22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)² k的图象和性质 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.1.3 二次函数 y = a(x h)2 + k 的
图象和性质
第3课时 二次函数 y = a(x h)2 + k 的图象和性质
教学内容 第3课时 二次函数 y = a(x h)2 + k 的图象和性质 课时 1
核心素养目标 1.引导学生运用观察、分析、比较、抽象、类比、概况等方法，探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等； 2．掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移规律； 3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力．
知识目标 1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系； 2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．
教学重点 掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系.
教学难点 能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 1. 抛物线 y = ax2 经过怎样的移动可以得到抛物线y = a(x - h)2，y = ax2 + k？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1： 二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质 操作与思考：画出二次函数 的图象. 师生活动：学生自主列表画图，然后小组讨论问题 探究1：从函数解析式研究图象和性质. 探究2：用“描点法”法作图研究图象性质 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 解：先列表； 再描点、连线. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：________________. 师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ __________. 师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的结果． 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 归纳总结 师生活动：学生举手回答问题，出现错误及时解释指正. 典例精析 例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值. (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小． 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题； 2小组内批阅； 3.对板演的内容进行评价纠错. 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. (3) ∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， ∴ y1＜y2. 知识点2 二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 画一画，填出下表： 师生活动：学生用描点法画出二次函数的图象，然后同组的同学比较所画的图象是否一样，根据自己所画出的函数图象，指出其开口方向、对称轴和顶点坐标，并观察其增减性. 师生活动：老师播放PPT，让学生观察，然后小组谈论，探讨平移的方法. 归纳总结 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 链接中考 1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 想一想 问题 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 师生活动：让学生尝试解答，举手回答问题. 归纳总结 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0， 对称轴在 y 轴的左侧； h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧； k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性. 例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长 三、当堂练习，巩固所学 1. 完成下列表格： 2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 ，顶点坐标为 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； (3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y2 时，求 m、n 之间的数量关系． 设计意图：让学生在温习旧知识的过程中体验会旧知与新知之间的联系，活动思维，为后面的学习做准备. 设计意图：培养自主学习习惯，类比y = a(x - h)2+k a＜0性质的方法，添加a＞0的实例，整体加深y = a(x - h)2+k 的性质理解，体会数形结合思想. 设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系， 让学生理解知识点. 设计意图：通过数形结合，加强学生对二次函数性质的理解. 设计意图： 经过前期的探索,学生完全有能力推测出解析式的变化会引起图象的何种变化. 因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力,有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质，可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后，总结规律，有效地让学生从感性认识上升到了理性认识，并形成自己对本节课重点内容的理解. 设计意图：巩固二次函数平移的方法，加强对其的理解. 设计意图：回顾一次函数的系数与图象之间的联系，为下面研究二次函数系数与图象之间的关系做铺垫. 设计意图：通过画图初步感受 a，h，k 的正负对图象的影响. 设计意图：巩固学生从二次函数图象中辨别系数的正负的方法. 设计意图：总结 a，h，k 的正负对图象的影响. 设计意图：同时引入实际问题，使学生感受二次函数在实际问题中的应用，学会建立基本数学模型，体会数学来源于生活，又反过来服务于生活。 设计意图：考查学生对二次函数的性质和平移的掌握. 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
板书设计 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系 3．二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同.
教学反思 要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课堂真正成为学生展示自我的舞台．充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.