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15.3.2 等边三角形
第 1 课时 等边三角形的性质和判定
1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.
(重点)
2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. (难点)
在上节课基础上，需要设计一个等腰△ABC，目前已知底边 BC ，你该如何设计呢？在设计过程中，你有什么发现？
分析：
三线合一
底边
联想
探究点一： 等边三角形的性质
思考：顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 AB 的长度等于 BC ，△ABC 会变成什么三角形？
等边三角形
等边三角形的定义：
是三边都_____的特殊的等腰三角形.
相等
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形与等边三角形的关系：
探究点一： 等边三角形的性质
思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？
由定义可知：等边三角形的三条边都相等.
如图，∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB = BC = AC.
等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用
A
B
C
探究点一： 等边三角形的性质
问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下.
等腰三角形
等边三角形
AB = AC
∠B = ∠C
AB = AC = BC
∠A，∠B，∠C
探究点一： 等边三角形的性质
已知：AB ＝AC ＝BC ，求证：∠A = ∠B = ∠C= 60°.
证明：∵AB = AC ，
∴ ∠B = ∠C (等边对等角).
同理 ∠A = ∠C，
∴ ∠A = ∠B = ∠C.
∵ ∠A + ∠B + ∠C =180°，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个
角都等于 60°.
探究点一： 等边三角形的性质
问题3：从“三线合一 ”的角度比较两者，等边三角形的“三线 ”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” ．等边三角形有三条对称轴.
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
A
B
C
A
B
C
探究点一： 等边三角形的性质
根据前面的探究结果完成下表.
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边
角
三线合一
对称性
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，且都是 60°
3 条对称轴
1 条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
两条边相等
三条边都相等
探究点一： 等边三角形的性质
例1 如图，△ ABC 是等边三角形 ，DE∥BC，分别交AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C.
∴∠A = ∠ADE = ∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
探究点一： 等边三角形的性质
思考1：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证.
探究点二：等边三角形的判定
分析：
三角相等
两角相等(等腰三角形的判定)
三角形
三边相等(等边三角形的定义)
边
角
一角 60°
思考2：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？
通过上面性质的学习，我们很容易联想到：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
探究点二：等边三角形的判定
已知：如图，在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵∠A = ∠B ，
∴ BC = AC .
∵∠B = ∠C ，
∴ AB = AC .
∴ AB = AC = BC .
∴ △ABC 是等边三角形.
探究点二：等边三角形的判定
论证： 已知：如上图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A ＝60°，求证：△ABC 是等边三角形.
猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°， 那么它是等边三角形吗？
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明： ∵AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C.
∵ ∠A +∠B +∠C＝180°，∠A＝60°，
∴ 60° + 2∠B ＝180°. ∴ ∠B＝60°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∴△ABC 是等边三角形.
探究点二：等边三角形的判定
A
B
C
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看
从角看
两条边相等的三角形是等腰三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定.
探究点二：等边三角形的判定
例2 如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60°，图中有哪些与 BD 相等的线段？
与 BD 相等的线段有：
DC，DE，DF，AE， BE，AF，CF.
探究点二：等边三角形的判定
定义
等边三角形
__________的三角形等边三角形
判定
性质
____________的三角形是等边三角形
等边三角形的三个内角______，并且每一个内角________
三个角都相等
都相等
有____个角是___的______三角形是等边三角形
一
60°
等腰
三边都相等
等于 60°
1. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
则∠BAD的度数为( A )
A. 30° B. 40°
C. 45° D. 无法求出
A
2. [规范作答]如图，在△ABC中.
(1)∵AB＝AC＝ ，
∴△ABC是等边三角形；
BC
(2)∵∠A＝∠B＝ ，
∴△ABC是等边三角形；
(3)∵AB＝AC，且 ＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∠C
∠A(或∠B或∠C)
3. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°.
如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(2)求证：CD＝CF.
(2)证明：由(1)得∠EDC＝∠ECD ＝60°，
∴∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.
∴EC＝CF. ∴CD＝CF.15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.
2.合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识.
重点：探究等边三角形的性质与判定方法，并进行简单的应用.
难点：等边三角形的性质与判定的应用.
知识链接
回顾前面课时的内容，你觉得等腰三角形和等边三角形有什么区别联系.那等边三角形又有什么特殊的性质呢？让我们开始今天的学习.
创设情境——见配套课件
探究点一：等边三角形的性质
思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？
由定义可知：等边三角形的三条边都相等.
几何语言：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC.
问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明.
等腰三角形 等边三角形
AB＝AC AB＝AC＝BC
∠B＝∠C ∠A，∠B，∠C？
论证：已知：AB＝AC＝BC，求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）.
同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
问题3：从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.等边三角形有三条对称轴.
总结：结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的性质并完成下表.
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 两条边相等 三条边都相等
两个底角相等 三个角都相等，且都是60°
底边上的中线、高和顶角的平分线 互相重合 每一边上的中线、高和这一边所对的角的 平分线互相重合
对称轴（1条） 对称轴（3条）
探究点二：等边三角形的判定
思考：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？
通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形.
论证：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形.
证明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C，得AC＝AB.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等边三角形.
猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
论证：已知：如上图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°，∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.由（1）中结论可知，△ABC是等边三角形.
总结：结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定.
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形
从角看 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中有哪些与BD相等的线段？
BD＝DC＝DE＝DF＝AE＝BE＝AF＝CF.
1.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，则∠BAD的度数为（ A ）
A.30° B.40° C.45° D.无法求出
2.[规范作答]如图，在△ABC中.
（1）∵AB＝AC＝ BC ，∴△ABC是等边三角形；
（2）∵∠A＝∠B＝ ∠C（或60°） ，∴△ABC是等边三角形；
（3）∵AB＝AC，且 ∠A（或∠B或∠C） ＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
3.如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）求证：CD＝CF.
（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°.
（2）证明：由（1）得∠EDC＝∠ECD＝60°，∴∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝CF.∴CD＝CF.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
第15章 轴对称
15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
【素养目标】
1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力。 （重点）
2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题， 发展应用意识。 （难点）
【情境导入】
在上节课基础上，需要设计一个等腰 ，目前已知底边 ，你该如何设计呢？ 在设计过程中，你有什么发现？
【合作探究】
探究点一：等边三角形的性质
思考： 顶点 在边 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 的长度等于 会变成什么三角形？
等边三角形的定义：
是三边都________的特殊的等腰三角形。
等腰三角形与等边三角形的关系：
思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？
问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？ 你能得到什么结论？ 试着证明一下。
已知： , 求证：
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 .
问题3：从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？ 等边三角形有几条对称轴？
根据前面的探究结果完成下表。
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边
角
三线合一
对称 性
例1 如图， 是等边三角形， ，分别交 于点 .
求证： 是等边三角形。
想一想： 本题还有其他证法吗？
探究点二： 等边三角形的判定
思考1: 对于一般 ，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证。
思考2: 通过前面的学习， 我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？
已知： 如图，在 中， . 求证： 是等边三角形。
猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 , 那么它是等边三角形吗？
论证： 已知： 如上图，在 中， , 若 ，求证： 是等边三角形。
结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看
从角看
例2 如图，等边三角形 中， 是 上的高， ，图中有哪些与 相等的线段？
当堂反馈
1. 如图， 是等边三角形， 是 的中点， 则 的度数为（ ）
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 无法求出
2. [规范作答]如图，在 中。
(1) _____, 是等边三角形；
(2) _____, 是等边三角形；
(3) ，且__________________ ,
是等边三角形。
3. 如图，在等边三角形 中，点 在边 上，过点 作 交 于点 ，过点 作 , 交 的延长线于点 .
(1) 求 的度数；
(2) 求证： .
参考答案
探究点一：等边三角形的性质
思考1: 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用
问题1: 由定义可知： 等边三角形的三条边都相等。 如图， 是等边三角形， .
问题2: 证明： , （等边对等角）。 同理 ,
. , .
问题3：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”。 等边三角形有三条对称轴。
根据前面的探究结果完成下表。
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边 两条边相等 三条边都相等
角 两个底角相等 三个角都相等，且都是
三线合一 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
对称 性 1 条对称轴 3 条对称轴
例1 证明： 是等边三角形， .
, . .
是等边三角形。
探究点二： 等边三角形的判定
思考2: 通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形。
证明： , .
, . . 是等边三角形。
猜想：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
证明： .
, .
. 是等边三角形。
总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形
从角看 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例2 与 相等的线段有： .
当堂反馈
1. A.
2. (1) (2) (3) （或 或 ）
3. (1) 解： 是等边三角形， .
. , .
.
（2）证明：由（1）得 ,
是等边三角形。 .
.
.
