浙教版九年级上册 3.3 垂径定理 课件 21张

(共21张PPT)
3.3垂径定理（2）
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
结论
垂径定理的逆命题是什么？
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.
你能说说这样找的理由？
巧手来做一做
●O
●M
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．
垂径定理的逆命题是什么？
过点C作直径CD．
右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？
说说你的想法和理由．
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
AB是O的一条弧，且AC=BC.
探索规律
CD⊥AB
AM=BM
AD=BD
CD是直径
AC=BC
C
D
O
M
A
B
┗
⌒
⌒
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（2）
（3）
●O
A
B
C
D
M└
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
垂径定理
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE．
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE
∴CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
∴ AD=BD，AC=BC
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
平分弧的直径垂直于弧所对的弦.
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AC=BC
⌒
⌒
∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
定理2
新知讲解
例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).

OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.
AB=37.02m,CD=7.23m,
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB，
所以CD就是拱高.由题意，得
课堂练习
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（ ）
√



√
10
3．如图，⊙O的半径为5，C是弧AB的中点，且BC＝4
那么BA＝　 　cm．
4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗 如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米
O
B
A
解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15，
∵ AB2=OB2-OA2，
∴ AB≈0.96m.
∵ 0.96+2＝2.96＜3,
∴高为3m，宽为2.3m的集装箱
车不能顺利通过.
由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,
又∵AB2=OB2-OA2，
∴OB≈2.31m.
∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径
至少为2.31m.
变式：某一公路隧道的形状如图所示，上部分抛物线拱的顶点距离地面4m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗 如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变下，上部分抛物线拱的顶点距离地面至少为多少米
5.如图所示为某运动会所用的圣火盆的示意图，其中圣火盆高120cm,盆体深20cm,立柱高110cm,CD=60cm.
（1）若曲线ACDB是一段圆弧，试求盆口的口径AB的长．
（2）若曲线ACDB是抛物线的一部分，试求盆口的口径AB的长．
课堂小结
垂径定理的逆定理
定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．
定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．
垂直于弦
平分弦所对的弧
垂直平分
注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．
圆
圆的轴对称性
垂径定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直径）的直径__________，并且_______弦所对的弧
平分弧的直径_______
弧所对的弦
垂直于弦
平分
垂直平分
课堂小结