(共25张PPT)
15.3.1 等腰三角形
第 1 课时 等腰三角形的性质
1. 探索并证明等腰三角形的性质：
① 等边对等角 ；② 三线合一 . (重点)
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
(重点、难点)
3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力.
在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形，例如下图的中和殿的屋檐设计，你能说说为什么吗？
中和殿
【知识链接】
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
A
C
B
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
探究点：等腰三角形的性质
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中 AB ＝AC ，所以△ABC 是等腰三角形.
操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？
操作2：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段：
AB 和 AC
重合的角：
∠BAD =∠CAD
∠ B =∠ C
∠ADB =∠ADC
AD 和 AD
BD 和 CD
探究点：等腰三角形的性质
思考：在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？
既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高.
猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想.
(1) 等腰三角形的两个底角相等.
(2) 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
探究点：等腰三角形的性质
操作3： 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把 它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？
成立.
思考：如何证明你的猜想呢？
探究点：等腰三角形的性质
A
B D C
3
3
沿折痕重合
证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B = ∠C.
分析：
构造两个全等三角形
证明角相等
1.作底边上的中线
2.作底边上的高线
3.作顶角的角平分线
探究点：等腰三角形的性质
作底边 BC 的中线 AD.
AB = AC (已知)，
BD = CD (已作)，
AD = AD (公共边)，
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴∠B =∠C .
在 △BAD 和 △CAD 中，
方法1：作底边上的中线.
探究点：等腰三角形的性质
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC (已知)，
AD＝AD (公共边)，
∵ AD⊥BC，
方法2：作底边上的高线.
∴∠B＝∠C.
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
探究点：等腰三角形的性质
在 △ABD 与 △ACD 中，
AB＝AC (已知)，
∠BAD＝∠CAD，
AD＝AD (公共边)，
∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线，
方法3：作顶角的角平分线 AD.
∴∠B＝∠C.
∴ △ABD≌△ACD (SAS).
∴∠BAD＝∠CAD.
探究点：等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角______
(简写成“等边对等角”).
相等
几何语言：
∵ △ABC 是等腰三角形，
∴ ____=____(等角对等边).
∠B
∠C
探究点：等腰三角形的性质
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数.
∠A+∠ABC+∠C = x + 2x + 2x =180°. 解得 x = 36°.
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC，
∠A =∠ABD (等边对等角) .
设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，
从而 ∠ABC = ∠C =∠BDC = 2x.
于是在△ABC 中，有
所以，在△ABC 中∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
A
B
C
D
探究点：等腰三角形的性质
证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC.
分析：
假设任意一种线段为已知条件
证明三线合一
探究点：等腰三角形的性质
∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∴AD⊥BC.
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC.
∴△BAD≌△CAD (SSS).
证明：∵在△ABD 和△ACD 中，
AB＝AC (已知)，
AD＝AD (公共边)，
BD＝CD (已知)，
这三条线是否在
任意边上都重合？
探究点：等腰三角形的性质
等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________
(简写成“三线合一”，注意：腰上的高
相互重合
和中线与底角的平分线不具有这一性质.).
你能翻译成几何语言吗？
探究点：等腰三角形的性质
三线合一
(1)∵△ABC是等腰三角形，
BD = CD (已知)
∴______________，________
(等腰三角形的“三线合一”)
(2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)
∴_________，AD⊥BC，_________________________
(3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC
∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
AD⊥BC
BD = CD
(等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
探究点：等腰三角形的性质
探究这个三角形的特点
三角形的边
三角形的角
与三角形的有关线段
三角形的对称性
等腰三角形
AB = AC
∠B = ∠C
三线合一
轴对称图形
分析：
探究点：等腰三角形的性质
例2 如图，在△ABC 中， AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE 和∠1 的度数.
解： ∵AB = AC， ∠C = 70°，
∴ ∠ABC = ∠C = 70°.
∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，
∴AE⊥BC，即∠AEB = 90°.
∴ ∠BAE = 90°-∠ABE = 20°.
∵ ∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线，
∴ ∠CBF =∠ABC = 35° .
由三角形外角的性质可知，
∠1 = ∠AEB +∠CBF = 90°+ 35° = 125°.
探究点：等腰三角形的性质
等腰三角形的_________________
_____________________________简称“________”
定义
等腰三角形
等腰三角形是___对称图形
性质
有_________的三角形
等腰三角形的两个底角_____简称“___________”
两边相等
相等
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
轴
三线合一
等边对等角
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.请补充下列推理过程.
第1题图
(1)∵AD⊥BC，
∴∠1＝∠ ，BD＝ ；
(2)∵AD是中线，
∴AD⊥ ，∠1＝∠ ；
(3)∵AD是角平分线，
∴ ⊥BC， ＝CD；
(4)应用：若AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
BD＝5，则BC＝ .
2
CD
BC
2
AD
BD
10
2. 已知等腰三角形ABC.
第2题图
(1)若AB＝AC，∠A＝70°，则∠C的度数为 ；
(2)若该三角形有一个角为100°，则其底角度数
为 ；
(3)若该三角形有一个角为80°，
则其顶角的度数为 ；
(4)如图，若AB＝AC，∠A＝40°，以点B
为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E，
则∠AEB的度数是 .
55°
40°
80°或20°
110°
3. 如图，△ABC是等腰三角形，
AD是∠BAC的平分线.
若AB＝5cm，BD＝4cm，
则△ABC的周长是 .
第3题图
18cm
4. 如图，AB∥CD，EC＝EA，
若∠CAE＝40°，
则∠BAE＝ °.
第4题图
100
5.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：∵F为DE的中点，
∴DF＝EF.
又∵BD＝CE，
∴BD＋DF＝CE＋EF.
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.探索并证明等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）.
2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
3.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力.
重点：1.探索并证明等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
难点：等腰三角形性质的证明.
知识链接
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
创设情境——见配套课件
探究点：等腰三角形的性质
操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形.
操作2：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
（学生讨论回答）
思考：在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段？
既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高.
猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想.
（1）等腰三角形的两个底角相等.
（2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折.你的猜想仍然成立吗？成立.
论证：如图，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD.求证：∠B＝∠C，AD平分顶角∠BAC，AD垂直于底边BC.
证明：在△BAD和△CAD中，∴△BAD≌△CAD（SSS）.∴∠B＝∠C（这样，我们就证明了性质1）.由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC并垂直于底边BC.
（教材P79例1）在配套课件中展示
如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的中线，BF是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE和∠1的度数.
解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°.∵AB＝AC，AE是BC边上的中线，∴AE⊥BC，即∠AEB＝90°.∴∠BAE＝90°－∠ABE＝20°.∵∠ABC＝70°，BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF＝∠ABC＝35°.由三角形外角的性质可知，∠1＝∠AEB＋∠CBF＝90°＋35°＝125°.
归纳总结：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）.
1.[规范作答]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.请补充下列推理过程.
（1）∵AD⊥BC，∴∠1＝∠ 2 ，BD＝ CD ；
（2）∵AD是中线，∴AD⊥ BC ，∠1＝∠ 2 ；
（3）∵AD是角平分线，∴ AD ⊥BC， BD ＝CD；
（4）应用：若AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则BC＝ 10 .
2.[串题进阶]已知等腰三角形ABC.
（1）若AB＝AC，∠A＝70°，则∠C的度数为 55° ；
（2）若该三角形有一个角为100°，则其底角度数为 40° ；
（3）[高频易错]若该三角形有一个角为80°，则其顶角的度数为 80°或20° ；
（4）如图，若AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E，则∠AEB的度数是 110° .
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平分线.若AB＝5cm，BD＝4cm，则△ABC的周长是 18cm .
4.如图，AB∥CD，EC＝EA，若∠CAE＝40°，则∠BAE＝ 100 °.
5.[教材变式]如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：∵F为DE的中点，∴DF＝EF.
又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF.
∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
轴对称图形→等腰三角形→应用
第15章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【素养目标】
1. 探索并证明等腰三角形的两条性质（等边对等角，三线合一）。（重点）
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。（重点、难点）
3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性， 提升推理能力。
【情境导入】
在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形， 例如下图的中和殿的屋檐设计， 你能说说为什么吗？
中和殿
【知识链接】
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
【合作探究】
探究点： 等腰三角形的性质
操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到 有什么特点？
操作2: 把剪出的等腰三角形 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。
重合的线段：
重合的角：
思考： 在等腰三角形 中， 是什么特殊的线段？
猜想：等腰三角形有什么性质？ 说说你的猜想。
操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折。 你的猜想仍然成立吗？
思考： 如何证明你的猜想呢？
证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在 中， . 求证： .
方法1: 作底边上的中线。
方法2: 作底边上的高线。
方法3: 作顶角的角平分线 .
等腰三角形的性质1 ：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
几何语言：
是等腰三角形，
（等角对等边）。
例1 如图，在 中， ，点 在 上， .
求 各角的度数。
已知： 如图，在 中， ，求证 平分 .
等腰三角形的性质2 :
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
（简写成“三线合一”，注意：腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质。）。
几何语言
三线合一
(1) 是等腰三角形， （已知）
（等腰三角形的“三线合一”）
(2) 是等腰三角形， （已知）
, ( ________________________ )
(3) 是等腰三角形，
, ____________________ .（等腰三角形的 “三线合一” ）
例2 如图，在 中， 是 边上的中线， 是角平分线， . 求 和 的度数。
当堂反馈
1. 如图，在 中， ，点 在 上。 请补充下列推理过程。
(1) ,
(2) 是中线， _____ _____.
(3) 是角平分线， , ;
(4) 应用：若 是等腰三角形 的顶角平分线，
，则 __________.
2. 已知等腰三角形 .
(1) 若 , ，则 的度数为_____；
(2) 若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为_____；
(3) 若该三角形有一个角为8或20°则其顶角的度数为_____；
(4) 如图，若 ，以点 为圆心， 长为半
径画弧，交 于点 , 则 的度数是_____.
3. 如图， 是等腰三角形， 是的平分线。
若 , 则 的周长是_________.
第3题图 第4题图
4. 如图， , 若 , 则 _____.
5. 如图，点 , 在 的边 上， , 为 的中点，求证： .
参考答案
探究点： 等腰三角形的性质
操作1: 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即 中 ，所以 是等腰三角形。
操作2: 重合的线段： 和 和 和 .
重合的角： .
思考： 既是顶角的平分线，又是底边上的中线， 也是底边上的高。
猜想： （1）等腰三角形的两个底角相等。
（2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。
操作3: 成立。
思考： 方法1: 作底边上的中线。作底边 的中线 .
在 和 中， （已知）， （已作）， （公共边），
(SSS). .
方法2: 作底边上的高线。 , .
在 与中 ( ).
.
方法3: 作顶角的角平分线 .是的角平分线， .
在 与 中，
.
例1 解： , ,
（等边对等角）。 设 ，则 , 从而
. 于是在 中，有
. 解得 .
所以，在 中 .
证明：等腰三角形的性质2
证明： 在 和 中，
(SSS). . , . .
例2 解： , .
是边上的中线， ，即 .
. 是 的平分线，
.
由三角形外角的性质可知，
当堂反馈
1. (1) (2) 2 ; (3) AD BD . (4) 10 .
2. (1) ；（2） 40°；（3） 80°或20°(4) 110°
3. . 4. 100°
5. 证明： 为 的中点， . 又 ,
. . , .
