22.1.1 二次函数 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.1 二次函数
教学内容 22.1.1 二次函数 课时 1
核心素养目标 1.通过观察、探究与归纳，体会函数的模型思想； 2.通过探究二次函数的概念的过程，体会由特殊到一般、数学建模、从具体到抽象以及分类讨论等思想方法； 3. 让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学理念，形成学生利用函数的观点认识和表达现实世界的意识和能力.
知识目标 理解、掌握二次函数的概念和一般形式； 2．会利用二次函数的概念解决问题； 3．列二次函数表达式解决实际问题．
教学重点 掌握二次函数的概念和一般形式
教学难点 列二次函数表达式解决实际问题
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 师生活动：教师提问，学生积极举手发言，预测学生能正确回答这些问题. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数的相关概念 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . 预设：y = 6x2 问题2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 提问：这个关系式是函数关系式吗？ 预设：对于 n 的每一个确定的值，m 都有一个唯一确定的值与其对应值，即 m 是 n 的函数. 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点 师生活动： 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. 合作探究 那么这类函数我们怎么定义？ 二次函数的定义： 一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 师提问：同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 典例精析 例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量) ①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数的认识. 方法总结 判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 归纳总结： 二次函数的一般形式： y = 20x2 + 40x + 20 → y = ax + bx + c (a≠0) 合作探究 例2 若函数 是二次函数， 求 m 的值. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 ∴ m = 3. 总结： 本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案. 知识点2： 根据实际问题列二次函数关系式 例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 分析：矩形面积( y ) = 长×宽 实际问题注意取值范围：0＜x＜30 练一练 1. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 三、当堂练习，巩固所学 1. 下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． 2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax + bx + c 的形式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 . 3. 已知二次函数 (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 4. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 设计意图：通过欣赏喷泉了解我们要学习的曲线，让学生体会所学的知识是可以解释现实情境的，同时增加学生学习新知识的兴趣. 设计意图：通过复习导入，将学生注意力放在正比例函数、一次函数的概念上，帮助学生复习函数的概念，为后面的知识讲解做铺垫. 设计意图：以学生比较熟知的，贴近学生生活的例子引入课题，一方面可以提高学生的兴趣，另一 方面可以降低学生理解的难度。并且问题2、问题3在学习一元二次方程时学生己有接触，所以引入本课，可以增强知识的延续性。 设计意图：让学生经历合作探究过程，通过规察、发现，归纳，结合一次函数的概念概括二次函数的概念，培养学生抽象概括的能力. 再通过提问环节,导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来. 设计意图：通过上面习题的练习，举出几种特殊的实例，从而提炼出二次函数的几种特殊形式和成立条件，加深学生对二次函数的形式的理解. 设计意图： 通过实际应用让学生经历探索和表示两个变量之间二次函数关系的过程，抽象归纳出二次函数的定义，认识数学与生活的密切联系，体会函数的模型思想，培养抽象思维能力和数学应用意识. 设计意图：考察学生对二次函数定义的理解. 设计意图：考查学生能够表示简单变量之间的二次函数关系
板书设计 22.1.1 二次函数 二次函数的定义： 一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.