(共49张PPT)
模块综合检测卷
√
√
√
广告费用x/万元 4 2 3 5
销售额y/万元 49 26 39 54
广告费用x/万元 4 2 3 5
销售额y/万元 49 26 39 54
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
对于B，在正方体中，平面ABCD⊥平面B1BDD1，且两平面交线为BD，AC⊥BD，AC 平面ABCD，故AC⊥平面B1BDD1，因为AC⊥DF，则DF 平面B1BDD1，
12.(1－2x)(1＋3x)6的展开式中，含x2的项的系数为 .(用数字作答)
99
13.(2025·湖南长沙高二期末)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱CC1上存在一点N，使得MN⊥AB1，则CN
＝ .
15.(13分)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优
秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男学生500人，女学生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男学生、女学生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
解：根据已知条件，填写2×2列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
合计 200 700 900
P(χ2≥k0) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
解得－1＜k1＜1，同理－1＜k2＜1，
因此k1k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.模块综合检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若随机变量ξ，η满足ξ＋η＝3，且ξ～B，则D的值为( )
A. B.
C. D.10
答案：D
解析：由随机变量ξ～B，可得Dξ＝np(1－p)＝5××＝，因为ξ＋η＝3，可得η＝3－ξ，所以Dη＝D＝(－1)2×Dξ＝，所以D(3η＋1)＝32×Dη＝10.故选D.
2.(2025·北京海淀高二期中)若直线l1：x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，则a＝( )
A.3 B.－2
C.3或－2 D.3或1
答案：A
解析：由直线l1：x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，得＝≠，所以a＝3.故选A.
3.(2025·河南南阳高二期中)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元 4 2 3 5
销售额y/万元 49 26 39 54
根据上表可得线性回归方程Y＝X＋中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A.9.1万元 B.9.2万元
C.67.7万元 D.65.5万元
答案：D
解析： ＝＝，＝＝42，因为线性回归方程Y＝X＋经过样本点的中心，所以42＝9.4×＋，所以＝9.1，所以y＝9.4x＋9.1，当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5.故选D.
4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
答案：D
解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(人)，高中部共抽取60×＝20(人)，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有·种.故选D.
5.(2025·山西大同高二期中)已知a＞b＞0，双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若椭圆＋＝1的两个焦点是线段F1F2的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：双曲线－＝1的焦点坐标为(0，±)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±)，由题意可得＝，因为a＞b＞0，可得＝，因此，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
6.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A，B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：记事件E：第一次打击后就有部位损坏，事件F：A，B两个部位都损坏，则P(E)＝1－(1－)(1－)＝，P(EF)＝×＝，所以P(F｜E)＝＝.故选A.
7.(2025·辽宁沈阳高二期中)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的取值范围为( )
A.[2，4] B.[1，3]
C.(2，4) D.[0，4]
答案：A
解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心C(2，1)，半径r＝1，设P(a，b)，因为A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，所以＝(－t－a，－b)，＝(t－a，－b)，所以·＝(－t－a)(t－a)＋(－b)(－b)＝a2－t2＋b2＝0，即t2＝a2＋b2，所以｜OP｜＝＝t，因为点P在圆C上，所以t表示圆C上的点P到原点的距离，又＝＝3，r＝1，所以｜OC｜－r≤｜OP｜≤｜OC｜＋r，即2≤｜OP｜≤4，得2≤t≤4，因此t的取值范围为[2，4].故选A.
8.(2025·广东广州高二期末)阅读材料：数轴上，方程Ax＋B＝0(A≠0)可以表示数轴上的点，平面直角坐标系xOy中，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O-xyz中，方程Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程可表示为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是两平面x－3y－7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的法向量可取m＝(3，－5，1)，平面x－3y－7＝0的法向量可取a＝(1，－3，0)，平面4y＋2z＋1＝0的法向量可取b＝(0，4，2)，设两平面的交线l的方向向量为c＝(p，q，r)，由令p＝3，则q＝1，r＝－2，所以两平面的交线l的方向向量可取c＝(3，1，－2)，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则sin θ＝＝＝.故选A.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A)＝，则下列说法正确的是( )
A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立
C.P(A＋B)＝P() D.P(B｜)＝P(A)
答案：ABC
解析：对于A，因为AB一定互斥，所以A正确；对于B，P(A)＝＝＝，所以P(AB)＝×＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立，故B正确；对于C，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝＝1－＝P()，故C正确；对于D，P(B｜)＝＝＝＝P(B)＝≠P(A)，故D错误.故选ABC.
10.(2025·河北衡水高二期末)已知点O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，焦点为F，则下列选项正确的是( )
A.＝8
B.OA⊥OB
C.＋＝1
D.线段AB的中点到x轴的距离为2
答案：AC
解析：由抛物线C：x2＝4y，可得焦点F(0，1)，则直线y＝x＋1过抛物线C的焦点，联立方程组整理得到y2－6y＋1＝0，显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1＋y2＝6，y1y2＝1，对于A，由抛物线的定义，可得＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8，故A正确；对于B，由·＝x1x2＋y1y2＝(y1－1)(y2－1)＋y1y2 ＝2y1y2－(y1＋y2)＋1＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；对于C，由y2－6y＋1＝0，可得y1＝3＋2，y2＝3－2，由抛物线定义，可得＝4＋2，＝4－2，则＋＝＋＝1，故C正确；对于D，线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故D错误.故选AC.
11.(2025·浙江宁波高二期中)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在四边形A1B1C1D1所在的平面内，若＝，AC⊥DF，则下述结论正确的是( )
A.二面角A1-BD-A的平面角的正切值为2
B.CF⊥AC1
C.点E的轨迹是一个圆
D.直线DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为
答案：BCD
解析：对于A，记AC，BD相交于O，连接OA1，由于AO⊥BD，且A1B＝DA1，故A1O⊥BD，因此∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角，故tan∠A1OA＝＝＝，故A错误；对于C，连接A1E，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，A1E 平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1E，故AE2＝A＋A1E2，则有A1E＝1，所以点E的轨迹是以A1为圆心，1为半径的圆，故C正确；对于B，在正方体中，平面ABCD⊥平面B1BDD1，且两平面交线为BD，AC⊥BD，AC 平面ABCD，故AC⊥平面B1BDD1，因为AC⊥DF，则DF 平面B1BDD1，
故F在B1D1上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点F的轨迹是直线B1D1，设＝λ，则F(2λ，2－2λ，2)，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C，C1，则＝(2λ－2，－2λ，2)，＝，故·＝2(2λ－2)－4λ＋4＝0，进而可得⊥，故CF⊥AC1，故B正确；又＝(2，0，－2)，＝(－2，2，0)，＝(2λ，－2λ，2)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有令x＝1，则y＝1，z＝1，故平面A1BD的一个法向量为n＝(1，1，1)，设DF与平面A1BD所成的角为α，则sin α＝｜cos 〈，n〉｜＝＝，当λ＝0时，sin α有最大值，故DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选BCD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.)
12.(1－2x)(1＋3x)6的展开式中，含x2的项的系数为 .(用数字作答)
答案：99
解析：由题意得(1＋3x)6的展开式的通项为Tk＋1＝＝3kxk，所以(1－2x)(1＋3x)6的展开式中，含x2的项为32x2－2x·31x1＝99x2，所以展开式中含x2的项的系数为99.
13.(2025·湖南长沙高二期末)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱CC1上存在一点N，使得MN⊥AB1，则CN＝ .
答案：
解析：正三棱柱ABC-A1B1C1中，在平面ABC内过A作Ax⊥AC，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(，，2)，M(，，0)，设N(0，1，t)，0≤t≤2，则＝(－，，t)，＝(，，2)，由MN⊥AB1，得·＝－×＋×＋2t＝0，解得t＝，所以CN＝.
14.(2025·山东济南高二期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点是F，过点F作直线l交椭圆于点A，B，过点F与直线l垂直的射线交椭圆于点P，＝，且A，O，P三点共线(其中O是坐标原点)，则椭圆的离心率为 .
答案：
解析：设椭圆的左焦点为F'.由于A，O，P三点共线，故由椭圆的对称性知｜AO｜＝｜OP｜，而｜FO｜＝｜OF'｜，故四边形AFPF'是平行四边形.又因为FP⊥FA，故四边形AFPF'是矩形.由于四边形是矩形，故＝＝，｜BF'｜＝＝＝｜AB｜.从而可设｜AF'｜＝8k，｜AB｜＝15k，｜BF'｜＝17k，此时40k＝｜AF'｜＋｜AB｜＋｜BF'｜＝4a，解得k＝a，所以｜AF'｜＝a，｜AB｜＝a，｜BF'｜＝a，所以｜AF｜＝2a－a＝a，由｜AF｜2＋｜AF'｜2＝｜FF'｜2＝4c2，得到( a)2＋( a)2＝4c2，即a2＝4c2，故＝.从而椭圆的离心率e＝＝＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男学生500人，女学生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男学生、女学生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
(2)依据表中数据分析是否有90％的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
参考公式及数据：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
解：(1)根据已知条件，填写2×2列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
合计 200 700 900
男学生有报考军事类院校意向的概率为＝，
女学生有报考军事类院校意向的概率为＝.
(2)χ2＝≈3.214＞2.706，
所以有90％的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
16.(15分)(2025·江苏常州高二期中)已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，并且经过点P(2，－1)，与直线x＋y－1＝0相切.
(1)求圆M的方程；
(2)经过点(2，1)的直线l与圆M交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程.
解：(1)由题意，设圆心M，半径为r，
因为圆M经过点P(2，－1)，
所以r＝＝，
因为圆M与直线x＋y－1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝r，
所以＝，化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
则圆心M，半径r＝＝＝，
所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)由题意知，圆心M到直线l的距离d＝＝＝1，
若直线l的斜率不存在，其方程为x＝2，显然符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
则直线l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
17.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3DE＝6，BC＝2BE＝4，且BE⊥AD，现将△ABE沿BE翻折至△PBE，使得PD＝2.
(1)证明：PD⊥平面BCDE；
(2)求平面PCD与平面PBE所成角的正弦值.
解：(1)证明：因为BE⊥AD，
所以BE⊥ED且BE⊥AE，
易得翻折后BE⊥PE，
又ED∩PE＝E，ED，PE 平面PED，
所以BE⊥平面PED，
因为PD 平面PED，
所以BE⊥PD，
因为DE＝2，PE＝AE＝4，PD＝2，
所以PD2＋DE2＝PE2，即PD⊥DE，
又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BCDE，
所以PD⊥平面BCDE.
(2)连接BD，在梯形BCDE中，易得DB＝DC＝2，
所以DB2＋DC2＝BC2，DB⊥DC，
如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则P，B，E，
＝，＝，
设平面PBE的法向量为m＝，
则令z＝2，则x＝，y＝－，
则m＝为平面PBE的一个法向量，
结合(1)易知BD⊥平面PCD，所以取平面PCD的一个法向量为n＝，
所以cos 〈m，n〉＝＝，
即平面PCD与平面PBE所成角的余弦值为，
所以平面PCD与平面PBE所成角的正弦值为.
18.(17分)某试点高校校招过程中笔试通过后才能进入面试环节.2024年报考该试点高校的学生的笔试成绩X'近似服从正态分布N.其中，μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.已知μ的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的均值；
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和均值.
参考数据：若X～N，则：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由P＝＋≈0.841 35，
又μ的近似值为76.5，σ的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是76.5－5.5＝71(分).
(2)由μ≈76.5，可得P＝，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为，
所以随机变量ξ～B，故Eξ＝10×＝5.
(3)X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝××××＋××××＝，
P(X＝2)＝×××＋×××××＋×××＝，
P(X＝3)＝××××＋××××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.(17分)中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点F1，F2距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布 伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C：＝9是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
解：(1)法一：设焦点F1，F2，
曲线C：＝9与x轴正半轴交于点P，
由题意知＝＝9－a2＝a2，
于是a2＝，a＝，
因此F1，F2.
法二：设焦点F1，F2，
由题意知＝a4，
即[(x2＋a2＋y2)＋2ax][(x2＋a2＋y2)－2ax]＝a4，
整理得＝2a2，于是a2＝，a＝.
因此，F1，F2.
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OA⊥OB，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y＝k1x，直线OB的方程为y＝k2x，
将直线OA的方程与曲线C联立，得x4＝9x2，由x≠0，即x2＝＞0.
解得－1＜k1＜1，同理－1＜k2＜1，
因此k1k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
