，④
联立③④，解得x1＝1或x1＝﹣2，不符合题意；
当直线l斜率存在时，
不妨设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
此时Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，
即m2＜3+4k2，
由韦达定理得，
所以，
整理得4k2+2km﹣2m2+9m﹣9＝0，
即（2k+2m﹣3）（2k﹣m+3）＝0，
解得m＝2k+3或，
代入直线方程y＝kx+m中，
可得直线过定点（﹣2，3）或，
因为直线不过点P，
故直线l过定点（﹣2，3）；
②假设存在点G满足条件，
因为PH⊥l，
由①知直线l过定点M（﹣2，3），
所以点H在以PM为直径的圆上，
则当G为圆心时，GH为定值，
故存在定点，使GH为定值，定值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)