22.1.3 第1课时 二次函数y=ax? k的图象和性质 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.3 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的
图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
教学内容 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 课时 1
核心素养目标 1.会用描点法画出形如y＝ax2＋k的二次函数图象； 2.通过观察图象能说出二次函数y＝ax2＋k的图象特征和性质； 3.在类比探究二次函数y＝ax2＋k的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想
知识目标 1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象． 2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．
教学重点 掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用.
教学难点 理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 类比一次函数： 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1： 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 操作与思考1(a＞0)：在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x + 1 ， y = 2x - 1 的图象. 师生活动：小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面描述图象特征和性 质.如果学生在探究过程出现困难，需教师引导学生回顾二次函数y=ax2的相关内容，类比探究. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 预设：相等. 猜想：关于 y 轴对称. 探究2：用“描点法”法作图 解：列表如下： 描点、连线，画出这两个函数的图象. 想一想 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________； (6) 函数的增减性都相同： ______________________________________________________. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数性质的认识. 预设： (1) 抛物线 (2) 向上 (3) y 轴 (4) (0，1)，(0， 1) (5) 低；小；y = 1；y = 1 (6)对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 操作与思考2(a＜0)： 在同一坐标系内画出 y = -2x + 1，y = -2x - 1 的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数性质的认识. 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 归纳总结 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质 典例精析 例1 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( ) A．其图象的开口方向向上 B．当 x = 0 时，y 有最大值 4 C．其图象的对称轴是 y 轴 D．其图象的顶点坐标为 (0，4) 分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4. 例2 关于抛物线 y = x2 + 1 与 y = x2 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析。 知识点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 做一做：填写下表，画出二次函数 y = 2x ， y = 2x2 + 1 ，y = 2x2 1的图象. 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 想一想 1. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 与抛物线 y = ax2 有什么关系？ 上下平移规律： 二次项不变，常数项上加下减. 链接中考 1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 . 预设：y = -2x2 + 1　 想一想 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 预设：a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标；对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k). 三、当堂练习，巩固所学 1. 填表： 2. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则点 ( m，n) ____ (填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a≠0) 的图象上. 3. 已知抛物线 y = (a 2)x2 + a2 2 的最高点为 (0，2)，则 a =____. 设计意图：类比一次函数，通过平移正比例函数可以得到一般函数，引导学生思考二次函数y＝ax2通过平移可以得到哪些函数. 设计意图：类比研究二次函数y＝ax2 的方法，从解析式，描点法和图象法三个维度分析二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质. 设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究 函数性质的经验. 设计意图：经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y= =ax2+k (a>0) 的图象特征和性质. 设计意图：引导学生类比 研究a＞0 时二次函数的方法，归纳当a< 0时二次函数y = ax2 + k的图象特征和性质. 设计意图：加强学生对二次函数y = ax2 + k的图象特征和性质的理解. 设计意图：从数的角度和形的角度读探讨平移之间的关系，让学生学会数形结合的思想，同时经历从特殊到一般的研究过程，得出二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象关系. 设计意图：加强学生对二次函数y = ax2 + k的平移性质的理解. 设计意图：帮助学生总结二次函数与系数之间的关系. 设计意图：考查学生对二次函数的性质的掌握. 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
板书设计 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 1．二次函数y＝ax2＋k的图象与性质： 2．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的应用.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 尝试用描点法画二次函数y=ax2 + k图象，利用多媒体生动形象引导学生总结归纳二次函数y=ax2 + k的性质。内容较为简单，在教学中应鼓励学生积极思考，归纳总结，允许学生回答的不完整，甚至有错误的见解，培养学生乐于分享、发言的习惯，提高学生学习数学的兴趣。