22.3 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 教案（表格式）2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
22.3 实际问题与二次函数
第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
教学内容 第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 课时 1
核心素养目标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性； 2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力； 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题.
知识目标 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
教学重点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题
教学难点 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？ 怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 引例 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 实际问题：水面下降 1 m，水面宽度增加多少 几何问题：如图，求 AB- 4. 思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？ 1. 确定原点 2. 确定单位长度 师追问；如何确定原点？ 想一想 根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. (1) y = a(x h)2 + k或 y = ax2 + bx (2) y = ax2 + k 师生活动：将班级分成三组，每组计算一种情况，然后派代表在黑板上演示， 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析. 师提问：谁最合适？为什么？ 问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 问题 2 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 这条抛物线表示的二次函数为 y = 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加了 归纳总结 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 练一练 1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 解：建立如图直角坐标系， 设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过点 (10， 4)， ∴ 4 = 100a，故 a = 0.04. ∴ y = 0.04x2. 典例精析 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝ x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式； (2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 知识点2： 利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题 例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数解决实际问题的认识. 分析：建立合适的直角坐标系， 利用二次函数的图象和性质求解. 解：建立平面直角坐标系如图. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. 例3 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)， 顶点 B 的坐标为 (1，2.25). 设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m， 才能使喷出的水流不致落到池外. 三、当堂练习，巩固所学 1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地. 2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m. (1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式； (2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长. 设计意图：通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力. 设计意图：本例中关键是构建数学模型，理解如何建立直角坐标系，比较建系方法，从而发挥同学的自主创新力量。 设计意图： 根据上述方法建立二次函数模型解决实际问题 设计意图：用转化的思想引导同学分析怎样去解决问题。将此问题转化为，已知货车载装箱后的宽度看货车载装箱后的高度，或者已知货车载装箱后的高度看宽度能否平安通过，也就是转化为 抛物线图象已知x坐标看y,和已知y看x。比较两种转化思想，选择较为简洁些的观看方法。另此题鼓舞同学用多种建模的思想去解决，然后让同学上台去呈现自己的成果。从中总结出“先想后算， 多想少算，反思巧算”. 设计意图：根据具体的问题情境建立数学模型，建立合适的直角坐标系，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力；会用转化和数形结合的思想解决实际问题. 设计意图：考查学生建立数学模型的能力，同时会运用二次函数求解最大值. 设计意图：针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
板书设计 第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.