5.1 投影同步练习 （含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

5.1 投影
第1课时 中心投影
基础夯实
知识点 中心投影
1.下列现象不属于投影的是 ( )
A.皮影 B.树影 C.手影 D.素描画
2.下列光源的光线所形成的投影不能称为中心投影的是 ( )
A.探照灯 B.台灯 C.路灯 D.太阳
3.下列四个选项中，在灯光下，物体的影子合理的是( )
4.「2025内蒙古包头昆都仑三中月考」如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处走到 B 处这一过程中，他在地上的影子 ( )
A.逐渐变短 B.逐渐变长
C.先变短后变长 D.先变长后变短
5.如图，路灯下一墙墩(用线段AB 表示)的影子是 BC，小明(用线段DE表示)的影子是 EF，在M 处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN.
(1)在图中画出路灯的位置并用点 P 表示.
(2)在图中画出表示大树的线段MQ.
能力提升
6.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点 P(2,2)处,木杆AB∥x轴,点A的坐标为(0,1),木杆 AB 在 x轴上的投影长度为6，则点 B 的坐标为 ( )
A.(2,1) B.(3,1) C.(4,1) D.(5,1)
7.圆桌面(桌面中间有一个直径为 1 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成圆环形阴影如图所示，已知桌面直径为2m，桌面离地面1m ，若灯泡离地面2 m，则地面上圆环形阴影的面积是 ( )
A.2π m B.3πm C.6π m D.12πm
8.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示，小亮的身高如图中线段 FG 所示，路灯灯泡在线段DE 上.
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m ,且他到路灯的距离AD=2.1m ,求灯泡的高.
平行投影
基础夯实
知识点 平行投影
1.下列投影中，属于平行投影的是 ( )
A.晚上路灯下小孩的影子
B.阳光下沙滩上人的影子
C.汽车灯光照射下行人的影子
D.皮影戏中的影子
2.「2025河南平顶山鲁山期末」在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是 ( )
3.把一个正六棱柱按如图所示的方式摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时得到的正投影是 ( )
4.「2025宁夏银川外国语实验学校月考」下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照一天中时间的先后顺序正确的是 ( )
A.①→②→③→④ B.④→②→③→①
C.③→④→①→② D.①→③→②→④
5.小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是 (填序号).
6.小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB 的高度.如图，某一时刻，他在地面上竖直立了一根2米长的标杆 CD,测得其影长DE=0.4米.
(1)请在图中画出此时旗杆 AB 在阳光下的投影BF.
(2)如果 BF=1.6米,求旗杆AB 的高.
能力提升
7.「2023山东枣庄中考，放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
8.「2024福建泉州期末，食令」甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点 B 出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2 倍.当甲到达点 E，乙到达点 F 时，甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上，此时，点B 处一根杆子的影子(太阳光照射)刚好在对角线 BD上，则CE 的长为 ( )
A.4m B.8 m C.12 m D.16m
9.新课标中华优秀传统文化 「2025山东济南历下期中， 是古代一种以度量日影长度来确定时间的仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”.当正午太阳光照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短.冬至线与夏至线分别与圭面交于点B,A,若AB的长为3.5m,则表高为 ( )
A.2.1m B.2.4m C.5.6m D.5.8 m
10.「2024山东烟台龙口期末，〔论〕如图，正方形纸板ABCD 在 投 影 面 α 上 的 正 投影 为 四 边 形A B C D ,其中边AB,CD 与投影面平行,AD,BC与投影面不平行，若正方形ABCD 的边长为4厘米， 求四边形A B C D 的面积.
素养提优
11.新课标意识在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择测量学校里的3棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1m 的竹竿的影长为0.8 m，甲树的影长为4m，如图①.
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图②，墙壁上的影长为1.2m ,落在地面上的影长为2.4m .
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图③，测得第一级台阶上的影长为0.2m，第一级台阶的高为0.3m ,落在地面上的影长为4.4m .
(1)甲树的高度为 m.
(2)求乙树的高度.
(3)求丙树的高度.
1 投影
第1课时 中心投影
基础夯实
1. D因为皮影、树影、手影都是由光线照射形成的影子，素描画不是由光线照射形成的影子，所以素描画不属于投影.故选D.
2. D中心投影是由一点发出的光线所形成的投影，探照灯、台灯、路灯所形成的投影都是中心投影，故选 D.
3. A根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过路灯，所以在灯光下，物体的影子合理的是 A.
4. C根据中心投影的特点：等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离光源近的物体的影子短，离光源远的物体的影子长.因为小亮由A 处到B 处这一过程中，小亮离路灯由远到近再到远，所以小亮在地上的影子先变短后变长.故选 C.
5解析 (1)点P 的位置如图.
(2)线段MQ 如图.
能力提升
6B 如图,延长 PA,PB 分别交x轴于 A',B',作 PE⊥x轴于E,交AB于D,则A'B'=6,
∵P(2,2),A(0,1),AB∥x轴,∴PD=1,PE=2,
∵AB∥A'B',∴△PAB∽△PA'B',
即 ∴AB=3,
∵点A 的坐标为(0,1),∴B(3,1),故选 B.
7B 如图所示，图中各点在同一平面内，O为灯泡，设A为圆桌面的圆心，B为圆环形阴影的圆心.由题意可知，OB=2m,AC=1m,AC'= m,AB=1m,则 OA=1 m.
∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,
即 解得BD=2m,
同理可得,BD'=1m,
故选 B.
8.解析 (1)如图，点O 为灯泡所在的位置，线段 FH 为小亮在灯光下形成的影子.
(2)由已知可得， ∴OD=4m .∴灯泡的高为4m .
第2课时 平行投影
1 B 太阳光线所形成的投影是平行投影，故选 B.
2D 选项A，B，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，所以 A，B选项错误；
选项 C中较高的小树影子短，较矮的小树影子长，不符合在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；
选项D，在同一时刻阳光下，影子方向相同，树高与影长成正比，所以D 选项正确.故选 D.
3. A把一个正六棱柱按题图中的方式摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时得到的正投影是正六边形.故选 A.
4. C不同时刻物体在太阳光下的影子的长短、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长由长变短，再变长.根据平行投影的特点和规律可知，按照一天中时间的先后顺序正确的是③→④→①→②，故选 C.
5.答案 ②③④
解析 矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故①不可能，即不会是梯形.故答案为②③④.
6.解析 (1)连接CE,过A 点作 AF∥CE交 BD 于 F,则BF为所求，如图.
(2)∵AF∥CE,∴∠AFB=∠CED,
又∵ ∠ABF=∠CDE=90°,∴△ABF∽△CDE,
即
答：旗杆AB的高为8米.
方法归纳 求平行投影中相关线段的长的方法
解决与平行投影有关的作图与计算问题，往往需要根据平行投影的性质画出投射线，得到相关的线段，从而根据同一时刻太阳光下，不同物体的高度比与其影长比相等，求得线段的长.公众号★全科AA+
7.8 如图,
∵ 正六边形的一个外角的度数为360°÷ 6=60°,
∴∠4=60°,正六边形的一个内角的度数为 180°- ,即∠2+∠5=120°,
∵太阳光线是平行的,∠1=44°,
∴∠3=∠1=44°,∴∠5=∠3+∠4=104°,
∴ ∠2=120°~∠5=16°.故选 B.
8. B 连接EF,如图,由题可知 EF∥BD,∴ △CEF∽
∵两人同时从点 B 出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍，
∴ BC+CE=2BF=40+CE,
故选 B.
9. A 如图,
设表高 CD=x m.
根据题意可得B m, 解得x=2.1.∴ 表高CD=2.1m.故选A.10.解析 如图,过B 点作 BH⊥CC 于 H.
∵∠BCC =45°,∴ △BCH是等腰直角三角形,易知 (厘米),
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形A B C D ,
厘米， 厘米，四边形A B C D 为矩形,
∴四边形A B C D 的面积: (平方厘米).
解析 (1)设甲树的高度为x m,则 解得x=5，故答案为5.
(2)设2.4m的影长对应的垂直高度为 ym，根据题意得 解得y=3,∴乙树的高度为3+1.2=4.2(m).
(3)设台阶上0.2m的影长对应的垂直高度为 h m，则 解得h=0.25,
设4.4m的影长对应的垂直高度为 w m，则 解得w=5.5,∴丙树的高度为0.25+5.5+0.3=6.05(m).