1.1.2 直线的相交 教学设计 浙教版数学七年级下册

1.1相交线(2)
教学目标：
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
重点：理解垂线、垂线段的概念，理解对点到直线的距离的概念的.掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
难点：掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
教学过程
(一)引入课题
问题1 对于一个数学对象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形．相交线中，你认为什么情况是特殊的？
这节课我们就来研究两条直线垂直的情况，板书课题
探究新知
问题2 对于两条直线相互垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？
设计意图：使学生明确研究的内容和过程．教师要通过引导学生思考、讨论，帮助他们确定“定义—性质—应用”的研究思路．
问题3 在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？
两条直线相交构成了4个角，垂直作为相交的一种特殊情形，这4个角特殊在哪里？
垂直的概念：当两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。在下图中，AB⊥CD，垂足为O。
注意：（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直，怎样用符号和几何语言表示呢？如下图，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”。AB是CD的垂线，也可以说CD是AB 的垂线。它们的交点O叫做垂足。
概念辨析：日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条。你能再举出其他例子吗
例如：（出示图片）
请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
设计意图：让学生通过在相交基础上定义垂直，即４个角中有一个角为直角或邻角相等，体会通过“特殊化”得到特例的方法．
垂线的判定： 从垂直的定义出发可以判定两条直线是否相互垂直．所以研究路径还要增加“判定”。我们往往可以根据定义来进行判定。“定义—判定—性质—应用”
已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。即：
∵∠BOC=90°（已知）
∴AB⊥CD于O（垂直的定义）。
垂线的性质1： 由于定义既可以当判定用，又可以当性质用，已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）（图形的性质就是几何要素之间的位置关系大小关系）
几何语言：∵AB⊥CD于O（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
追问1除用定义做判定两直线垂直以外，你还能找到别的判定方法吗？
探究：如下图
（1）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条
（2）经过直线l上一点P画l的垂线，这样的垂线能画出几条
（3）经过直线l外一点P画l的垂线，这样的垂线能画出几条
垂线的画法：复习小学用三角板过一点A作直线l的垂线的方法，并简记为“靠直线——过定点——画垂线”。
追问1：在一张纸片上画出一条直线AB，你能用折纸的方法画出AB的垂线吗？请说明你是如何折纸的。
3．发现垂线的性质2
追问2：过P点还能作出别的垂线吗？
在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：
①若点P在l上，过P点作l的垂线有且只有一条。
②若点P在l外，过P点作l的垂线有且只有一条。
在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第2个性质（公理）：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”。
②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以。
总结：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
进一步地，我们还可以研究点P与l上的点之间的关系。点P在l上就是两点间的距离，已经研究过了，下面我们研究点P不在l上的情况。
直线l上,以B为对称中心，任意两个对称点与点P的连线段长度相等，我们可以发现连接直线l外一点P与直线l上各点的所有线段中，垂线段PB最短
得到垂线的另一条性质：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
在图中,PB的长度是点P到直线l的距离,从而得到点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”。
（三）例题讲解
例2 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=50°，求∠COE的度数。
变式：如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=50°.若OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．
课内小结：
（四）课堂练习：
（五）作业布置：