3.3 数量之间的关系
第三章 代数式
1.会用代数式表示数与图形中的规律.会从不同角度分析和解决
问题，体会同一量可以用不同代数式来表示；
2.能发现特例中的变与不变，发现共性，寻找一般规律解决问
题，体会从特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.
仔细观察，按你发现的规律填空：
(1) 1,2,3,4, ， ，...， （第n个数）；
(2) 2,4,6,8, ， ，...， （第n个数）；
(3)2,4,8,16, ， ，...， （第n个数）；
(4)1,4,9,16, ， ，...， （第n个数）；
(5)1,2,3,6,10， ， ，...， （第n个数）.
5
6
n
10
12
2n
32
64
2n
25
36
n2
15
21
?????（????＋1?）2
?
像这种有明显规律的问题，我们如何用代数式表示？
情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
1
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30
...
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119
120
(1)如果设方框左上角的数为a，用含a的代数式表示这9个数的和;
(2)当a为1，8，15时，求这9个数的和.
(3)如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和;
?
探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系.
活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示.
思考：在这个数阵中，前后、上下两数分别有什么规律？
前后相差1，上下相差6.
情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
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(1)如果设方框左上角的数为a，用含a的代数式表示这9个数的和;
解:(1)其他8个数分别为????+1,????+2,????+6,
????+7,????+8,????+12,????+13,????+14,
这9个数的和????+????+1+????+2+????+6+????+7+????+8+????+12+????+13+????+14=9????+63.
?
探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系.
活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示.
情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
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...
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(2)当a为1，8，15时，分别求这9个数的和.
?
探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系.
活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示.
解：由(1)可知，
当a为1时，这9个数的和为9????+63=9×1+63=72；
当a为8时，这9个数的和为9????+63=9×8+63=135；
当a为15时，这9个数的和为9????+63=9×15+63
=198；
?
情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
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(3)如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和;
探究一.利用代数式表示规律问题中的数量关系.
活动1.分析下列情境中的规律，并用代数式表示.
解：设方框正中间的数为m,则其他8个数分别
为????－7,????－6,????－5,????－1,????+1,????+5,????+6,????+7,
所以S为????－7+????－6+????－5+????－1+????+????+1+
????+5+????+6+????+7=9????.即????=9????.
?
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思考：如果将方框由左向右平行移动一列，那么9个数的和会有怎样的变化?
如果方框由上向下平行移动一行，那么9个数的和又有怎样的变化?
将方框由左向右平行移动一列,和增加9；
方框由上向下平行移动一行,和增加54.
情境1.这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
情境2.图1是由点组成的n行n列的方阵，图2是由每条边上n个点围成的空心方阵.
图1
图2
1.图1中方阵的总点数为多少？
2.图2中方阵的总点数是多少？你还有其他的计算方法吗？
n2
????2 －(????－2)2
?
如图，由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4?????4，4(?????1)，2????+2(?????2).同桌讨论是如何得到的.还有什么其他的想法？
?
4?????4：空心方阵4边都是n个点因此是4n，边与边之间共用了1个点，因此减4.
4(?????1)：空心方阵4边按n-1个点来算；
2????+2(?????2)：空心方阵上下两都是n个点因此是2n，左右两边是?????2个点，因此2(?????2)
?
数字方面的变化规律
(1)若数字为整数的一列数,可考虑相邻两数的和、差、积、商等
方面是否存在规律,也可以是奇、偶、平方等方面的规律.
(2)若是数字方面的等式(或表格),可将每个等式对应写好,然后比
较每一行、每一列数字之间的关系,从而找出规律.
(3)若数字为分数,可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系.
情境3.完成教材P115中“做一做”填空，并思考下列问题.
思考：如果没有（1）（2）问，直接问（3），大家觉得自己容易做的出来吗？由此思考为什么教材“做一做”中要先问（1）（2），然后再问（3）？
（1）：14；（2）116；（3）14????.
?
特殊到一般的思想：
通过对某些个体的认识与研究，发现特点，掌握规律，逐渐形成对这类事物的总体认识，
1.一组按规律排列的数： 请你推断
第7个数是________；第n（n为正整数）个数是_____________.
2.如图所示，用火柴摆图形
填写下表：
三角形的数量/个
1
2
3
4
5
...
n
火柴的数量/根
3
5
7
9
11
2n+1
用代数式表示图形的变化规律：
1.通过列表，将每个图形所研究的量利用表格的反映出来，然后根据数字变化获取规律；
2.直接观察出图形之间的位置变化或数量变化，获取规律.
1.如图所示的图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成的,其中第一个图形有4个“星星”,第二个图形有7个“星星”,第三个图形有10个“星星”,……,则第8个图形中星星的个数是?( ????)
?
A.20 ????B.23 ????C.25 ????D.26
C
2.观察下列等式:
32-12=4×2；
42-22=4×3；
52-32=4×4；
（1）第4个等式为 ；
（2）第n（n为正整数）个等式为__________________.
62-42=4×5
(n+2)2-n2=4(n+1)
3.如图，第一排有 1 个三角形；第二排有 3 个三角形；
第三排有 5 个三角形；第四排有 个三角形；
第n排有 个三角形.
7
(2n+1)
4.如图，按下列方式用火柴棒搭建正方形：
1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用 根火柴棒；
3个正方形用 根火柴棒；10个正方形用 根
火柴棒；n 个正方形用 根火柴棒.
7
(3n+1)
…
10
31
本节课探究了代数式的哪些问题？
在探寻用代数式表达规律的过程，你经历了什么？积累了哪些活动经验？
3.接下来会研究代数式的什么内容？
特殊到一般的思想：
通过对某些个体的认识与研究，发现特点，掌握规律，逐渐形成对这类事物的总体认识，
