22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.3 二次函数 y = a(x h)2+k 的图象和性质
第 2 课时 二次函数 y = a(x h)2 的图象和性质
教学内容 第 2 课时 二次函数 y = a(x h)2 的图象和性质 课时 1
核心素养目标 1.学生会画出特殊二次函数y = a(x - h)2的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线y=ax2的图象的关系，理解a，h，对二次函数图象的影响. 2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 3.体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
知识目标 1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象． 2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．
教学重点 掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用
教学难点 理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 小组合作，探究概念和性质 知识点1： 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质 操作与思考：画出二次函数 的图象. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. 探究2：用“描点法”法作图 例1 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接. 解：列表如下： 描点、连线，如图所示： 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？ 做一做 根据图象回答下列问题: (1) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案. 例2 画出二次函数 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： 想一想 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 函数y = 2(x + 1)2的增减性 ： ____________________________； 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数性质的认识. 归纳总结 例3 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； 预设：(1) 对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). (2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 预设：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 预设：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， 想一想：若 1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ ∵当 1≤x≤5 时，y 的最小值为 0， ∴当 1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 (4) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，试比较 y1 与 y2 的大小． 预设：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. 师生活动：学生小组讨论，然后小组代表发言，对于回答正确的小组给予表扬，回答不完整的小组教师及时补充. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. 知识点2 二次函数y=ax2与y=a(x - h)2(a≠0)的图象的关系 想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 预设： 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 师生活动：学生小组讨论，然后小组代表发言，对于回答正确的小组给予表扬，回答不完整的小组教师及时补充. 预设：形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 归纳总结 当 h > 0： 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 链接中考 1. (武汉) 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 三、当堂练习，巩固所学 1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______． 3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 . 设计意图：让学生在温习旧知识的过程中体验会旧知与新知之间的联系，活动思维，为后面的学习做准备. 设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论. 先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程. 设计意图：经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的图象特征和性质. 设计意图：引导学生类比 研究 a< 0 时二次函数的方法，归纳当a＞0时二次函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点. 设计意图：通过数形结合，加强学生对二次函数增减性和对应取值范围的理解. 设计意图：在分别讨论三个二次函数的图象和性质的基础上，将三个二次函数进行比较，可以使学生体会形如y = a(x - h)2与形如y = ax2的二次函数的图象之间的关系. 设计意图：让学生通过类比学习，利用数形结合进一步体验二次函数的系数对图象的影响，加强对二次函数性质的巩固，从图象直观理解函数图象之间的平移关系，培养学生的动态思维和自主学习的意识. 设计意图：加强学生对二次函数y=a(x - h)2的平移性质的理解. 设计意图：深刻理解二次函数的性质，初步理解问题并能用所学的知识解决问题.培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
板书设计 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 2．二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系 3．二次函数y＝a(x－h)2的图象的应用
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.