(共20张PPT)
15.3.1 等腰三角形
第 2 课时 等腰三角形的判定
1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理. (重点)
2. 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.(难点)
3. 通过对等腰三角形的判定定理的证明，加强推理能力，以及分析、解决问题的能力.
小马虎在设计一个等腰△ABC (AB = AC) 的房梁时，一不小心，它的一部分被墨水涂没了，只留下底边 BC 和一个底角∠C，同学们想一想，有没有办法把原来的等腰△ABC 重新画出来 大家试试看.
探究点： 等腰三角形的判定
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探究：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. AB 与 AC 的数量关系如何呢？
分析：如图，从点 A 作一条辅助线：
角平分线 AD(或高 AD，或中线 AD)
A
B
C
D
1
2
两个三角形全等
证明
【证一证】已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB = AC .
∴△BAD≌△CAD (AAS).
∴AB＝AC.
证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD.
∠1 = ∠2，
在△BAD 和△CAD 中， ∠B = ∠C，
AD = AD，
A
B
C
D
1
2
你还有其他的证明方法吗？
探究点： 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：
如果有一个三角形的两个角_____，那么这两个角所对的边也相等.
(简写成“等角对等边”).
相等
几何语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴ ____=____(等角对等边).
AB
AC
探究点： 等腰三角形的判定
讨论：“等边对等角 ”与“等角对等边 ”的区别是什么？
等腰三角形的性质：两边相等，这两边所对的角相等.
等腰三角形的判定：两角相等，这两角所对的边相等.
探究点： 等腰三角形的判定
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
分析：
证明 AB = AC
先证明 ∠B = ∠C
利用∠1 =∠2，AD∥BC
探究点： 等腰三角形的判定
∴ AB = AC(__________)．
∴∠1 =∠B (_______________________)，
∠2 =∠C (_______________________)．
证明：
∵ AD∥BC，
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等角对等边
总结
证明两条线段相等，除了证明线段所在两个三角形全等外，还可以判定两条线段所在三角形是等腰三角形.
∴∠B =∠C，
又∵∠1 =∠2，
探究点： 等腰三角形的判定
例2 如图，∠A = 36°，∠ DBC =36°， ∠C = 72°. 分别计算∠1，∠2 的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
解： ∵∠ DBC = 36°，∠C = 72°，
∴ AD = BD，BC = BD ，AB = AC.
图中共有三个等腰三角形，即 △ABD，△BDC，△ABC.
∴ ∠ABC =∠C = 72°，
又 ∠2 = ∠A = 36°，∠1 = ∠C = 72°，
∴ ∠1 = ∠A +∠2. ∴ ∠2=∠1－∠A = 36°.
又 ∠1 是△ABD 的一个外角，
∴ ∠1 = 180° -∠DBC -∠C = 72°.
探究点： 等腰三角形的判定
例3 尺规作图：已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形.
(1) 作线段 AB = a；
(4) 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求.
(3) 在 MN 上取一点 C，使 DC = h；
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，
交 AB 于点 D；
作法：
探究点： 等腰三角形的判定
【算一算】1. 已知如图，四边形 ABCD 是一个等腰梯形，BD平分∠ABC，BC = 9 cm，若 AD = 5 cm，则四边形ABCD的周长为________.
24 cm
探究点： 等腰三角形的判定
2. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E .过点 E 作 DE∥BC 交 AB 于点 D.
(1) 求证：DB = DE；
(2) 若 ∠A = 80°，∠C = 40°，求∠DEB 的度数.
探究点： 等腰三角形的判定
解：(1)证明：在 △ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，
∴∠DEB =∠DBE. ∴DB = DE.
∴∠DEB =∠CBE.
∵ DE∥BC，
∴∠ABE =∠CBE.
∴∠ABE =∠CBE = ∠ABC = 30°.
由(1)知∠DEB =∠DBE = 30°.
∴∠ABC 的平分线交 AC 于点 E.
∴∠ABC = 60°.
(2) ∵∠A = 80°，∠C = 40°，
探究点一： 等腰三角形的判定
(2) 若 ∠A = 80°，∠C = 40°，求∠DEB 的度数.
等腰三角形
1.两个底角____
2.两条边____
性质
判定
相等
等腰三角形
相等
1. 在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长
为( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 三角形一边上的高和这条边上的中线重合，则这
个三角形一定是( C )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
D
C
3. 如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8cm，则△ABC是
三角形，BD的长为 cm.
第3题图
等腰
4
4. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线
交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于
M，N两点，BM＝3，CN＝4，则MN＝ .
第4题图
7
5. 如图，AB＝AC，DE∥AC.
求证：△DBE是等腰三角形.
书写通关
证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝ .
∵AB＝AC，
∴ .
∴ ＝∠DEB.
∴ .
∴△DBE是 .
∠DEB
∠B＝∠C
∠B
DB＝DE
等腰三角形
6. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB
的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M，求证：
△BCD是等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝36°.
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°.
∴∠C＝∠BDC. ∴BC＝BD.
∴△BCD是等腰三角形.第2课时 等腰三角形的判定
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理.
2.运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.
3.通过对等腰三角形的判定定理的证明，加强学生的推理能力，以及分析、解决问题的能力.
重点：等腰三角形判定方法的应用.
难点：等腰三角形判定方法的应用.
知识链接
上一堂课，我们学习了等腰三角形的性质，我们一起来回顾一下.
创设情境——见配套课件
探究点：等腰三角形的判定
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探究：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.AB与AC的数量关系如何呢？
如图，从点A作一条辅助线：角平分线AD（或高AD，或中线AD），然后用全等三角形的知识进行说明.
求证：作∠BAC的平分线AD，你能证明AB＝AC吗？试一试.
如图，作△ABC的角平分线AD.在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD（AAS）.∴AB＝AC.
总结：由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
几何语言 图形
在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
思考：你还有其他方法证明吗？与大家讨论并尝试做一做.
讨论：“等边对等角”与“等角对等边”的区别是什么？
等腰三角形的性质：两边相等，这两边所对的角相等.
等腰三角形的判定：两角相等，这两角所对的边相等.
（教材P80例2）在配套课件中展示
如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
解：∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°.又∠1是△ABD的一个外角，∴∠1＝∠A＋∠2.∴∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°.∴∠2＝∠A＝36°，∠1＝∠C＝72°.∴∠ABC＝∠C＝72°.∴AD＝BD，BC＝BD，AB＝AC.图中共有三个等腰三角形，即△ABD，△BDC，△ABC.
尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：
（1）作线段AB＝a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C，使DC＝h.
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
1.在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.三角形一边上的高和这条边上的中线重合，则这个三角形一定是（ C ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
3.如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8cm，则△ABC是 等腰 三角形，BD的长为 4 cm.
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，BM＝3，CN＝4，则MN＝ 7 .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
第15章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
【素养目标】
1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理。 （重点）
2. 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。（难点）
3. 通过对等腰三角形的判定定理的证明，加强推理能力， 以及分析、解决问题的能力。
【情境导入】
小马虎在设计一个等腰 的房梁时， 一不小心，它的一部分被墨水涂没了，只留下底边 和一个底角 ，同学们想一想，有没有办法把原来的等腰 重新画出来？ 大家试试看。
【合作探究】
探究点： 等腰三角形的判定
思考： 我们知道， 如果一个三角形有两条边相等， 那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探究： 如图，在 中， 与 的数量关系如何呢？
【证一证】
你还有其他的证明方法吗？
等腰三角形的判定：
如果有一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简写成“等角对等边”）。
几何语言：
在 中， ,
（等角对等边）。
讨论：“等边对等角”与“等角对等边”的区别是什么？
例1 求证： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形。
已知： 如图， 是 的外角， . 求证： .
例2 如图， . 分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
例3 尺规作图： 已知等腰三角形底边长为 ，底边上的高的长为 ，求作这个等腰三角形。
【练一练】
1. 已知如图，四边形 是一个等腰梯形， 平分 ，若 , 则四边形 的周长为_________.
2. 如图，在 中， 的平分线交 于点 . 过点 作 交 于点 .
(1) 求证： ;
(2) 若 ，求的度数。
当堂反馈
1. 在 中， ，则 的长为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 三角形一边上的高和这条边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
3. 如图，在 中，若 , 于 ，则 是 _____ 三角形， 的长为_____ .
第3题图 第4题图
4. 如图，在 中， , 的平分线交于点 ，过 点作 分别交 , 于 两点， ，则 .
5. 如图， , .求证： 是等腰三角形。
书写通关
证明： ,
.
,
__.
.
.
是__________.
6. 如图， 中， , , 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，求证： 是等腰三角形。
参考答案
探究点： 等腰三角形的判定
【证一证】证明： 如图，作 的角平分线 .
在和中， (AAS). .
讨论： 等腰三角形的性质： 两边相等， 这两边所对的角相等。
等腰三角形的判定：两角相等，这两角所对的边相等。
例1 证明： , ( 两直线平行，同位角相等 ),
（两直线平行，内错角相等）。又 ,
（等角对等边）。
例2 解： , .
又 是 的一个外角， . 又 , ,
.
图中共有三个等腰三角形，即 .
例3 作法： (1) 作线段 ；
(2) 作线段 的垂直平分线 , 交 于点 ；
(3) 在 上取一点 ，使 ；
(4) 连接 ，则 即为所求。
【练一练】1. .
2. 解：（1）证明： 在 中， 的平分线交 于点 ,
. , . .
.
(2) , .
的平分线交 于点 .
.
由 (1) 知 .
当堂反馈
1. D. 2. C. 3. 等腰 . 4. .
5. . 等腰三角形
6. 证明： ,
垂直平分 . .
. .
是等腰三角形。
