2026届高考二轮复习数学 三角函数新定义题专题卷（含解析）

2026届高考数学三角函数新定义题专题卷
一、单选题
1．下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆内切于圆心角为，半径为3的扇形OAB，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若，且角的顶点为坐标原点、始边为x轴的正半轴，终边经过点，则P点的横坐标x是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A． B．－ C． D．
5．设集合，则集合的元素个数为（ ）.
A．1012 B．1013 C．2024 D．2025
6．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，，则函数的最小值是
A． B． C． D．
8．如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．为第二象限角 B．
C． D．
10．若两个函数的图象经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个函数互为“镜像函数对”，给出下列四对函数，其中互为“镜像函数对”的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．使取得最小值的的集合为
D．的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
13．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
14．（多选）下列命题，为真命题的是（ ）
A．角是第四象限角 B．角是第三象限角
C．角是第二象限角 D．角是第一象限角
15．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
16．已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
17．质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
18．已知角的终边为射线，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的单调递增区间为
C．的单调递减区间为
D．在上的值域为
三、填空题
21．若函数的最小正周期为，则常数 ．
22．若，，则 ．
23．已知偶函数的定义域为，函数，且，若在上的图象与直线恰有个公共点，则的取值范围为 .
24．给出下列五个命题：
①函数在区间上存在零点；
②要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位；
③若，则函数的值城为；
④“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
⑤已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，.
其中正确命题的序号是 .
25．设，，若将函数的图像向左平移个单位能使其图像与原图像重合，则正实数的最小值为 .
26．如图，长为，宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成角，则点走过的路程是 ．
27．的角属于第 象限.
28．已知一个扇形的圆心角为2．其周长的值等于面积的值，则扇形的半径 ．
29．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是 .
30．已知，则 ．
31． ．
32．方程的解的个数为 ．
33．已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是 .
34．已知定义在R上的偶函数f（x），当时，函数，则满足的x的取值范围是 ．
35．如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为 .

36．对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为 .
37．函数的振幅是 ，是 ，初相是 .
38．把函数的图象向右平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式为 ，其对称轴方程为 .
39．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是60米，则河流的宽度BC为 米.
四、解答题
40．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
41．已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
42．用表示中的最小值，用表示 中的最大值.
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026届高考数学三角函数新定义题专题卷》参考答案
1．B
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据终边相同的角相差的整数倍可得结果.
【详解】因为，所以角与角的终边相同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；
因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.
故选：B
2．D
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】根据内切求出内切圆的半径，利用扇形面积减去圆的面积可得结果.
【详解】设圆的半径为，圆与切于，与弧切于，如图：
依题意可得，，
根据对称性可知，三点共线，
所以，所以，
所以图中阴影部分面积为.
故选：D
3．D
【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算作答.
【详解】依题意，由三角函数的定义得：，解得，
所以P点的横坐标x是.
故选：D
4．D
【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
5．A
【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为.
【详解】根据题意可知，当时，，此时；
又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大，
所以当时，集合中有1011个元素；
当时，易知
又易知，所以可得
，
即时的取值与时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数，
当时，易知
，
可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合的元素个数为个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果.
6．C
【知识点】三角函数图象的综合应用
【分析】先求解函数在区间的零点，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果。
【详解】函数的定义域需要满足，
可以先考虑，
因为
所以当时，或；
当时，或或；
当时，或或或；
当时，或或或或；
这时区间自然就被分为六个区间，分别为，，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号，
根据图象可得，当时，
，，，，
所以，故满足题意；
同理可得时，，故不满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故不满足题意；
时，故满足题意.
故选：C
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题，考查了分类讨论的思想方法，还考查了函数的图象的画法。
7．B
【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】利用在、上的符号去绝对值，再根据二次函数的最值分别求得各区间的最小值，最后确定的最小值
【详解】时，，时取最小值为
时，，时最小值为
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的最值，求函数在区间内的最值
8．C
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】已知的部分图象，确定的方法
（1）逐一定参法：如果从图象可直接确定和，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得，或选取最大值点时代入公式，选取最小值点时代入公式求的值．
（2）五点法：将若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五点中的哪一点，并能正确代入列式．
（3）图象变换法：运用逆向思维，先确定函数的基本解析式，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
【详解】方法一（逐一定参法）：由题图可得，，即，即，
观察各选项可知，本题考虑即可，则，把点代入中，
可得，故，，即，
所以．
方法二（五点法） ： 由题图知．因为图象过点和，所以，
解得所以．
方法三（图象变换法） ：由题图可得，即，即，
结合选项可知，本题考虑即可．由点在函数图象上，
可知函数图象由的图象向左平移个单位长度而得，所以．
故选：C.
9．BC
【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的余弦公式
【分析】先由化简得到，然后结合可求出，进而可求解.
【详解】因为，所以有，所以得到，
又，所以，可得且为第一象限角，
故，故A不正确，B正确；
又，故，所以，，故C正确；
由，，知，故D不正确．
故选：BC.
10．BD
【知识点】函数图象的变换、三角恒等变换的化简问题、函数新定义
【分析】根据“镜像函数对”的定义，将函数解析式化简可得选项A中两函数周期不同，选项B中两函数图象关于原点对称，选项C中的图象是的图象的一部分，选项D中两函数图象可以通过平移变换得到，即可判断出正确选项.
【详解】对于，其周期为，
而，其周期为，故A不是互为“镜像函数对”；
对于，因为，它与的图象关于原点对称，故是互为“镜像函数对”；
对于C，因为所以的图象是的图象的一部分，故C不是互为“镜像函数对”；
对于，因为，
所以将的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得的图象，故是互为“镜像函数对”．
故选：BD．
11．CD
【知识点】求cosx型三角函数的单调性、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求余弦（型）函数的最小正周期、相位变换及解析式特征
【分析】利用余弦型函数的周期性可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的最值可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，当取最小值时，，解得，
所以，使取得最小值的的集合为，C对；
对于D选项，因为，
所以，的图象可由曲线向右平移个单位长度得到，D对.
故选：CD.
12．ABD
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数图象的综合应用、求sinx型三角函数的单调性
【分析】A：在上单调，，，故；
B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.
C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.
D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.
13．BCD
【知识点】三角函数在物理学中的应用
【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．
【详解】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错，D正确；
该质点的振幅为5，所以B正确；
由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．
综上，BCD正确．
故选：BCD.
14．ABC
【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限
【分析】找出各角在范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限.
【详解】对于A，，是第四象限角，则是第四象限角，A正确；
对于B，是第三象限角，B正确；
对于C，，是第二象限角，则是第二象限角，C正确；
对于D，，是第二象限角，则是第二象限角，D错误.
故选：ABC.
15．ABD
【知识点】任意角的概念、角度化为弧度、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算
【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
16．ABD
【知识点】函数关系的判断、特殊角的三角函数值
【分析】问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，根据定义就是要求一个只能对应一个可得答案.
【详解】由题意得到，问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
当时，此时得到的圆心角为，然而此时或者时，都有个与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，
因此只有当时旋转，此时满足一个只会对应一个.
故选.：ABD.
17．BD
【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由单位圆求三角函数值、单位圆与周期性
【分析】确定点的初始位置，由题意列出重合时刻的表达式，进而可得点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】依题意，点的起始位置，点的起始位置，
则，设当与重合时，用的时间为，
于是，即，
则，所以，
对于A，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故A错误；
对于B，当时，，即，故B正确；
对于C，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故C错误；
对于D，当时，，即，故D正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时所用时间，得到重合点坐标，结合角度差，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.
18．ABD
【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据角的终边的知识来确定正确答案.
【详解】由于角的终边为射线，所以
则A选项错误.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
C选项正确.
D选项，，D选项错误.
故选：ABD
19．AC
【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用
【分析】根据角所在范围，结合图象得到函数值的正负，得到答案.
【详解】A选项，，则，A正确；
B选项，，则，B错误；
C选项，，则，C正确；
D选项，，，D错误；
故选：AC．
20．ACD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性
【分析】对于A，利用最小正周期公式即可判断；对于BC，利用正弦函数的单调性即可判断；对于D，利用正弦函数求值域即可判断
【详解】对于A，由可得最小正周期为，故正确；
对于B，因为可得，
所以的单调递增区间为，故错误；
对于C，因为可得，
所以的单调递减区间为，故正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故正确
故选：ACD
21．/0.5
【知识点】求正切（型）函数的周期、由正切函数的周期求值
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得.
故答案为：.
22．
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式
【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用二倍角的正弦公式可计算出的值.
【详解】，，，
则，
因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求值，解题时要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
23．
【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意，分多个区间研究与直线有几个交点，利用在上与直线恰有个公共点，即可得出的范围.
【详解】由题意得是定义域为的偶函数，
当时，，
当时，，，
，
当时，，，，
当时，是周期为的周期函数.
因为是定义域为的偶函数，且，
所以在上的图象与直线恰有301个公共点.
在上的图象如图所示，

在上的图象与直线有3个公共点，
令，得，
令，得或.
所以这个公共点的横坐标依次为，，.
因为，
所以，即.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.
24．①③④
【知识点】求对数型复合函数的值域、零点存在性定理的应用、相位变换及解析式特征
【解析】①根据函数零点的存在性定理可判定，故正确；
②要得到此函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故错误；
③根据对数的真数可取所有正实数，可得此函数的值城为，故正确；
④根据“”能说明“函数在定义域上是奇函数”，但“函数在定义域上是奇函数”得到的是“”，则是充分不必要条件，故正确；
⑤由有最大值，得，进一步得到，故错误.
【详解】对于①函数在区间上单调递增，，根据函数零点的存在定理可得在区间上存在零点，正确；
对于②将函数化为，要得到此函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，得到，错误；
对于③当，函数的真数为，判别式，故真数可取所有正实数，故函数的值城为，正确；
对于④函数在定义域上是奇函数，则，即解得，所以条件可推出结论，结论不能推出条件，是充分不必要条件，正确；
对于⑤有最大值，所以，于是，所以，则，即，所以所求，错误.
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了函数的零点分布，三角函数图像的平移变换，对数函数的定义域与值域，还考查了等差数列中求前n项和为正的问题，属于难题.
25．
【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.
【详解】解：由题意得：
函数的图像向左平移个单位后得：
该函数与原函数图像重合故
可知，即
故当时，为最小正实数.
故答案为：
26．
【知识点】弧长的有关计算、三角函数在生活中的应用
【详解】如图所示：
第一次转动是以点B为圆心，AB=2为半径，圆心角是90°:
所以弧AA1的长=，
第二次转动是以点C为圆心，A1C=1为半径，圆心角为90°，
第三次转动是以点D为圆心，A3D=为半径，圆心角为，
所以弧A2A3长=，
所以总长=．
考点：扇形的圆心角及半径，弧长公式．
点评：中档题，解答本题的关键是理解题意，明确每次转动的半径及圆心角，利用弧长公式加以计算．
27．二
【知识点】找出终边相同的角
【详解】在第二象限,所以的角属于第二象限
28．4
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用
【分析】根据扇形的周长公式和面积公式建立关系，求出答案.
【详解】，弧长，
周长为，面积，，或0（舍去），
故答案为：4．
29．
【知识点】三角函数线的应用、解余弦不等式
【分析】利用单位圆确定的取值范围，再根据题给条件分析的最值即可得出结论.
【详解】解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域(其中，如图，

由于恒成立，且为常数
， 位于连续两终边之间
当为的正整数倍时，连续两终边间的间隔长度为，
， 取，此时，
即，，当时取得最小值，.
当不为的正整数倍时，可设
这里的是根据 中的的最小值推导出，这里只考虑 情况.
时，，满足不为 的正整数倍时，.
所以时，
由得：，此时，
， 当为正整数时， 连续两终边间的间隔长度小于
所以必定存在正整数使得的终边落在区间 上，此时不符合题意.
综上，的最小值为.
故答案为：
30．0
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦
【分析】根据平方关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以
故答案为：
31．
【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一
【解析】根据诱导公式化为到范围内可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
32．无穷多个.
【知识点】正弦函数图象的应用、指数函数图像应用
【分析】根据指数函数、正弦函数的图象与性质确定图象的交点个数即可得解.
【详解】方程的解的个数等价于：函数与函数交点的个数.
当时，函数的值域为，且连续单调递增，
而函数且以为周期的周期函数，且在时连续.
所以函数与函数交点的个数有无数个，
即方程的解的个数为无穷多个.
故答案为：无穷多个.
33．
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】由于可知，再根据正弦函数的图象和性质可知且，由此即可求出结果.
【详解】函数，由于，
所以，
根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值，
所以且，所以．
故的取值范围是.
故答案为：.
34．
【知识点】解正切不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】结合函数的单调性和奇偶性化简不等式，得到，解三角不等式求得的取值范围.
【详解】∵当时，函数，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
不等式可化为，
又∵函数f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴不等式可化为，
∴，
∴，
∴，
即满足的x的取值范围是.
故答案为：
35．
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】设，可得，，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可.
【详解】解：设，

则，
则在中，易知则，
所以；
在中，易知则，
所以；
所以
，
令，
因为，所以，
所以
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，时等号成立，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将三角形的面积化成关于的函数，再利用换元法及基本不等式求解.
36．
【知识点】反三角函数、求含sinx(型)函数的值域和最值、给值求角型问题
【分析】 分 ， 两种情况分类讨论,然后每种情况再结合的不同取值范围讨论的值，根据已知等量关系建立方程求解.
【详解】情况 1：如果，即，
又因为,所以,所以,即.
此时 ，因此：.
我们需要 ，即 在 上的最小值为 .
因为,
所以 或 或 或
所以 或 或 或 .
解 得,解得,
又因为即，所以,所以或.
情况 2：，即存在使得,
此时 ，所以,
所以,所以,
因为，所以,解得,
以，解得,，
所以,所以,所以,所以.
若,则,则.
我们需要：,这不可能（左边大于零，右边小于等于0）.
所以,所以，
所以，所以 ，因此：.
如果,,则 ，则 .
则,
， 或.
，矛盾，舍去.
如果,,则 ，
则 ,
即，所以,
所以，
综上所述， 的取值集合为.
故答案为：.
37． 3 2
【知识点】相位变换及解析式特征
【分析】根据解析式直接可得出.
【详解】根据可得振幅为3，，初相是.
故答案为：3；2；.
38．
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据三角函数左右平移和伸缩变换原则可得到所求函数解析式；令，求得即为所求对称轴方程.
【详解】将向右平移得：，
将横坐标缩短到原来的，得到所求函数解析式为；
令，解得：，
所求对称轴方程为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角函数的平移和伸缩变换、正弦型函数对称轴方程的求解问题；求解正弦型函数对称轴的常用方法是整体对应的方式，结合正弦函数的性质来进行求解.
39．
【知识点】三角函数在生活中的应用
【分析】由图可知，，即可求出．
【详解】根据题意结合图形可知，，所以
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数在生活中的应用，意在考查学生的数学建模能力，属于基础题．
40．(1)；(2).
【知识点】根据图形写出角（范围）
【详解】试题分析：
(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为，且，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为；
(2)由题意可知：，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
试题解析：
(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，
因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和.
41．当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题
【分析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为，可得，由，，可得的范围，根据二次函数的性质求得面积的最大值，再由可得面积取得最大值时的圆心角.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为.
由已知，可得，
所以扇形的面积，
因为，，所以，
所以当时，，此时， 所以，
故当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
42．(1)
(2)
(3)答案见解析
【知识点】基本不等式求和的最小值、求函数零点或方程根的个数、函数新定义
【分析】（1）结合对数函数，指数函数性质及，比较大小，结合定义求；
（2）解法一：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分子求结论；
解法二：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分母求结论；
解法三：由定义可得，两式相乘，设，利用判别式法求的最大值，可得结论；
（3）求函数的零点，结合判别式，分别在，，，，时研究函数的零点，由此求结论.
【详解】（1）由对数函数性质知，即.
又由指数函数性质知，即.
又因为，
所以，即.
（2）解法一：由，可得，且.
则，
所以，当且仅当即，时取等号，
所以的最大值为.
解法二：由，可得，且.
则，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值为.
解法三：由，可得，且.
所以.
下面研究的最大值：
，令，，则有.
由及可得，故的最大值为.
接下来验证取等号的条件.
当时，，所以取等号的条件为即，时取等号，
所以，故的最大值为.
（3），，由可得.
对，则
①当，即时，恒成立，
所以的零点也为的零点，故有个零点；
②当，即或.
（i）当时，，
此时，是的个零点.
（ii）当时，，
当时，，，
当时，，当且仅当，
所以有个零点，和.
②当，即或，有个零点，记为.
所以，
（i）当时，，，且关于对称，
又，则必有，，
所以时，，，
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，
函数的零点为.
此时无论取何值，必有个零点.
（ii）当时，关于对称，且，
则当时，，此时，
当时，有个零点，这个零点且也是的零点，此时函数有个零点.
综上所述：当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
答案第1页，共2页
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