第15章 轴对称
15.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【素养目标】
1. 掌握含 30°角的直角三角形的边角性质。 （重点）
2. 经历探究含 角的直角三角形性质的过程，提升推理能力。（重点）
3. 合理应用含 角的直角三角形的性质，强化应用意识。 （难点）
【情境导入】
根据之前的知识完成下表。
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边
角
三线合一
对称 性
如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点， 立柱 垂直于横梁 , 立柱 的长是多少？
在 的直角三角形中， 探究边长之间的关系。
【合作探究】
探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质
【情境探究】如图，将两个含 角的全等的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到 的直角边 与斜边 之间的数量关系吗？
问题1: 两个三角尺构成的图案，是一个三角形吗？
问题2: 是不是等边三角形？
问题3: 你能说说 与 的长度关系吗？
思考： 如何证明上面的结论呢？
证法1 如图，在Rt 中， , . 求证： .
证法 2:
含 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言
在 ,
,
.
例1 如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点，立柱 垂直于横梁 , ，立柱 的长是多少？
例2 如图，灯塔 在海岛 的北偏东 方向，某天上午 8 点，一条船从海岛 出发，以 15 n mile/h 的速度由西向东航行，上午 10 时整到达 处，此时测得灯塔 在 处的北偏东 方向。
(1) 求 处到灯塔 的距离；
(2) 已知在以灯塔 为中心，周围 mile 的范围内均有暗礁， 若该船继续由西向东航行， 是否有触礁的危险？ 请你说明理由。
【练一练】1. 如图，在Rt 中， ，线段 的垂直平分线分别交 于点 ，连接 , 则 ，则 的长为 _____.
当堂反馈
1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为 , 则斜边的长为 ( )
A. 2cm B.
C. 6cm D. 8 cm
2. 如图，在 中， , , 平分 .
若 ，则 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在 中， , ，则底边上的中线 的长为 _________.
4. 如图，在Rt 中， , , 是 的高，且 ，则 的长为________.
5. 如图，在等边三角形 中，点 、 分别在边 、 上，将 沿着 折叠，使点 落在边 上的点 处，且 ，求证： .
参考答案
复习导入
根据前面的探究结果完成下表。
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边 两条边相等 三条边都相等
角 两个底角相等 三个角都相等，且都是
三线 合一 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
对称 性 1 条对称轴 3 条对称轴
探究点： 含 30°角的直角三角形的性质
问题1: 是的。 , 所以点 在一条直线上。 所以两个三角尺构成一个图案是一个三角形。
问题2：是。 因为两个三角形尺全等，所以 .
因为 ，所以 .
所以 是等边三角形。
问题3: 理由： 因为 ，所以
因为 是等边三角形，所以 . 所以 .
思考： 证法1 在 边上截取 ，连接 . 在Rt 中，
, . 又 ,
是等边三角形。 .
. 而 ,
.
.
证法2：延长 到 ，使 ，连接 , 则 是 的垂直平分线，所以 . 又因为 , 所以 是等边三角形，所以 , 又 ，所以 .
例1 解： ,
.又 , .
答： 立柱 的长是 的长是 .
例2 解： (1) 根据题意得 ,
, (n mile),
. . mile.
答： 处到灯塔 的距离为 mile.
(2) 会有触礁的危险。理由： 如图，过点 作 于点 .
mile, mile. ,
该船继续由西向东航行会有触礁的危险 .
【练一练】1. 2.
当堂反馈
1. D. 2. A 3. 6 4. 3.
5. 证明： 沿着 折叠，得到
, .
,
.
.
.第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.
2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.
3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.
重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用.
难点：含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.
知识链接
我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角.量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜.
创设情境——见配套课件
探究点：含30°的直角三角形的性质
情境探究：如图，将两个含30°角的全等的三角板摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题1：两个三角板构成的图案，恰好是一个三角形吗？
是的.∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上.所以两个三角板构成的图案恰好是一个三角形.
问题2：△ABD是不是等边三角形？说明理由.
是.因为两个三角形全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形.
问题3：你能说说BC与AB的长度关系吗？
BC＝AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝BD.因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝AB.
思考：你还能用其他方法证明上面的结论吗？试一试.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB.
证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝AB.
（教材P83例5）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长.
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.∴BC＝×7.4＝3.7（m）.
又AD＝AB，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）.
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.
（1）求B处到灯塔C的距离；
（2）已知在以灯塔C为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.
解：（1）根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30（nmile），∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.
答：B处到灯塔C的距离为30nmile.
（2）会有触礁的危险.理由：如图，过点C作CD⊥AE于点D.∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝BC＝15nmile.∵15＜16，∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险.
1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（ D ）
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC.若AD＝6，则CD的长为（ A ）
A.3 B.4 C.5 D.6
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD的长为 6 .
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为 3 .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
