22.3 第2课时 商品利润最大问题 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.3 实际问题与二次函数
第 2 课时 商品利润最大问题
教学内容 第 2 课时 商品利润最大问题 课时 1
核心素养目标 1．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值； 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．
知识目标 1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题； 2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．
教学重点 应用二次函数解决实际问题中的最值问题.
教学难点 应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1：利用二次函数解决商品利润最大问题 类比几何问题求最值，想一想如何求利润问题的最大值？ 师提问：与利润有关的有哪些等量关系？ 预设： 典例精析 例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每件每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30. ③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30). 当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250. ∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最大利润 6250 元. 降价销售 ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 学生根据表格表示关系，然后列出函数表达式，小组讨论结果，然后展示. 解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元. 所得利润 y = (20 x)(300 + 20x) = 20x2 + 100x + 6000. ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∵ 20 x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20. y = 20x2 + 100x + 6000 或求出顶点横坐标(对称轴) y = 20x2 + 100x + 6000 对称轴为 ④ 结合自变量的取值范围，求最大值 即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元. 综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元. 链接中考 1. (泰兴市期末) 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 典例精析 例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量 y (千克)与销售单价 x (元/千克) 的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润 W 的最大值. 分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式； 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值. 当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大. ∴ x = 12 时， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，最大利润为 1250 元. 三、当堂练习，巩固所学 1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 2. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 3. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 设计意图：复习二次函数最值的求法，为本节课的学习做好准备。 设计意图：通过类比几何问题求最值的方法得到求利润问题的最大值的关键同样是求函数的最大值，同时复习利润相关的等量关系，为后文做铺垫. 设计意图： 通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型， 并感受数学的应用价值在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容. 设计意图： 类比上述涨价销售的方法，让学生通过列表的方式表示利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型。使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量的取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题。 设计意图：通过中考题的探究加强学生对于二次函数利润问题的解题方法的运用，同时规范解题步骤. 设计意图： 能根据分段图象构建函数模型，结合利润关系式，列出二次函数式，体会不同范围下的二次函数的最值情况. 设计意图：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
板书设计 第 2 课时 商品利润最大问题 1．利用二次函数求实际问题中的最大利润 2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润 3.利用表格信息求最大利润
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.