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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
（第1课时）
1．理解“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”的判定方法；
2．能运用SAS判定两个三角形全等，并解决简单的实际问题．
1 ．形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够__________的两个图形叫作全等形．
2．能够完全重合的两个三角形叫作_____________.
3 ．全等三角形的性质
全等三角形的________相等，全等三角形的________相等．
完全重合
全等三角形
对应边
对应角
性质和判定是几何研究的主要内容．在上一节，我们学 习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
我们从构成三角形的元素———边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法．
∠A =∠A′
AB =A′B′
想一想：如果△ABC与△A ′ B ′ C ′满足三条边分别相等，三个角分别相等，它们全等吗？
∠B =∠B′
BC =B′C′
∠C =∠C′
AC =A′C′
全等
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的．能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全 等呢？
我们按照条件由少到多的顺序进行研究．
探究1：先任意画出一个△ABC. 再画一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）。你画出△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
一条边对应相等
一个角对应相等
不一定全等
两条边对应相等
一条边和一个角对应相等
两个角对应相等
不一定全等
探究1：先任意画出一个△ABC. 再画一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）。你画出△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
想一想：当满足这六个条件中的三个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？
条件
探究2：如图所示，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果∠A′=∠A，A′B′=AB，A′C′=AC，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？
如图，由∠A′ =∠ A 可知，如果使点 A 与点 A′ 重合，并且使射线 A′B′ 与射线 AB 重合，那么射线 A'C' 与射线 AC 重合.
再由 A′B′ = AB， A′C′ = AC，点 B′，C′分别与点 B，C 重合.
这样△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合.
因而那么△A′B′C′≌△ABC．
符号语言:
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ (SAS)
由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （简写 “边角边”或 “SAS”）．
在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
必须是两边“夹角”
例1：如图所示，AC=AD，AB平分∠CAD.
求证：∠C=∠D.
分析：如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D.由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
例1：如图所示，AC=AD，AB平分∠CAD.
求证：∠C=∠D.
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC 和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS).
∴∠C=∠D.
AB既是△ABC的边又是△ABD的边. 我们称它为这两个三角形的公共边.
例2：某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
想一想：当满足这六个条件中的三个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？
条件
思考：我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD显然不全等. 这说明，两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
【知识技能类练习】必做题：
1．下图中全等的三角形有（ ）
A．图1和图2 B．图2和图3
C．图2和图4 D．图1和图3
D
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ）
A．
B．
C．
D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．如下图，，，，．求的度数．
解：在和中，
，
，
，
．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
B
【综合拓展类练习】
5．如图，已知，， 相交于点M，，．
(1)试说明：．
(2)试说明：．
(3)若 ，
其他条件不变，则（1）（2）中的结
论还成立吗？请说明理由．
【综合拓展类练习】
证明：（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）如图，设交于O，
∵，
∴，
∵，
∴，∴；
（3）条件改为，则结论成立，结论不成立，
理由：同法可证，
∴，．
∵，
∴与不垂直，
∴结论成立，结论不成立
三角形全等的判定
注意：两边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等
“边角边”判定定理
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
【知识技能类作业】必做题：
1．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，已知，，，求证：
证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对．
3
【综合拓展类作业】
5．如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G．
(1)试说明：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
【综合拓展类作业】
解：（1），
．
即．
在和中，
，
．
（2），理由如下：
，
．
，
，，
．
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分课时教学设计
第二课时《14.2 三角形全等的判定（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是“14.2三角形全等的判定”第1课时，属于初中几何的核心内容。前一节已学习全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，本节课则从“性质的逆问题”切入，探究“具备哪些条件可判定两个三角形全等”，是从“认知全等”到“判定全等”的关键过渡，也为后续学习“ASA”“SSS”等判定方法奠定逻辑基础。
学习者分析 学生已学过三角形的基本概念、全等三角形的定义及性质，能识别全等三角形的对应元素。会使用直尺、量角器画图，具备简单的几何图形观察能力；对“逻辑推理”有初步认知，但几何证明的规范表达尚不熟练。
教学目标 1．理解“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”的判定方法； 2．能运用SAS判定两个三角形全等，并解决简单的实际问题．
教学重点 理解并掌握“边角边（SAS）”判定方法，能运用SAS证明两个三角形全等，并解决线段或角相等的问题
教学难点 1．区分“两边及其夹角”与“两边及其中一边的对角”理解后者不能判定全等； 2．证明中公共边的识别与应用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”的判定方法； 2．能运用SAS判定两个三角形全等，并解决简单的实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1 ．形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够__________的两个图形叫作全等形． 答案：完全重合 2．能够完全重合的两个三角形叫作___________. 答案：全等三角形 3．全等三角形的性质 全等三角形的________相等，全等三角形的________相等． 答案：对应边，对应角 导言：性质和判定是几何研究的主要内容．在上一节，我们学 习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？ 我们从构成三角形的元素———边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习全等形、全等三角形的概念及全等三角形的性质，为探究三角形全等做好铺垫.环节三：新知讲解教师活动3： 想一想：如果△ABC与△A ′ B ′ C ′满足三条边分别相等，三个角分别相等，它们全等吗？ 预设：全等 引问：一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的．能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全 等呢？ 我们按照条件由少到多的顺序进行研究． 探究1：先任意画出一个△ABC. 再画一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）。你画出△A′B′C′与△ABC一定全等吗？ 预设：当满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）时，不一定全等 如：一条边对应相等时 一个角对应相等时 当满足两个（两边、一边一角或两角分别相等）是时，不一定全等 如：两条边对应相等时 一条边和一个角对应相等时 两个角对应相等时 想一想：当满足这六个条件中的三个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？ 预设：分类讨论 条件 下面，我们研究两个三角形的两边及其夹角分别相等这一情况： 探究2：如图所示，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果∠A′=∠A，A′B′=AB，A′C′=AC，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？ 预设：如图，由∠A′ =∠ A 可知，如果使点 A 与点 A′ 重合，并且使射线 A′B′ 与射线 AB 重合，那么射线 A'C' 与射线 AC 重合. 再由 A′B′ = AB， A′C′ = AC，点 B′，C′分别与点 B，C 重合. 这样△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合. 因而那么△A′B′C′≌△ABC． 归纳：由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （简写 “边角边”或 “SAS”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (SAS) 指出：在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 例1：如图所示，AC=AD，AB平分∠CAD. 求证：∠C=∠D. 分析：如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D.由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件. 提示：AB既是△ABC的边又是△ABD的边. 我们称它为这两个三角形的公共边. 证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC 和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD(SAS). ∴∠C=∠D. 例2：某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？ 预设：利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了． 接下来，我们研究两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等这一情况 思考：我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 预设：如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD显然不全等. 这说明，两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 学生活动3： 学生动手操作，小组合作探究、讨论归纳，辨析明确 SAS 判定。然后独立完成例题后班内交流，并认真听老师的讲解活动意图说明： 以实践促理解，突破难点，培养学生主体性、合作与归纳能力，契合认知规律。层层递进练应用，规范证明表达，突破公共边角难点，培养结构化思维。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：14.2 三角形全等的判定（第1课时） 一、基本事实：边角边 二、边边角不能判定两个三角形全等教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下图中全等的三角形有（ ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 答案：D 2．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．如下图，，，，．求的度数． 解：在和中， ， ， ， ． 选做题： 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 证明：（1）∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）条件改为，则结论成立，结论不成立， 理由：同法可证， ∴，． ∵， ∴与不垂直， ∴结论成立，结论不成立
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（ ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 答案：C 2．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．如图，已知，，，求证： 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 选做题： 4．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 答案：3 【综合拓展类作业】 5．如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 解：（1）， ． 即． 在和中， ， ． （2），理由如下： ， ． ，，， ． ．
教学反思 本课运用探究式教学、分层练习成效较好，隐含条件教学有突破，多数学生掌握SAS 基础；但部分学生证明不规范、综合题转化弱，少数参与度低，后续需增规范训练、强知识关联、优化分层指导，以提升学生能力与参与度。
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同步探究学案
课题 14.2 三角形全等的判定（第1课时） 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”的判定方法； 2．能运用SAS判定两个三角形全等，并解决简单的实际问题．
重点 理解并掌握“边角边（SAS）”判定方法，能运用SAS证明两个三角形全等，并解决线段或角相等的问题
难点 1．区分“两边及其夹角”与“两边及其中一边的对角”理解后者不能判定全等； 2．证明中公共边的识别与应用.
探究过程
导入新课 【引入思考】 1 ．形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够__________的两个图形叫作全等形． 2．能够完全重合的两个三角形叫作___________. 3．全等三角形的性质 全等三角形的________相等，全等三角形的________相等．
新知探究 本节课来研究： 本节我们从构成三角形的元素———边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法。 想一想：如果△ABC与△A ′ B ′ C ′满足三条边分别相等，三个角分别相等，它们全等吗？ 探究1：先任意画出一个△ABC. 再画一个△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）。你画出△A′B′C′与△ABC一定全等吗？ 想一想：当满足这六个条件中的三个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗？ 预设：分类讨论 条件 下面，我们研究两个三角形的两边及其夹角分别相等这一情况： 探究2：如图所示，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果∠A′=∠A，A′B′=AB，A′C′=AC，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？ 归纳：由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两边和它们的夹角分别_________的两个三角形全等 （简写 “边角边”或 “SAS”）． 符号语言: 在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ (_______) 注意：在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是_______三角形的对应边或对应角来解决. 例1：如图所示，AC=AD，AB平分∠CAD. 求证：∠C=∠D. 例2：某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？ 接下来，我们研究两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等这一情况 思考：我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下图中全等的三角形有（ ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 2．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 3．如下图，，，，．求的度数． 选做题： 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（ ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 2．如图，，，，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，求证： 选做题： 4．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 【综合拓展类作业】 5．如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
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